Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Тогда следует ожпдать, по средняя длина свг,бодного пробега фопонов станет постоянпои и по порядку вели*пшы сравнимой с диакгстром образца 0; для коэффициента теплопр >водности можно запнсат1п К = СО(). (6.62) Б правой часы! (6.62) лишь один сомножитель зависит от температуры — это тсплоемкость С; при низких температурах эта завпсимость кубическая, т. е, С вЂ” Т'. Размерные эффекты проявл!Потея во всех тех случаях, котла средняя длина свободного пробега фононов становится сравнимой с диаметром образца. В кристалле, идеальном во всех отношениях за исключением того, что составляющие его атомы Лля каждого химпческо:о элемента имеют разброс по массам (пзотопное распределение), часто имеет место важный мехаппзм фонониого рассеяния, связанпьш именно с этим обстоятельством.
(Случайное распределение изотопов фактически нарушает идеальную периодичность Решетки и, очевидно, картину упругих волн.) Б некоторых вешествах рассеяние фопонов, связанное с пзотопным распределением, сравнимо с рассеянием фононов на фононах прн комнатных температурах (с!ь книгт Займана [32]). Результаты лля германия приведены па рис. 6.26.
В стеклах прп понижении температуры теплопроводность уменьшается (см. Рис. 6.2?) даже при комнатных температурах. Сами значения коэффициента теплопроводности при комнатных температурах у кристаллов выше, чем у стекол. Средний свободный пробег в кварцевом стекле при комнатной температуРе Равен 8 Л, т.
е, по порядку величины сравним с размерамп тетРаэлра лвуокиси кремния (? А). Стекла, такие как плавленый кварц, имеют неупорялочснную атомную структуру, но непреРываю!цуюся сеть кремний-кислородных связей, как показано '!а рис. 6.28, б (см. работы Захариазена [34], уоррена [35], 243 От у 7 г Г 70 г0 07 707 570 000 Тюгттеднозр.„~' Рпс. 6.26 В.шя;ше пзотоппого состава яа тезтперптурньи ход теплопрово:гностн 1ттзотонт~ьттт эффект) в крнстал шх герзтанпя 1331, Бпдпо, гго вештчтша мзкснчуна унелнчввается более чеч втрое. Изотопньта состан оорззца обычнсг.
герма.шя: 20% Бетт, 27ыз Оетт 8сте Сьетз 37'",тз Бетт 8зтз Оетз; обогащст.- пыа нззтопом Ое" образец содерткпт 96еа Оет". Йттясе 5'К в случае оботаше.пшго образца лля коэффнцаента те.ттопроводносттт пнеен ух = 0,0607з. тмо согласуется с предложеняоя Казнмпрон 1301 георнеа теплового сопротпвлелн«, вызвзппого расссянпен па грашщах крпсталла. Данные по тепззпроводгостп прнводят д.тя случая рассеяния на гр;яицах к средпеб длпне свободного пробега 1,80 хттт, тогда как расчет вз плоншдн поперечного се ~енпя дает 1,57 мм.
Кондона 136)). Эффективные размеры крнсталлигов в таком вен[сотне того же порядка,'что и отдельные тетраэдры. Можпо ожидать, что в этом случае (за нсклпочецием области нпзкпх температур, где длины волн фононов столь велики, что структуру кожно игнорировать и считать твердое тело однородным) длина свободного проосга фононов будет постоянной, ограниченной лишь размерами крпсталлнтов, и уменьшение коэффициента тсплопроводностп при понижении температуры можно приписать лишь уменьшеншо теплоемкости. Диэлектрические кристаллы могут обладать столь же высокой теплопроводностьто, что и металлы. Синтетический сапфир (А1зОз) имеет одно из самых высоких значений теплопроводности, а именно около 200 Вт,'см град при 30'К.
