Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 33
Текст из файла (страница 33)
На рис. 5.10 показано смещение ато. мов при прохождении продольной волны, а на рис. 5.11 — при прохождении поперечной. Предположим, что сила, действующая на плоскость л и обусловленная смещением плоскости а+р, пропорциональна разности их смещений и,, — и.. Тогда для результирующей силы, действующей на плоскость з, можно записать: Е,= ~„Ср(и, р — и,). р ') Для произвольного направления распространения упругая волна не является нн чисто поперечной, ни чисто продольной. 181 1 1 о 1 иа-т 1 1 1 1 ! Рис. 8.11. Смешение атомных плоскостей при прохождении поперечной волны.
Из (5.)5) видно, что сила Р, является линейной функцией смещений; выражение (5.!5) записано в форме закона Гука. !)остоянная С» есть силовая постоянная для плоскостей, находя- шихся на расстоянии р. Она будет иметь различную величину для продольной и поперечной волн. Удобно рассматривать С» как силовую постоянную, определенную для одного атома, так что сила Е, н данном случае является силой, действующей на один атом в плоскости з. Какова связь между С, и потенциальной энергией двух атомов? Пусть (>'()?о) — потенциальная энергия системы, состоящей из двух атомов, находящихся в состоянии равновесия на расстоянии )?о. Если расстояние между атомами увеличивается на величину Л>?, то новую величину потенциальной энергии можно записать в виде ряда: (1(1?) (1()д)+ ( гпз ) д)д+ 1 ( ь 'т ) (д)?)а+ ...
(5.)5а) Для силы, вызванной изменением межатомного расстояния на М, имеем г = — — „= — ( —,, ) — ~ — „, ) ЬК+ .. ° (5.!5б) лз гч 18Я и» 1 3 згт О 1 1 1 в ггз„,~ 1 1 1 1 1 а-~ зьк Рис. 8.10. Штриховыми линиями обозначены атомные плоскости, ваходяШиеся в равновесном состоянии, сплошными линиямн — атомные плоскости, смешснные относительно равновесного положения прп прохонгдснип продольной волны Величина и служит мерой смеШсппя плоскостей. ИРР ЙР~ ЯР хРР 'у енгатамнае утааатаннив \' Однако нас не интересует член — (Ж//с(Р), потому что, во-первых, оц ие зависит от Л)с, а, во-вторых, когда мы суммируем по нссм плоскостям, взаимодействующим с данной, результирующая сила в состоянии равновесия должна равняться нулю.
В данном случае силовая постоянная С определяется соотношением Г = — Сй)с, и для нес можно записать: (5,15н) Последнее выражение характеризует вклад этой пары атомов в силовую постоянную. Зависимость С = 1()с) для потенциала иДепнарда-Джонса для аргона приведена на рис. 5.12. Для того чтобы получить величину С„ необходимо просугяьиировать вклады от всех пар атомов в двух плоскостях, а затем разделить на число атомов в одной плоскости.
Уравнение двнжения плоскости з можно записать в виде дана М вЂ” = ~ Ср(и,,р — и,), Р (5.16) где М вЂ” масса атома. При суммировании индекс р принимает все возможные положительные и отрицательные целые значения. Ищем решение уравнения (5.16) в форме поперечной волны: и — и е' и'-Р1 Ка е иы (5.17) где и — расстояние между плоскостями'), а К вЂ” волновой век- тор. Подставляя (5.17) в (5,16), получаем: — шеМи е"к' е-'"' = ~ С '(е'1' Р'к" — е"и") ие ""'. (5.18) р Р ') Величина межплоскостиого расстояния для данной решетки будет заансеть от направления К. 183 Рис.
ог.12. Зависимость силе. иой постоянной С = дЧ/1д)1з от межатомного расстояния для случая изанмодейстиня двух атомов аргона а соотиетстаии с потенциалом Леннарда-Джонса. По горизонтальная оси отложены расстояния между ближайшими, нторымн, третьими н четиертыми соседями, Силовая постоянная изанмодейстнин двух атомов, находящихся на расстоянии йа = 1,1!о, которое является раииопесным расстоянием н кристалле, раппа +6,6 ° 10' дия/сье= = 6,6 Н1м.
(й. Пгау,) ь Р76 Ъ ф $ с7 Ц и ,ь ч -уеду Рис. бпза. Зависимость в' от К для рсыеткв, в которой учитываются взаимодействия только между ближайшими соседними плоскостямн. Сс — межсслоскостиая силовая постоянная, о — межплоскостиое расстояние. , Пб ~~П,П сз ~П4 ! с,р сс П Пер0ао зона 4ютелсропа 2:т После сокрасцения иа песок'е '"' получим: созм ~" С (осоки 1) (5.19) Если примитивный базис содержит только один атом, то из трансляционной симметрии следует, что С, = С р, и (5.19) можно перегруппировать следующим образом: оззМ= — ~ Ср(е'и"'+ е сока — 2). (5.20) р>о Используя тождество 2 сов рКа==есок + и сок', получаем дисперсионный закон: озз = — ~ Ср(1 — соз рКа), 2 кя йт Л (5.21) р>о 184 Рис. б.!Зб. Зависимость ы от К дли модели, используемой в рис. б.12.
Область К к 1сса, или сс » а, соответствует контниуальному приближению; здесь ез прямо пропорциональна К. Заметим, что тангенс угла наклона кривой, описывающей зависимость в = ) (К), всегда равен нулю прн К = ~п/а. В этом случае имеем: и'вз 2 т ~ — — раС„з)п рКа = О, (5.22) р.. а так кзк з(п рКа = з)п(~рп) = О. Этот результат показывает, что значение волнового вектора фонона, лежащее на границе зоны Бриллюэна, является особым, как и для волнового вектора фотона (см. гл. 2).
