Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Приводимые ниже соображения относятся к любому дисперсионному закону (т. е. зависимости ю от К) и не ограничены случаем фононов. Они, следовательно, применимы к электронным энергетическим зонам (гл. 9) и к спектрам спановых волн (гл 16), В случае седловых точек ход изменения функции плотности состояний в зависимости от частоты меняется особенно резко, как можно видеть из графиков на рис. С.!, а и г.
1 ЕЫл~аепл 1 гллтла 1ЙЕЫал 1 глсеел 1 вг зз — ь бу гг Пусть К. является критической точкой. Введем разность а = К вЂ” К, и разложим функпию в(п) в ряд вблизи критической точки. Ограничиваясь в разложении первымн наиболее важными членами, получилп в (т) вс + а1а~ + "зйз + азтзт + . (С.2) Здесь аь дж аз соответствуют локальным главныи осям поверхности постоянной частоты, в, — частота в критичесной точке (при К = К,). а) Случай л~аксимул~а. Предположим для простоты, что локальная поверхность постоянной частоты имеет фоому сферы; тогда в (а) в — ааз.
(С 3) Для объема сферы радиуса П в фурье-пространстве имеем: Тогда для функпни плотности состояний вблизи в„но при в ( в, получимг м)(в)=~ ! ~ ) ~ (Вс оз) з (СА) 2л! Ив ~ 2п ай 724 Рис. С.1. 1'атрывы функнни плотности состояний Я(в) вблизи критических тою (максимум, минимум и два типа седловых точек). Здесь кривые проведены лишь для вкладов в м)(в) от локальных областей поверхности частот вблизи критических точек.(Эти вклады следует, вообще говоря, добавлять к зависиь|ости Ы(в) общего вида, определяемой асей поверхностью частот в(й).) а для значений в ) в, Я(в) =О. (С.б) Это определение отражает вклад в плотность состояний того участка частот. иой поверхности вблизи в„ который отвечает значениям в ) в..
Зависимость Ю(в) в этом случае изображена графически на рис. С.1,а. б) Минилгулг. Предположим, что в (а) = в, + агуз. Из тек же соображений, что и выше, получям: Ы(в)=0 для в<в, /б Хз2п 'д Ы(в) =1т — у! —,(в — в,) ' лла в ) соо. (С.у) (С,8) График й)(в) для этого случзя приведен на рпс С.!, б. в) Седловая гочка Предположим, что в(ч) =о'о а 'нч! + чз чз)' (С.9) Чтобы найти плотность состояний для в < в„произведем преобразопание координат: о,а (вг — в) ' сЛ в соз ф, уз ч ч аза ' = (в, — го)" сЛ в вп ф, у дза й = (в, — в) У' зЛ а. (С.10) Подставив (С.10) в (С.9), можго убедиться в том, что (С.9] при этом выполняется; при подстановке используются известные соотношения: сЛз я — зЛз$ 1, соз'ф+ з)па ф =1. (С.!1) Для элемента объема в фурье-пространстве имеем: дгу~дгузддз =)У ( ' ' ') )двдйдф, (С.12) где У вЂ” якобиан преобразования: дгу> даз дв дв дуз дв (в в]'уз с, сЛ|.
2ав (С.13) Якобнан раскрывается прямым расчетом, хотя зто и несколько утомительно. В результате для функции плотности состояний (все еще для в ( в.) получаем: !! у(в) (й 1Уд$1д =( — ) ( о,м 1д(Л4)1дф,(С,14) где сув ~ У да ~ дф до~ дгуг дй дй д~у~ дйз д~р дф дгуз дй дрз дф С) = Ч1+ Чх+ да= (с)з й+ з(т с) ' (1+ 2 зй й)1 (С.!5) .отсюда получим: ~ г) (з)з |) = — ( 1) (С.! 6) следовательно Ы(а) яз+е — и,)'й лля в < в,. Лля области значений в — вс < б), разложив (СЛ7) в ряд, получим; ,)( ) с) вс 2С) (СЛ 7) (С.17а) Чтобы найти плотность состонний для о > в,, воспользуемся другим преобразованием координат, а именно; д, а й = (и — е,) й ОЬ $ соз ф, дзо и = (в — иг) й з(з Г з)п (р, дзад' = (а — а,)'й ОЬ й.