У стекол теплопроводность понижается до 5 10-' Вт/см.град при 2'К; Берман (37) предположил, что теплопроводность микрокристал,тического | рагс г л г л уо мгла лгг Глл Я'лщлжзо -4 Рис. 6.27. Температурная зависимость теплопроводности некоторых кристаллов н стекол и гад т т ерр т о Рнс. 6.28. Двумерная схема, яллюстрнрующая разли ше между кристаллом и стеклом (предложена Захарназеном): а — регулярно повторяющаяся структура атомов в кристалле, б — хаотзпгеское расположение атомов в стекле. Материал — кварц, линии показывают направления связси; черные кружки— атомы кислорода. графита при 1'К может достигать 10 ' Вггсы град Максимум теплопроводиости санг[жри (при 40'К) оказывается выше максимума для мсдп, равно~о 50 Вт/сзг град (чри =20'К) [88).
Однако металлический галлий при 1,8'К имеет теплопроводность 845 Втгсм град [39]. Максималыгая теплопроводигзсть ХаГ (измеренная в опытах, результаты которых приведены па рис. 6,251 равна 240 Вт)сзт ° град. Электронпьгй пилат и теилопроеодность металлов расс"отрен в слсдующзЫй гл. РЕЗЮМЕ Теорию ч[еоая можно пзложтпь иным путем '), игпгки з) я представление о стоя итх волнах в образце в виде куба со стороной Т., а в ка~гестве граничных условий вводя требование отсутствия смешений на всех гранях. В изотропиом случае волновое уравнение имеет вид 1 дтгт т и= —.— о — скорость звука.
сз Дтз Решение для смещений и берется в форме гтхпт , гтлн/Г . гм си = Ле ' ' з)п — 3!и — з)гт где Л вЂ” постоянная, а частота ы удовлетворяет соотношению Здесь п„пд, и,— тройки положительных целых чисел, Макси- мальное значение а определяется условием 1 4п 3 — — пз =Ж, 3 3 ных где слева стоит объем положительного окганта сферы в пространстве и„, и„, и,. Полное число мод какого-либо одного типа поляризации равно дг — числу атомов. Для тепловой энергии фононов (полагая т — = ЙаТ) имеем; ев1 за Лы„ 4п ~ пз с)п в ды„ 3 вхвавт 346 ') Здесь мы следуем изложению, использованному в главах !О и 16 книги автора [1). Вводя обозначения оп= овгз!!.
и х=(мпй7!.т) и, аапигпем: гп ах 0 где Другтю осповиыс вопросы настоящей главы могут быт' рса|омированы в сл дую цсм исречис: Г ( ытби б) Сипгулярностп вап Хопа. в) Эффекты апгармоиических взаимодействий в кристаллах. г) ТеплопРоводиость К = '|зСо!. д) Роль столкновений, приводящих к процессам переброса, и явлениях тсплопроводиости. задачи вя. Теплоемьость одномерной решетки (линейной цепочки).
Показать, ч|о в дсбаевскш| приближении теплоемкость одномерной решетки из одннаьовыт выгмов пропорциональна Т70 при низких температурах (7' « О), Здесь 0 — эффскм|зная дебаевская температура одномерной решетки, опредсляемая соошшц|сипом 0 = !|мы*.7йе = Ьпое77гза, где lгв — постоянная Больцчзпа, о — х|енгатоъп~ос рзсстояш|е. бть Знергия и функция распределения. Показать, чго выра|кение д ш средней эпермш системы можно представить в следующем анде, (Е)=й Т' гдс 2 — интеграл состояш|й, которыц для классической одномерной системы по определению равен Л = ~ ~ ехр ~ — Е (р, х)гйвТ) г(р тйх; здесь и — импульс.
6.3. Тсплоемкость ангармонического осциллятора. Исходя из выражения для ангармонпческого потенциала (7(х) = гх' — йх' — )с', показать, что теплоемкость классического ангармонического осциллятора описывается приблил епным выражением Хкозонпе: Использовать приближенное соотнощенпе )и(! + б) явй — г/зйз для б << !. Расчет упрощается, если воспользоваться интегралом состояний )сьг. задачу 62).
