Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 138
Текст из файла (страница 138)
а второй член — это потенциальный импульс, или импульс поля: () с Таким образом, полный импульс (1.3) (1.4) Теперь, имея в виду (!.4), запишем кинетическую энергию: 1 1 1 / () Я 4 о з ( М о ) з ~ Р А ) 2 2М 2М ч с Будем считать, что мы имеем дело с немагнитным материалом и поэтому нет необходимости различать 8 и Н. Уравнения движения Лагранжа. Согласно предписаниям классической механики, чтобы найти гамильтониан, мы сначала должны выписать лагранжиан. В обобщенных координатал для лагранжиана имеем следуюшее выражение: 1 МА» г), ( )+,',А(4) г Сг 2 с (!.7) Сейчас мы увидим, что это — правильное выра»кение для Ь, ибо оно при- водит к правильным уравнениям движения заряженной частицы при налич|ш одновременно и электрического, и магнитного полей.
Запишем уравнения движения Лагранжа в декартовых координатах: д(. д7. — — — — =0 дх дх и аналогично для осей у и х. Пользуясь (!.7), найдем необходимые произ- водные: дй дф г7 / дА» дАз дА»'з — — 17 — + — !чх — + у — + 2 — ), (!.9) дх дх с ч дх дх дх )' — =Мх+ — А„, д(.. Я (1.10) дх с дЕ !7 АА» - (7 7 дА» дА» . дА» ~ . дА» 'т — — Мх+ — — = Мх+ — ~ — + х — + у — т» — ). л( дх с о( с ч д( дх ду дх )' (1А 1) Итак, уравнение (!.8) примет вид: дф () дАк дА» дАд, дА» дА» й(х + Я вЂ” + — ~ — + у ( — — — ) +» ( — — — Я = О, (1.12) или бзх С) М вЂ”,=ау + — ( ХВ)х, (1.13) ') Элементарная трактовка векторного потенциала дана в учебнике Парселла (16).
744 Векторный потенциал ') А связан с магнитньш полем В известным соотношением х) = го( А. (1.6) где дф 1 дАх Ех = —— дх с да (1.!4) В=го!А (1.15) В правой части уравнения (1.!3), как легко заметить, стоит выражение для силы Лорентца. Этот факт подтверждает правильность выбора лагранжиана в форме (1.7). Заметим также, что согласно (!.!4) электрическое поле Е состоит нз двух частей: первая определяется электростатическим потенциалом ф, а вторая — производной по времени от мапштного векторного потенциала А.
Вывод гамильтоииана. Импульс р определяется как производная лагран- жиана по 4: — = Ма)+ — А дь Я дл с (1.16) Это выражение находится в согласии с (1.4). Гамильтоииан ээ"(р,а)) опреде- ляется, иак известно, соотношением: М(р ф) ив м р ф — !" (1.17) Раскрывая правую часть получим а 1 г Я = Мда + — л А — — Мд' + фр — — д ° А — аХ р — — А уа + фр, с 2 2М ~ (!.18) (!ЛО) Мы работаем в иерелятинистском прнближенпи, т.е. считаем, что скорость частицы и « с. При малых значениях отношения пас мы можем считать, что поле В обусловлено лишь внешними источниками, э поле Е создается лишь зарядом частицы.
Если заряд !3 находится в точке г', то Е = — Чф, Чаф = — 4п() й (и — я'). (!.20) Следовательно, для импульса лпмэ имеем: 1 рп а= — — ~дУЧфХго!А 4пс (1.21) Используя стандартное векторное тождество для Чф Х го! А, получим: дУ Чф Х го! А = — ~ др [А Х го! (Чф) — А Мт Чф — (Чф) дги А). (1.22) Но, поскольку го!(Чф) = О, мы всегда можем выбрать калибровку так, чтобы Мч А = О. Эта калибровка называется поперечной. Итак, имеем: Рг ы = — — ~ НУАЧ ф= — ~ др АЯ Ь(г — и') = — А. (1.23) а Я 4пс сд с Импульс поля, Импульс в электромагнитном поле, сопутствующий часюгце, движущейся в магннтнои поле, определяется интегралом по объему от вектора Пойвтннга: Этот результат раскрывает смысл вклада поля в полныб импульс: р= Мв+ ОА/с Калибровочное преобразование.