Элемент объема Йд~ с(дт Ддз =, оа льь с(дд (о — в )й 2о'Св (С.! 9) пределы для сп ь даются неравенством 1 л ау хд~ 1О с(та<=~ + 1~ Х/2 хьз, — е (С.20) Следовательно, для функции плотности состояний получим: Я (о) — (Я + в — ис) * — (Оз — ис) ' для в > о . (С.2!) 2 у Ч1 2 Производная Я(в) по а при е = в, обращается в бесконечность; главный член производной бЯ (в) ! (С.22) сйО 2 (а — ис) а стремится к — ОО при а-ь о, в согласии со сказанным выше.
Поведение функции Ю(в) вблизи седловой точки в случае (С.9) изображено графически на рис. С.1, а; поведение вблизи седловой точки в случзе в (д) = е, — о ( дх — дх х— дз) (С.23) показано на рис. С.!, г, представляющем собой обращение графика рис. С.!,а. .есть объем слоя в фурье. пространстве, ограниченный поверхностями постоянной частоты между о и в + с(о [здесь использовано соотношение: (сп $Щ= = Ы(зй й)). Интеграл по Фгр равен 2л. Мы ограничили интересуюшую нас .область внутренней частью фиксированной сферы радиуса С) вокруг критической точки Ке Таким образом, полученное выражение для Я(а) описывает лишь вклад от внутренней части этой сферы.
Верхний предел для ОЬ $ находится из условия; Теорема ваи Хова. Ван Хов') топологическими методами показал, чу седловин точка каждого типа [выше были рассмотрены лишь два частных случая — (С.9) и (С.'23)] будет встречаться на каждом «листе» дисперсионного закона ы(й) по крайней мере 3 раза. Д~гсперсионные кривые для фононов в алюминии, привелснные иа рис. 6,!2, позволяют видеть многие из ожидаемых типов особенностей.
О. ЗАВИСИМОСТЬ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ОТ ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ДЛЯ ФЕРМИ-ГАЗА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ Диэлектрическая функция е(К, е>), определяемая ниже, описывает важные свойства электронного газа. Чтобы найти диэлектрическую функцию, рассмотрим реакцию электронов на действие приложенного извне электростатического поля. Мы начнем рассмотрение с простого случая однородного электронного газа с ионцентрацяей заряда †п прн наличии фона положительных зарядов с концентрацией +нее. Пусть фон положительных зарядов механически деформирован и его изменение в пространстве описывается синусоидальным законом: р~(х) = псе + рк~~ ип Кх, (РП) Член р~~ж Нп Кх приводит к тому, что электростатическое поле фактически возрастет. Это поле мы и будем назь|вать внешним полем, действующим нз электронный газ.
Электростатический потенциал хр, создаваеиый распределением заряда, можно определить из уравнения Пуассона. (7хгр = — — 4пр. Полагая ф=хрк е(пКх, р=рк з!пКх, ех! . ех! из уравнения Пуассона получим: К грех = 4прех . к к ВЕЗ) Электронный газ будет подвергаться комбинированному воздействию, вопеРвых, со стоРоны электРостатического потенциала ФК РаспРеделении положительных зарядов, и, но.вторых, со стороны нона неизвестнопх индуцированного электростатического потенциала хр'и зга Кх, вызванного «деформацией» распределения заряда самого электронного газа.
Для плотности электронного заряда имеем: Р (х) = — нее+ Ргш з!и Кх, (Еь4) где рд — амплитуда изменения плотности заряаа, индуцированного в элек!па тРонном газе. Мы хотим найти РК, выРажеаиое чеРез РК . !пд ех! ') Эта теорема приведена в работе яан Хоза [7!. Индекс критической. точки означает число положительных знаков квадратичной формы ы вблизи критической точки.
