Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 135
Текст из файла (страница 135)
е. без воздействия вынуждающей внешней силы). Если взять отношение соответственно правых и левых частей (0.11) н (О.7), то получим выражение для а(К, ы) через атшлитуды плотности зарядов; Итак, из (Р.!3) и (Р.14) для экранированного кулоповгкого потенциала .имеем: 4я 4я йг к е(К)К» К«+Да ' [Р.16) Различие между «голым» и экранированным потенциалами наиболее заметно для К « Х. В этом предельном случае экрз~гврованный потенциал не зависит от волнового вектора: 4я 2 1 гм — = —, в в« 3 Р п,е' (Р.! 7) Мы ввели для диэлектрической функции пых выражения: дт е(К, 0) =1+ —.,; ь(0, электронного газа два предель- 2 Яр ы) =1 — —. г,г« (0.18) Заметны, что предел е(К 0) при К-» 0 не совпадает с пределом а(0, ы) при ы — ° О. Это означает, что в области начала координат плоскости ы, К на поведение диэлектрической функции надо обращать особое внимание.
Полная теорие показывает, что в области ы ( о»К (о, — скорость Ферми) мы получим диэлектрическую функггию электронного газа для случая Томаса — Ферми (для малых К): е(К, ы) як 1+ —. К» Расчеты диэлектрическая функции е(К, ы) длн общего случая значительнг) более слгокпы, Полученные результаты мы применим к задаче о модах упругих колебаний решетки положительных ионов массы М, погруженных в вырожденный электронный газ (электроны массы гп).
Диэлектрическая функцля подсистемы положительных ионов имеет вид 1 — —. 4ппе' 3(ыз (Р.20) При этом предполагается, что расстояние между ионами столь велико, что ионы можно считать независимыми. Теперь «наполним» решетку электронным газом (чтобы получить исходную ситуацию задачи) н рассмотрии полную диэлектрическую функцию системы «решетиа плюс электроны». Вводя, согласно (0.13), Х вЂ” электронную постоянную экранирввзния, получим: 4ппез )ьз в(К, ю) =1 — — + —. » Кз (0.21) 730 компоненты кулоновского потенциала 1/г экранируются слабее, чем компоненты медленно меняющиеся (при малых К). Таким образом, «хвост», обусловленный дальнодсйствующим кулоновскнм потенциалом, экранируется электронным газом, однако потенциал глубоко погруженной центральной части ионного остова не экранируется.
Как показано в книге автора (221, формула (1.24), фурье-компоненты неэкранированного («голого») кулоповского потенциала Ф(г) = 1/г имеют вид , «хг 4 /Кз При малых К и низких ы единицей в правой части (Р.21) можно пренебречь. Моды продольных колебаний системы определяются (нак мы установили ранее в гл. 5) нулями функции а(К, ы). В точках, где функция е(К, ы) обращается в нуль (учитывая, что вн — '/агпозн), имеем: 4пп'е' 4иие' е, т или ы=оК, о=о.з/ш/3Г!4.
(0.23) 4гщез 4,.глез е(0, и) =1 — —— Лйыз гпыз (0.24) Эта функция обращается в нуль при 4ипет ! 1 1 — = — +— Р М т' (0.2б) Условие (0.25) есть выражение для электронной плазменной частоты, где, однакв, вместо массы электрона стоит масса р, вносящая поправку на движение положительных ионов. Е. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРА!И вЂ” ДИРАКА Выражение для функции распределения Ферми — Дирака можно легко вывести, имея даже небольшой багаж знаний о статистической физине.
Функция распределения Ферми — Дирака /(е) есть вероятность того, что одно- частичное состояние с энергией е является занятым, когда система частиц, для которой указанное состояние — одно из возможных, находится в тепловом равновесии при температуре Т. Воспользуемся распределением Гиббса, которое является обобщением распределения Больцмана; согласно Гиббсу ') вероятгюсть Р(У, е~) того, что система содержит Аг частиц и ее полная энергия равна аг, пропорциональна (Е.1) ехр ((Рйг — е )/йдТ1. ') См. кингу Киттеля 110!.
73ь Нетрудно заметитьь что эти выражения описывают длияноволновые акустические фононы. Приведенная формула для скорости находится в хорошем согласии с экспериментальными значениями скорости продольных волн в щелочных металлах. Например, для калия формула дает о = 1,8 10' см/сек, а наблюдаемое значение для скорости продольных волн н направлении [!00) равно 2,2 10' см,'сек (прн 4 'К). Поскольку и « ог, условие применимости диэлектрической функции (Р,19) к электронному газу, а именно условие ы < огК, в да1шом случае выполняется.
