Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В простейшей формулировке ггрггнг(игг !)пули утверждает, что никакие два элекг!тона в такой сигтел1е не могут алеть ог)ннаковьге кввнтовь1е ~11!с.га. Это означает, что каждая волновая функция (орбиталь) описывает состояние, которое но>Нет быть занято ие Оолее чем Одним зг1сктроном '). Это утверждение справедливо для электронных систем атомов, молекул и твердых тел.
В одномерном твердом теле квантовые числа электрона (в данном случае электрона проводимости) есть н п т„ где и — целое положительное число, а число т» = -(-1(2 соответствует двум ориентациям спина. В паре состояний (орбиталей), имеющих общее квинтовое число и, электроны находятся в раз. ньгх состояниях: один со спипом «вверх», другой со спинам «вниз». Если в системе восемь электронов, то в основном состоянии системы заполнение индивидуальных состояний, описыьаемых орбпталямн, будет соответствовать следующей таблштс: ь 1 1 2 2 3 З 1 1 б 5 ш» 1(аличис электрона 1 1 1 1 1 1 ! 1 О О Обозначим через пг квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня; отсчет заполненных уровней мы ведем снизу (от дна, отвечаюцгего значению и = 1) и, продвигаясь далее вверх, заполняем электронами уровень за уровнем до тех ') Число волновых функдий (орбиталей), отвечаюгинх данной величине энергии, ыожет быть больше единицы.
Число волновых фтнкдий (орбиталей1, описывавших состояния с одинаковой энергией, называется вьгрождениеи. 2бй пор, пока не будут размещены все Л' электронов, Удобно предг,*оложитгь что Й вЂ” четное число. Тогда число пж т. е. число н тля высшего заполненного уровня, определится условием 2пг = Лг. Знергггю Фг,гзлггс ег мы определяем как энерппо электроноп ип высшем еше заполненном уровне.
Согласно (7,5) п[ш л =- зги в одноме)шом случае писем: (7,б) тгмпе Атхрихя злвисимость Функции РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ вЂ” ДИРАКА Оспоанос состояние системы — это состояние прп абсол.'отго" нуле. Что оудет происходить при поьышсшш температуры? ;вза задача припал.ежпт к числу стандартных задач элсментариги1 статиста гескогг механики, гг ее 1зешеггнсм (см. Прилозкеигге Е) н данном случае является функция распределения Фермп-- Дирака. Кг иетг~ческая энергия электронного газа увеличивается при новы|пении температуры; при этом некоторые энергетические уровни, которые при абсолютном пуле были вакантными, оказываются занятыми, и одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле оылн заняты, становятся накаптными.
Эту у,г ууаз 4 5 гз 7 З У аг уса г 7ГГ /Г Ряс. 7зв Фуикция распреаслепия Ферми — згирака при различпых температурах лля случая Ти--.=а )гги-— -50000 'К. ГраФики относятся к случаю треха!ерпого злекгрышого газа. Полное числа частиц постоякио и ие зааисит от температуры (В. РсЫп1ап.) 255 ст .3 4 /гтт Т Р с тпй Тсппсряту 1 от з,:и сп* сстс кппп»гс ого гг гспппя те .".1» гсзя пе. иззп пздгйсзпукзпггкз с) с)зппзпсз (з р тпсрпып спу»сй).
дл» у,обсгпз построек ~я гряфпкз копцсптрпцпп ысз:пг зодр .. я тяпой по И (й)==-е . =- (3,'2) ' сптуат)пто иллгострпруст рис. 7.4, где из гзрагксны графики Функции ) ~г — ц,»ат +) Это фрнкцпя Распределения трг'рмгг — дирика, которая даст вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре Т состояние с энергией е занято электрозигум. Веггичппа р является функцией температуры; и каждой конкретной задаче величина р определяется пз условия постоянства полного числа электронов в системе, т. е.
нз условия, что число электронов равно Лг'). Прп абсо:нотном нуле р = ег, так как в пределе Т -ь О функция )(е) изменяется скачком от значения, равно~о 1 (заполненный 'уровень), до значевпя О (вакантный уровень) прп е = ег = р. 77ри лтооот! телгггерагугзе ) О прц е = — р (й()нкпия ) (е) ровна !!2, поскольку знаменатель (7.7) при Еспп е,— омы пз )зязрзшспппк урояпсй, то прп гпобой гсмпср гуре должпо иметь кесто ряееистпо )(е,) = йг, пзп и пптегряльной форме: Не ) (е) й» (е) = )т', и где аз(е) — функция плотпости состояний, определепияи паже и основком тексте. и = и равен 2 Величина р называется химическим потенциалол '); прп абсолютном пуле химический потенциал, как легко видеть, равен энергии Ферми.