В случае трех измерений каждая ветвь ы(д) имеет по. крайней мере один максимум, три седловых точки каждого типа (индексы ! и 2) и один минимум. Эти результаты являются следствием установленной в топологии теоремы Морса. 727 Аьгплитуду полного электростатического потенциала можно записать в виде суммы потенциалов, создаваемых распределением положительных и отрицательных зарядов.' фк=грк +шк . (0.5) Здесь 9к — потенциал, создаваемый фоном положительных зарядов, а етг — потенциал, обусловленный «деформацией» электронного газа. Потенша циал гр связан, очевидно, с изменением полной плотности заряда рх, также представляющей собой сумму: рк=рк +рк Погенпиал ~р и плотность заряда рк связаны между собой опять-таки уравненвем Пуассона.
Тем же путем, что и (О. 3), получим: К»~р = 4пр (0.7) Но «деформация» плотности электронного газа рд связана с полным !пд статическим электрическим потенциалом ш уравнением Томаса — Ферми ') (8.2! б): — е(п (г) — по]=р з!п Кх= — — ~р ип Кх, !па Зггзе' 2г к (Р.8) 'л или 2е (0.9) Объединяя (0.7) и (0.9), получим отношение изменения индуцированного заряда к полному изменению заряда: рпш 6пп ез Лз к ° а (0.10) г К' К'' н Здесь введена величина постоянной зкраннрованпя Л вЂ” (бпп е»уа,) г'. Днэ.лектрнческая функция в(К,ы) является мерой реакции электронного газа на действие внешнего электрического поля, характеризующегося волновым вектором К и частотой пь Диэлектрическая функция определяется соотношением между амплитудой «внешней» плотности заряда рд и амплигуе»Г дой ф полного потенциала; это соотношение имеет следующий вид: (0.11) К Рк= с[К ы) РК где значения грд и рд относятся к одной и той же частоте.
Соотношение е»! (Р.П) имеет вид уравнения Пуассона (0.7), ко вместо амплитуды полнол плотности заряда в правой части стоит амплитуда «внешней» плотности заряда р~д" . Заметим, что при равенстве нулю функции в(К,ы) потенциал Т может оставзться конечным даже при отсутствии «внешнего» заряда. В этих ') Использование уравнения Томаса — Ферми эквивалентно приближению, хорошо отвечающему случаго длинных волн (К вЂ” »0) и нулевой частоте. .728 з(К г77 Рис. 0.1. Зависимость статической диэлектрической функции ферми-газа свободных электронов (приближение Томаса — Ферми). По оси абсписсогложено отношение К)й. Р Рб йр (е /гх)Я ех1 ь14 а(К, ы)= — =.1 — —.
Рк Рк Рк Рк ((7.12) Используя ((7.10), можно получить выражение для диэлектрической функции, соответствующее приближению, отвечающему уравнению Томаса— Ферми, а именно: Лз х бпл,ез в(К, О) =1+ —,,; хх = —. (О.13) Зависимость в(К,О) от К/Х показана на рис. (7.1. В более точном приближении выражение для дизлеитрической функции было получено Линдхардом '). Сопоставление (О.7) и (0.11) позволяет получить еще одно выражение, определяющее диэлектрическую функцию, а именно: ер с = ~р" /е ( К ю) (О.! 4) тем самым утверждается, что полный электростатический потенциал равен ехт внешнему потенциалу, делениолзу па диэлектрическую функцию. Если оцределкгь как изменение потенциала положительных ионных остовов в металле вследствие прохождения фонона с волновым вектором К, а е(К, ю)— как диэлектрическую функцию электронного газа, то ср будет полным потенциалом, обусловленным фононом, куда входят и вклады со стороны электронов проводимости, и со стороны ионных остовов.
Поскольку а(К, ю)-е ее при К вЂ” ей, то полный потенциал хрх будет стремиться к нулю при внешних конечных длинноволноаых потенциалах. Коротковолновое возмущение экранируется менее эффективно. Экраиирование свободных зарядов показано на рис. 8.9. Резко изменяющиеся (при больших К) ') Обстоятельное обсуждение полученной Линдхардом диэлектрической функции имеется в книге Займана 18). Последовательные шаги алгебраической оценки уравнения, использованного Займаном, описаны в статье Кпттеля 191, 7Ю условиях система будет находиться в состоянии свободных колебаний (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