Имеется, однако, и другой тнп нуля функции е(К, го), т,е, другое условие, при котором в задаче о решетке положительных ионов, погруженных в элентронныи газ, диэлектрическая функция обращается в нуль. В случае высоких частот к диэлектрической фупкцив в виде (0,20) яадо добавить диэлектрический вклад электронного газа -- ыр/го из второго из выражения 2 г 3 (Р.!8) и воспользоваться полученным выражением вместо (0.19). А именно, получим: Здесь )г — химический потенциал, который должен быть определен так, чтобы соответствовать полному числу частиц системы йг (см.
обсуждение этого но- проса н гл. 7). Применим выражение (Е.1) к случаю состояния, и котором может находиться не более одного электрона. Когда состояние не занято, будем считать энергию равной нулю; отсюда следует, что Р (О, О) — ее = 1. (ЕЛ) Когда состояние занято электропоч (н силу сказанного выше — едннстеенным), то Р (1, е) ехр 1(р — е)(~й Т'). (Е 3) Следонательно, вероятность того, что данное состояние занято, можно записать е аиде Р(1, е) ( йвТ ) Р (О, О) + Р (1, е) г' Н вЂ” е Х + "Р'( й Т ( в (Е.4) 1 - (' Т")+1 Это и есть тот резулыат, который мы хотели получить. Г. ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ Вопрос об образонапии разрешенных и запрещенных полос полезно рассмотреть танже с иной точки зрения, не так, как это было сделано а основном тексте.
Рассмотрим систему нейтральных изолиронанных атомов и гш энергетические уроннн. Попытаемся ныяснитгь что будет происходить с уровнямн, если распределения зарядов соседних атомов перекрываются, когда атомы сближаются, образуя металл. Причины расширения энергетических уровней снободных атомов а зоны при сближении атомов можно понять, рассматривая систему из днук атомоя Рл Рл Глг Рв Рис. Г.1, а) Схематическое изображение волновых функций электронов двух атомов водорода, удаленных друг от друга.
б) Волнонан функция основного состояния двух атомов водорода, сближенных мегкду собой. а) Волновая функция возбужденного состояния. 732 водорода, электроны которых находятся в основном 1з.состоянии. Е1а рпс. Г.!,а схематически изображены волновые функции фз и фа изолированных атомов. При сблнжекин атомов их волновые фуикцип перекрываются, н мы приходим к волновой функция системы из двух атомов.
Эта волновая функция в простейшем случае представляет собой линейную комбинацию функций фз и фз вила ф~ ш фа, т. е, имеются две возможности. В каждой комбинации электронное распредечение лгежду двумя протонами сохраняется, но энергия системы электронов в состоянии фз + фз будет неснолько ниже, чем в состоянии фг — фз. Причины этого в следующем. В состоянви фз + фа (см. рис. Р.1,б) электрон часть своего времени находится где-то на полпути между двумя протопамп, под влиянием потенциального поля притяжения одновременно двух протонов, тем самым увеличивая энергию связи.
В состоянии фг — фв (см. рнс, Е.!,в) плотность вероятности на середине расстояния между ядрамн обращается в нуль и поэтому никакой добаики к энершш связи не вознииает. Таким образом, при сближении двух атомов каждый уровень изолированного атома образует два разделенных энергетических уровня. При сбли. женин У атомов каждый уровень изолированного атома образует Л' уровней системы, и эти У уровней образуют одну нли несколько зон.
По мере сближения свободных атомов кулоцовское взаизгодействие ме. жду атомными остовами и перенрывающиеся части электронных распределений будут приводить к расщеплению энергетических уровней системы атомов и к расширению уровней в зоны. Состояние системы свободных атомов, характеризующееся ивантовыми числами и, з, «расплыааетсяь в металле в энергетическую зону. Здесь и овна. чает главное квантовое число, а з показывает, что орбитальный момент количества движении равен пулю. Ширина зоны пропорциональна интенсивности взаимодействия, илн степени перекрытия электронных распределений соседних атомов, каждый из ноторых находится в состоянии н, к Зоны ооразуются таиже из р, г(, ... состояний (1 = 1, 2, ...) свободных атомов, В свободном атоме (21+ 1) состояний вырождены и образуют (21+!) зоп.
Каждая из этих зон, вообще говоря, будет охватывать разные области энергий для данного интервала значений волнового вектора. Две или несколько зон могут охватывать одну и ту же область энергий для некоторой области волновых векторов й в зоне Бриллюэна. Приближенную теоршо, в которой исходят из волновых фучкций свободных атомов, называют лрпбляжением сильной связи. Простой пргтер ее применения дается ниже. Приближение сильной связи вполне себя оправдывает для внутренних электронов атомов, но часто не дает хорошего описания самих электронов проводимости. Однаио она используется для приближенного рассмотрения Ы-зон некоторых переходных металлов и валентных зон в кристаллах инертных газов, Предположим, что электрон в основном состояния, движущийся в поле потенцизла У(г) изолированного атома, описывается волновой функцией ф(г) и его эиерпш равна Еь Предположим, далее, что состояние, описываемое функцией ф, есть з-состояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
