Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы покажем, что одно из нормальных колебаний ') Все ссылки иа работы по теоретическим вопросом молсно найти в гл. 5 книги Мврвдудинв, Монтроллв и пейсов [Зй!. 203, Рис. 5.26. Ион Н, занестиашнй ион С! и кристалле КСН такой ириыесный центр называется й -центрои. Высокочастотные локальные фононные колебания обуслонлены конами Н". решетки локалпзуется в районе легкого атома и соответствующая 'частота увеличивается сверх м„». ненарушенной (невозмущенной) решетки. Учитывасм взаимодействие только блпжайпшх соседей и предполагаем, что это гзанмодействие одинаково как для атомов М' и М, так и для атомов Л1 и М. Расположим легкий атом в начале коордгшат, з = — О.
Уравнения двизкения для решетки имеют внд е»н Л' — „,' = С (и, + и, — 2ио), е'ти, М вЂ”,' = С(иа+ ио — 2и,), и т. д. ~~2 (5.54) (5. 55) Будем искать решение в форме зкспоненцпатьцо затухающей (по мере удаления от з = О) функции, которая в пределе М'-».М приближается к форме нормального колебания максимальной частоты для ненарушенной решетки. Решение у границы зоны для невозмущенпой решетки имеет вид (5 28): и, = и (О) сов зч е '"" — = и (О) ( — ! )» е '"'. Для нарушенной решетки и, = ио ( — 1)' е-'"' е-~ * ~ ', (5.56) где величина а должна быть определена, Подставляя (5.56) в (5.55), находим: озт = (С/М) (2 + е ' + е"), (5.57) в то время как, подставляя (5.56) в (3.54), находим: азз (С/М ) (2 + 2е-а) (5.58) Уравнения (5.57) и (5.58) являются совместными, если е" = = (2Л4 — М')/М', откуда мз озз = озз п1»» 2Н,Н 44» ' (5.59) 204 туà — т — -г т — т— 1 1 Г в л ! 57 йз ДУ Ду Гх Рис.
3.27. Инфракрасное поглошеппе, обусловленное присутствием ионов Н в КС! [33]. Концентрация ионов Н составляла 3 !О" сн-'. Энергия фотона в центре линии соответствует ллпие волны =2! )( !О-' сп. где оз а„=(4С/М)~- "— граничная (пороговая) частота [см. (5.23)! невозмущенной решетки, для которой М =М'. Если М'«М, то соотношение (5.59) сводится к юг (Лф2М ) Другие типы примесных колебаний ') возможны в двухатомном кристалле с двумя атомами разного сорта в примитивной ячейке.
На рис. 5.28 показаны движения атомов при так называемых локальных, промежуточных и резонансных колебаниях. Мы уже видели, что локальное колебание возникает при замене тяжелого иона более легким, например иона С]- ионом Н в КС]. Частота локального колебания выше максимальной фононной частоты ечистого» (беспримесного) кристалла. Частота пролтежрточного колебания лежит внутри интервала между акустическими и оптическими ветвями. Промежуточный тип колебания наблю» дается, когда ион 1- замещает ион С1- в КС!. ') Полезные списки лнгераттры по атому вопросу имеются в статьях [зз, 33], Сжаетл. леси Рпс.
528. Лмплятуды колебаний частиц, связанные с локальным (а), промежуточнь:и (б) и резонансным (и) видами колебаний в кристалле с двумя ато мами па примитивную ячейку. Светлын кружком обозначен прнмесныа атом. Расчеты амплитуд смещения для локального и пронежуто щото вида колебанна даны в работах 135, 881. Определенные виды примесей, особенно очень тяжелые примеси, могут приводить к квазилокалнзованным резонинснопи колебаниям, чьи частоты лежат в области разрешенных фононных частот совершенного исходного кристалла; такис колебания характеризуются сильно увеличивающейся амплитудой колебания прпмесного атома. Это наблюдается, например, когда ион Анн замещает ион Кь в кристалле К1. РЕЗЮМЕ 1. Квант энергии колебаний кристаллической решетки называется фононом.
Энергия фонона равна лщ, где щ — угловая частота. 2. Если в процессе неупругого рассеяния фотона илн нейтрона, при котором вх волновой вектор изменяется от й до й', образуется фонон с волновым вектором К, то правило отбора для этого процесса запишется так: Й = Й' + К + гн, где ьт — вектор обратной решетки. 206 3. Все волны решетки можно описать волновыми векторами, которые лежат внутри первой зоны Брнллюэна в обратном пространстве.
4. Если в примитивной ячейке имеются р атомов, то дисперсионный закон для фононов будет иметь трн акустические фононные ветви и (Зр — 3) оптические фононные ветви. 5. В двухатомном кристалле имеется запрещенный интервал частот между щг и щс для связанных фонон-фотонных колеба. ний. Поперечные волны, пмеюгцие частоты, заключенные в этом интервале, не будут распространяться в кристалле, б. Соотношение Лнддейна — Сакса — Теллера еть е (0) шт е (") связывает величины щь и отг с диэлектрическими проницаемостями, измеренными на низких и высоких частотах.
7. Нули диэлектрической функции з(ш) или н(ш, К) связаны с продольными колебаниями, а полюсы функции — с поперечными колебаниями. 8. Локальные фононные колебания связаны с точечными и линейными дефектами кристаллической решетки и с поверхностью кристалла. ЗАДАЧИ З.). Колебания квадратной решетки, Рассхготрпм поперечные колебания нлоской квадратной решетки, состоящей из рядов н столбдов одинаковых атомов. Обозначим через иш смсгдеппс атома, находящегося па пересечении Ьга столбда н гп-го ряда, перпендикулярное к плоскости ре~пстки (рпс.