Если учитывать взаимодействия только между ближайшими соседними плоскостями, то (5.21) сводится к выражению вз = (2С)/))4) (1 — соз Ка). (5.23 а) Используя известное тригонометрическое тождество, можно записать (5.23а) в ином виде: 4С . Кп Г 4С Х'й) . Кп вз = — з!и' —, в= ~ — ) (зйп — ~. (5.23б) Лг ' 2 ' ~ М ) ( 2 Мы выбираем знак квадратного корня так, чтобы частота в для устойчивой решетки была всегда положительна.
На рнс. 5.13а и 5.13б приводятся зависимости вз от Ка и в от К. Обе зависимости являются периодическими функциями с периодом 2п)а. Первая зона Бриллюэна. Какая область значений К имеет физический смысл для фононов? Из (5,17) можно получить от. ношение смещений двух соседних плоскостей: из))зтпха е-ьз) — = = е)К". (5.24) Область от — и до +и для фазы Ка экспоненциального мне>кителя е'"' включает все независимые значения этого множителя. Аосолютно бессмысленно утверждение, что два соседних атома не могут иметь фазы, отличающиеся более чем на +гп так, относи тельная фаза 1,2п, например, физически идентична относптель« ной фазе — 0,8п, а относительная фаза 4,2п — фазе 0,2л. Необходимо, чтобы существовали как положительные, так и отрица ° тельные величины К, так как волны могут распространяться Рис.
5.13а. Волна, изображенная сплошной линией, содержит ту же информацию, что и волна, изображенная пунктиром, у которой х> 2а. С помощью последней показано смещение атомов (Р. Напета.) 185 как направо, тпк и налево. Таким образом, область незави. симых значений К можно определить следующими неравенствами '): — и ( Ка ~ и, или — — „( К -= — „. (5,25) Эта область значений К называется первой зоной Ьрп.тч!!одна линейной решетки (см. !л. 2). Предельные значения К в этой зоне равны (5.26) где К. „, может быть порядка 10а см-'. Предположпм, что мы используем значения К, лежащие вне первой зоны Бриллюэна (рис.
5.13в). Танис значения просто воспроизводят движения решетки, уже описанные значсниями /(, лежащими в пределах -!-и/а. Таким образом, величину К внутри этих пределов можно рассматривать как результат вычитания соответствующего значения, кратного 2п/а, что даст в результате волновой вектор, величина которого лежит внутри указанных пределов. Предположим, что К лежит вне первой зоны Бриллюэна, ио волновой вектор, связанный с ним соотношением /(' = = — — К вЂ” (2пя!а), где а — целое число, лежит в первой зоис. Тсгда отношение смещений (5.24) можно записать так; лз ле! = е!ка г . аэ ! е'!к -з: ! — е к'а (5.27) из р так как е'л" = 1.
Таким образом, смещен!с всегда можно описать с помощью знат!ения волнового вектора, лежащего в первой зоне Брпллюэпа. Заметим, по поскольку 2ппУа — вектор обратной решетки, то и 2п/а — вектор обратной решет!ги. Вы штаинем соответствующего вектора обратной решетки из К мы всегда получим эквивалентный волновой вектор в первой зоис Брнллюэна. У границ первой зоны Бриллюэиа К„,„= ~п/а и решение и,=ие!зк'е '"" будет описывать нс бетущую, а стоячую волну ']. У границ ЗОНЫ 5Кюазв = ! 5Л, ОТ!СУДа из — и е=!зт и — !м! ц ( 1) е — тн! (5. 25) Это и есть уравишше стоячей волны, Ниже мы покажем, что групповая скорость равна нулю. Для этой волны соседние ато- ') Заметпм, что в этом заключается существенное отливе днскретпой структ>ры от упр)той сплошной среды. В контннуальном прпблнженнн о-з.о н Ке.„-з.
и ын ') Мы обнаружвм это свойство также для аолновык функций электронов проводнмоств у граннц зоны (см. гл, 9). 186 117 Рнс. Б.14. Яавпснчость групповой скоростп от !С для моде.ш, нспользуемой в рнс. 5.13. На границе зоны групповая скорость ранна нуюо. Получаемая в насгоящее время в лабораторных условиях область значи нй К слнгнкот1 ограьн 1ена, н часть зксясрнмы!тяльпо1о графика для зая 5енпй К, бл;!зкнх к пул:о, построить нельзя. ~~ йч , Я. гг а /Г мы движутся в противофазе, так как совал = -1-1 в зависимо.
СТП ОТ ТОГО, ЯВЗ!ЯЕТСЯ ЛИ 5 ЧЬТНЫ11 ИГ1П 1ЮЧСТНЫМ ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ Болна не движется ии влево, пи впрлн1, т. е. я!ляется стоячей Б этом результате легко усмотреть полн, ю аналогию с брэг- 10ВСКИМ ОтраЖЕНИСВ1 рЕИТГЕНОВСКИХ Л'чтв!!. ДСИСТВИТСЛЬИО, К01'да УСЛОВПС БРЗГГИ Вгз!ПОЛНЯЕТСЯ, бЕГ1'ЩНЯ ВОЛПд Уже НЕ МожЕТ РаС иростраияться в решетке, поскольку 1мсюг мне!о прямое и обратное отражеш!я и в кристалле устанавливается стоячая волпа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