Предполагается, что колебания осцпллятора относительно точки х = 0 малы п поэтому член сс' в выражении для погеиипала является поминпручощю1 Удобно член — схзут оставить в экспоненте. а экспоненту с ар)мгпи степеиямп разложить в ряд. Если окажется необходимым, сакранить в рззлогьеинят члены порядка й й З.гесь т = ФзТ 6.4. Трекфононное взанлгодействне. Рассмотрич кристалл, для коточо; о гос = о, йй ыг = огК где оы ог пе зависят ог !й Ипды сы Т., Т относи ~ся, соответственно, к продольным и поперечнын еолиатг.
Пля случая ог, ) гч показать, что нормзльг~ый трезфоноиный происсс Т+ ь ч — ь Т зе удовлетгоряет пи закону сотртнспгщ энерынй ни закону сочраисиия волнового вектора. Г л а в а 7. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ФЕРМИ. 1 2 8 776 «Б творя», которая даст подооныс рстультаты, несомненно полно)з быть большая доля петиным г. Л, лог гч Основываясь на модели свободных электронов, мы можем объяснить целый ряд важных физических своиств металлов, и особенно простых металлов, Согласно этой модели наиболее слабо связанные )валентные) электроны составляющих металл атомов могут довольно свободно перемещаться в объеме кристаллической решетки. Этн валецтные электроны становятся носителями электрического тока в металле, и поэтому пх называют электронами проводимости.
В приближении сво)юдных электронов можно пренебречь силами взаимодействия между валентными электронами и ионными остовами и вести все Расчеты так, как если оы электроны были действительно свободнь)ми и без всяких ограничений могли перемещаться в любой области образца. Их полную энергию можно считать равной их кинетической энергии, а потенциальной можно пренебрегать. Однако даже для тех металлов, для которых модель свободных электронов «работает» хорошо, известно, что на истинном Распределении заряда электронов проводимости сказывается 2фй энергетические уровни и плотяость состояний в однотшрном случае, . 252 Температурная зависимость фуики77и распределения 7рерм7) — Днрака .. 25л Свободный электронный газ в тредмерводг случае...,.......
257 Теплосмкость электронного газа . . . . 261 Эн перилынгьльные деннис по электранпоа теплосюосси мсгнллос )2Я). Рсрмни,идкость )2ба). Элсктропроводность и закон Ома 259 зкспсримсктэльные денные об элсктрасоиротнэленни меть .:оэ )272). Тег:лопроводность металлов...,.........., . 275 отношение коэффппнепы тсп.,апропалностп к удельная пропадш7астк )27С). Задачи . Л)ыературз . Ггрилодсение, гтногяп)неся к донно'7 г.шзш Гь Чэункиия распределении Фсрлгп — Диракн .,...,....... 73! спл! пый элсктростатп'>сскпй поггнппал ионных ос>онов.
Модель свободных электронов в высшен степени полезна при интерпретации экспериментов, поскольку она существенно связана с кинетическими свойствами электронов проводимости. Ниже в главах 9 и 10 мы затронем эффекты взаимодействия электронов проволимостп с решет'ой. К простым металлам о>носят щелошыс мс>аллы (литий, катр!!и, калий, цезий и рубпдий). Во всех металлах элок ршп> пров>1лимостп ведут себя почти так жс, как своболные электроны.
Искл>очепис составля>от металлы, глс имеет место ! срс кры,ис г>-ог>олочск пли глс энергия электронов близка к зоил проволпмостп. Электроны г)-оболочек обычно сильв!.е локали:ювапы и менее подвижны, чем э- и р-электроны, К числ) прост>2>х : етал>ов (кро>>с упомяпутых) относят также. Бе, А)д, Са, Бг, Ва, Л1, 6а, 1п, '1'1, Еп, Сс), Нд и Р1>. К числу простых пс относят бла>оролные ме>а,>лы (Сн, А о, Ли), переходные металлы, лантап и лы н актиноиды. В простых металлах электроны проводимости образуя>тся пз валептных электронов атомов, составлякнпих металл. Б а гоне натрия валентпый электрон находится в Зэ-состоянии, в металлическом состоянии этот электрон становится электроном >роводимостп и свободно «странствует» по кристаллу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