Пусть мы имеем уравнение Шредии- гера сеф= еф где Ж= — (р — — А) . (1.24) Произведем следующее калибровочное преобразование от А к А': А'=А+РХ, (1.25) где Х вЂ” скалярная функция, Очевидно, что В го1А = го(А', ибо го1(рХ) — О,. Тогда уравнение Шредингера примет вид: 1 / Я вЂ” (»- — А'+ — тх) 2М х с с (1.281 Поставим вопрос: какая волновая Функция ф' удовлетворяет уравнению вида — (р — — А') ф' = еф', Я (1.27) где собственные значения е — те же, что и уравнения для ф) Уравнение (1.27) эквивалентно уравнению 1 г ф д че — (р — — А — — РХ) ф' = аф'.
2Л1 ч с с (1.28) Попробуем положить ф' = (ех𠆄 ) ф, Рф' (ехр — ) Рф+ — (рХ) (ехр — 'Х ) ф; (р — — рХ) ф'=(ехр ' ) р,р (1.29) Тогда следовательно, 1 — (»- — А- — РХ) ф = 2М ~ =(ехр — ) — (р — А) ф („лр Х) зф. (1.30) Мы показали, что волвовая функция ф'=(ехр — „) ф удовлетворяет уравнению Шредингера после калибровочного преобразования (1.25). Энергия е — инвариант этого преобразования. Калибровочное преобразование векторного потенциала просто изменяет локальную фазу волновой функпии. Можно поэтому записать: ф"ф'- ф'ф (1.31) откуда видно, что и плотность заряда является инвариантом калибровочного преобразования.
Калибровка уравненин Лондонов. Б сплу уравнения непрерывности для потока электрического заряда в сверхпроводнике лолжпо выполняться условие: 4!ч ! =О, Отсюда следует, что в уравнении Лондонов ! = — сА)4паь для А имеем: 2 б!ч А =О. (1.32) Очевидно, что через границу сверхпроводннк — вакуум так не идет. Нормальная компонента тока (перпенднкулярная к поверхности образца) должна обращаться в нуль, т.
е, /» = О; следовательно, для векторного потенциала А в уравнении Лондонов должно выполняться условие: А„= О. (1,33) Калибровка векторного потенциала в уравнении Лондонов для сверхпроводника должна выбираться так, чтобы удовлетворялнсь условия (1.32) п (!.33). Квантование орбит в магнитном поле. Для рассмотрения эффекта де Хавва — ван дльфена мы предполагаем, что орбита частицы с зарядом !7 в магнитном поле квантуется в набор разрешенных орбит дается формулой Бора — Зоммерфельда: $ р Дг=(п+ у) 2пй, (1,34) р г(г = ~ йй ° бг+ — ~у А Аг. $ =~ -$ !О Х.
с 3' (1.36) Уравнение движения частицы с зарядом !3 в магнитном поле запишется в виде й — — — Х В. дй !3 Иг Ж с й! (1,37) Интегрирование этого уравнения по времени дает соотношение: йй = — гХВ !3 с !!.38) (здесь опущена произвольная постоянная, которая не дает вклада в оконча- тельный результат).
Вычислим первый контурный интеграл в (1.36); йй пг= !у г Х В пг= — — В у гХ да= — — Ф. (1.39) $ =-$ =-- т с 3' с 5' с Здесь Ф вЂ” магнитный поток, пересекающий орбиту в обычном пространстве. Мы использовали геометрический результат: г Х г(г = 2 Х (площадь, охватываемая орбитой). (1АО) 747 где л — целое число, у — фазовая поправка, которая для свободного электрона равна !)2. Запишем выражение (1.4) для импульса в виде: р=йй+ — А, (135) с где йй — кинетический импульс частицы, А — векторный потенпнал магнитного поля.