При низких температурах величина р близка к значению е. (см. рис, 7.5). Г!риведснные соображения делают очевидным введенное гыше определение энергии Ферми как энергии наиболее высокого занятого электропамн состояния ирн абсолютном нуле. Область функции распределения, соответствующая оольшнм значениям энерптн («хвост» распределения), когда е — и » мвТ, отвечает большим значениям экспоненты в знаменателе (7.7); тогда единицей в знаменателе можно пренебречь и приближенно положить )(е) ехр[(р — в)гиаТ). Эта функция практически блпзка к классической функции распределения Больцмана.
СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ Уравнснпе Шредингера для сгободной часпщы в трехмерном случае имеет следующий внд: й« г д' д» д> х (7.8) Гели электроны заключены в ограниченном объеме, имеющем форму куба со стороной Ь, то решением уравнения (7.8) будет функция, представляющая собой аналог волновой функции (7.4) для одномерного случая, а именно: Уилл Х Улин Х Тяп» ф„(г) = Л и!п( — х)з(п( ул!з!и( — г), (7.9) где п>о пю п,— положительные целые числа.
Это стоячая волна. Удобно ввести также волновые функции, которые удовлетворяют периодическим грани>шым условиям, подобно тому как это сделано для фононов в гл. 6, Потребуем, чтооы волновые функции были периодическими функциями по х, у и г с периодом Е, т. с. т) (х+ 7., у, г) = — ф (х, у, г), (7,10) н аналогичные условия для координат у и г. Волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера для свободной ') Прп наличии внешнего поля е изменяется.
и !«тоже изменяется. Это новое значение Р обычно называют электрохимнческпч потеиииалом. Термна «химический потенпиал» часто сохраняют лля величины, являющейся разностью между электрохимпческнм потенциалом в потенциальной энергией часпщы, приобретаехн>й во внешнем поле. Такое словоупотребление обычно применяется в физике полупроводников Прн описании полупроволниковых приборов с электронно.лырочными переходами. В книге автора (!] понятия «химический потенциал» и «электрохимический посеипиал» ие различаются.
Э ч, Кнттель 257 чзстииы (7.8) и периодическим граничным условиям (7.10), про,шгазляют собой бегущие плоские волны: ф» (г) =- е'»'", (7.! 1) грп;слогпп, ~то компои«иты волнового вектора й принимают слшг юш~ й набор зьшчеиий: (7.12) п англо пчиые наборы для /, п /г,. Иначе говоря, люоая конно- в«ига некто!/а й пмсст вид 2пп,'Е., гд«п — полое положитетьиое илп отрпиат«льиос число.
Комиои«иты /г являются кв |пговымп числамп рассматриваемой задачи наряду с квантовыми числами ш„задакпцпп ~ направлеии«спина. Нсгрудно убедиться в ~ем, по при зпач«нияз /г,, задаваемых набором (7.12), условии (7.10) удовлетворяются; дейст вительно, ехр (//г» (г+ й)) =- ехр (12пп (х+ Е!/Е) = = ехр (/2ппг/() ехр (/йнп) = ехр (/2ппхД ) = — ехр (///„х). (7,13) Подставляя (7.11) в (7.8), полу шм: (7.14) т.
е. собственные значения энергии е„состояний с волновым вектором й. Величина (длина) волнового вектора связана с длиной вол- ны /. известным соотношением й =- 2п//,. (7 1") Импульсу р в квантовой мехзппке отвечаег оператор р = = — — /И'! сели подействовать этим оператором на волновую г)шикиию (орбиталь), описывающую состояние (7.11), то по- лучим: р4„(г) = — /Ьт/ф (г) =ййф (г).
(7.16) Отсюда следует, что плоская волна ф является собственной ф!.икцпей оператора импульса р, причем собственными значениями оператора импульса служат йй. Скорость частипы в состоянии с волиовыи вектором й определяется соотношением т/ = йй/т. (7.17) В основном состоянии системы из й/ свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в й-иространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы.
является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные /гг, а 258 Рнс. 7.6. В системе на Ег свободных электронов в основном состояппн нанятые индивидуальные электронные состояния (точка в Й-пространстве) аанпмают сферическую область с раднусом нр Этот радиус определяется соотт»пеанея ер —— й Е )вчв где е — энергия электрона с полковым и вектором длпноа Ер, оканчнваюгп|в1ся на поверхности сферы.
сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном случае она является сферой, см. рис. 7.6). Следовательно, для энергии Ферми ег имеем: й' ер — — — /гр 2п~ 4:чь~ргз 2 = —, )г'р. = Л' 12 па Е)" Зп" (7. 19) где множитель 2 в левой части учитывает два допустнмых зна- чения спинового квантового числа тча для каждого разрешен- ного значешгя й. Полное число состояний мы полоясилн равным числу электронов Л'. Итак, из (7.19) имеем: ( ЗлтЛР ) '/3 (7.20) Отметим, что радиус сферы Ферми /га зависит лишь от концен- трации частиц Лг/)г и не зависит от массы ш. Подставляя (7.20) в (7.18), получим энергию Ферми ер.' (7. 21) Это соотношение устанавливает зависимость энергии Ферми от концентрации электронов Лгг)г и от их массы пг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