5.29). Масса каждого атома равна М, а С вЂ” силовая постоянная для атомов, гп лящпгпхся ближайшими соседямн. Рнс бйй. Квадратная решетка с постоянной а, Смещения происходят нормально к плоскости решетки. 207 а) Показать, что уравнением движения является д г С((иге! зг+и!-! т 2игт) +(а! ж+г+"! м ! 2и! )) б] Предположить, что решеивя имеют форму ииэ = и (й) -р (г (!К.а+ г'гй„а — гэ!)) где а — расстояние между атомамп, являющимися ближайшими соседями. По- казать, что уравнение движения удовлетворяется, если ыгЛ! = 2С (2 — соз Кза — соз Киа).
Это соотношение есть дпсперспонньд! закон для данной задачи в) Показать, что область К-пространства, для которой с!щсствуют независимые решения. может быть взята в ниде квадрата со стороной 2п)а. Это есть первая зона Бгриллюэнз квздратпои решетки. !1ачертить график лаз!гсвг!опт!! ьг от К для К = К. с К„= 0 и для К, = Кз, г) для Ка « 1 показа~ь, что ы = (Сггзтгй!) ' (Кг + К-')" = (Саг!'.!1)"' ЛС 5лй й!овоатомная линейная решетка. Рассмотрим продольную волну и, = и соз (гэ! — зКа], которая распространяется в моноатомной линейной решетке; масса атома ЛС расстояние между атоггагггг а, сплавая постоянная для зтоиов, являюгдихся блпжаггшимн соседягпг, равна С. а) Показать, то полная эпергнк волны равна Е= — М т à — г) -)- — Сх(и —,,,)г, 2 за(, д! ) 2 где индекс з берется по всем атотгзтт.
б! Подстановкой и, в это выражение показать, что усредненная по времени полная зяергпя, приходящаяся нз атом, равна г ! — Л1ыги' + —, С (1 — соз Ка)! иг = — Л)ыгиг, ! 2 2 где па последней стадии иы испольэовали дисперспониый закон (5 23з) для этой задача. 5.3. Волновое уравнение континуума. Показать, что для больших значе. ний длин волн уравнение движения (5.!6) приводится к волновому уравнению упругого континуума д'и дги — иг д!г дх' ' где о — скорость звука.
лг Ряс. 5.30. Линейная решетка (кепочка) атомов, имеющих одинаковую массу; прпмитивньш базис состоит из двух а~омов, отделенных друг от друга расстоянием 5 Постоянная решетки равна а. Показаны две силовые постоянные. 5ай Оптические фоионы. Для оптических фононов с К = 0 относительное смещение соседних атомов в двухатомной решетке лается разностью и — о, где и и и — велнчнггы, определенные при записи соотношешй (5.33).
Определить среднеквадратичное значение величины и — и (а А) для 1 см' КС! при условии, что н пропессе участвуют 100 фоионов. 5 5. Импульс фонона. а) Показать из (5.17), что линейный импульс крпстьл:ш, в котором возбуждается волна с волновым вектором К, равен ы-! р = — гый)и е ПЩ ~ е"Кл, г=о если линейный кристалл состоит из Ф атомов массы 35 б) Для К ~ 0 показать, что сумма в выражении для л равна 1 — ехр ((ККа) 1 — ехр (ьКа) и) Используя периодическое граничное условие и, =. гизи, показать, что это )слоипе накладывает ограничения на зиа~ения К, которые должны быть тькитпп чтобы выполпялогь равенство ехо(пУКа] = 1. Используя полученный в (б) результат, мы видим, что р = 0 всегда, кроме случая К = О. Таким образом, фоион действительно имеет нулевой импульс, кроме случая, когда К = О.
б.б. Базис, состоящий из двух одинаковых атомов. Иайти и начертить продольный фонопный акустический и оптический сп чтр лпие(шой решетки с постоянной решетки а, имеющей базис, состоящий пз двух одчяакоаых атомов массы 11, равновесное расстояние между которымп равно б и(2. Оба атома базиса расположены па прямой. Силовая нос гояппая рзапа Сг для атомов базиса н Сз для атома базиса и ближайшего нз атомов, прппадлежанзпх соседнему базису (рпс. 5 30). згризм гание: Структура несколько похозка на линейную решщку молекучярпого яочорода 5.7.
Базис, состоящий из двух атомов разного сорта. Для проблемы, изложенной в данной главе (см. уравнения от (з.32) до (5.39) ), найти отношения амплитуд и(г для двух ветвей при К,,.. = я(а. Показать, что при этой величине две решетки лейсзвуюг, как если бы они ие былп связаны: одна Решетка остается в покое, в то гремя как другая движется. 209 бЛ. Эффект Кона.
Предполагаем, что выражение для меягплоскостцой силовой постоянной в уравнении (б.!5) имеет следуюгций вид; С Л з(п рйеа ра где А и йе — постоянные, а индекс р принимает все возможные целые значе ния. Такое выражег~ие для силовой постоянной, как ожидается, будет спрн ведливо для металлов. Используя это выражение и соотношение (5.2!), найти выражение для ыз, а также для дызА)К Доказать, что дыз)дК равна беско. нечиости, когда К = дк Таким образом, график ззввсимости ыз от К или ы от К при йе имеет вертикальную касательную: в днсперсионвом законе для фононов ы(К) при лт имеется перегиб.
Аналогичный эффект был предсказан Коном (3?). Г л а в а 6. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИКОВ Теплов>)кость кристаллической решетки . 211 Вы шд функнни распределения Планка (213). Модем Эйнштейна (211)й Почс ыт чис.щ нор ральпыч колебаний (212.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