Тогда Рнс. 1.1. Орбиты элеш рона в магнитном поле в обычном хоордпнапюм про. странстве (слева) н в пространстве волновых векторов (справа). В приведенном здесь случае у = О. Поток через внутреннюю орбиту (в координатном пространстве) ранен 2лйгг)е. Вычислим теперь, воспользовавшись теоремой Стокса, второй контурный интеграл в (1.36): — ~у А г(г == ~ го(А М= — ~ В.
г(п =- — Ф; (1.41) с 3 с с здесь г(о — элемент поверхности в обычном пространстве. Имея в виду (1,34), получим; р сгг = — — Ф = (и + у) 2ий. Сэ с (1А2) Ф» (»+ у) 2пйс (1.43) Мы вернемся к этому результату в Приложении 3, Величину кванта потока удобно выразить через постоянную тонкой структуры е'(йс: — =2пе — 2пе(132,04) =4,14 10 Гс см. 2яйс йс -7 2 е е' (1.44) ,Чля теории эффекта де Хаааа — вап Альфена пам нужна площадь орбиты в пространстве волновых векторов Мы уже получили в (1.43] поток через орбиту в обычном пространстве. Из (1.37) мы знаем, что элемент длины йг в плоскости, нормальной к В, связан с Ай соотношением йс Аг — Ьй, еВ (!.45) и, следовательно, площадь Я„в й-пространстве связана с площадью А. орбиты в обычном г-пространстве соотношением А»=( — ) 5». (1.46) Таким образом, орбита электрона каантуется точно так гке, как н поток через площадь орбиты, т.е.
Отсюла с учетом (1.43) для Фч имеем: г йсъз 2лйс Ф. =1 — 1 — Зл = (и+ у) е ) В е (1, 47) Наконец, получаем, что площади орбит в й-пространстве удовлетворяют следующему соотношению З„=( +у) — В. ! 2ле Ъс (1. 48) Этот результат был получен Онсагером и И. М. Лифшицем. В качестве примера па рис. !.! показаны две орбиты. Е КВАНТОВАНИЕ ПОТОКА В СВЕРХПРОВОДЯШЕМ КОЛЬКЕ Мы приведем здесь доказательство того, что полный магнитный поток, проходящий через сверхпроводящее кольцо, может принимать лишь дискрет- ные значения, кратные кванту потока, равному 2лйс/д, где согласно экспери- ментальным данным заряд (гг( = 2е. этот результат подтверждает, что сверх- проводящее состояние возникает благодаря спариванию электронов, Кванто- вание потока — красивый пример макроскопического проявлеяия квантового эффекта.
В этом случае, так сказать, когеревтность сверхпроводящего состоя- ния охватывает все кольцо или всю обмотку соленоида. Электромагнитное поле служит примером бозонного поля. Напряженность электрического поля Е(г) можно качественно трактовать как амплитуду поля. Плотность энергии в квазнклассическом приближении можно записать в виде ! — Е' (г) Е (г) яв л (и) йе, 4л гле л(г) — число фотонов частоты ы на единицу объема.
Г!редполажнм, что полное число фотонов в объеме велшсо по сравнению с единицей. Тогда для амплитуд люхсно записать выражение: и (г) ('!лбы)гы [а (г))г(зе в!г! е (г) кв (4лйоэ)гл(п (г))!гз е ') Температура хоиденсации бозонов, вычисленная для концентраций электронов, типичных для металлов, порядка температуры Ферми, т. е. 1О' †' 'К. Температура перехода из сверхпроводящего состояния в нормальное во много раз меньше;при температуре перехода каждая электронная пара распадается на два фермиона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
