Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Отметим попутно, что подход к зонной картине, исходя из вырожденных р, А ... атомнык уровней, будет более сложным. Если влияние одного атома на другой мало, то пряближенная волновая 733 функция одного электрона в кристалле в целом может быть записана в виде линейной комбинации атомных функций»р(г — г,): ф,(г)-~С тф(г — г(>, (Е )у / где сумма берется по всем узлам решетки, (Предполагается, что примит.юный базис содержит один атом.) функция ф относится к числу функцаи Блоха, если коэффициенты в правой части (Г.>) имеют в»»д Са( ~ = д» ' ехр (»й г >, т.е.
для кристалла из»у атомов ( г )» у у» ~ е» а» (» р ( г г ) 1 (Р.2) фа(г+у')=й» ' ~ е >ср(г+Т вЂ” и)= -Б ш.г га (» — г) аг =»у е ~~~,е ' > > ф[г — (г — Т>[= е ф„(г); 1 (Р Зг этот результат показывает, что функция фа(г) полностью удовлетворяет. требованиям, предъявляемым к функциям Блоха. Эцергшо в первом приближении мы найдем, вычислив диагональные матричные элементы гамильтониана кристалла. Запишем выражение для диагонального матричного элемента; (й~~~(й>=й» Хъд'е (( ><чт[тб~ф>.
где ф = ф(г — г >. Введем р = г — г ", тогда (й(,Уб>й>=~ "' $ Рф( — р >Лф( >. (Р б)» Теперь пренебрежем в сумме (Г.б) всеми интегралами за исключением тех, которые относятся к самому даннону атому, н тех, которые являю»с»х его ближайшими соседями (т.
е. в последнем случае сохраним лишь векторы р). Тогда получим: »(рч»*(г)Жф(г)= — а; ~ »('г'ф'(г — р)Жф(г) = — у; (Р.бй * следовательно, (А > ев ( й) = — а — у ~ е Итак, для энергии в первом приближении имеем выражение т наг е — а — уэе а (Бур Мы понажем, что функция (Г.2) относится к числу функций Блоха, рассматривая преобразование трансляпии на вектор Т, соединяющий два произвольных узла решетки: Рис. Г.2. Поверхности постоянной энергии в зоне Бриллюэпа простой кубической решетки; предполагается, что зависимость энергии от й в энергетической зоне описывается выражением е»= — а —;т(соз»ха + гоз» а Э соз» а) а) Поверхность постоянной энергии, когда е = †+ 2)у). б) Поверхность постоянной энергии, когда е = — и.
Во внутреннем объеме на элементарную ячейку приходится один электрон, а) Поверхность постоянной энергии, когда е = †, но для случая периодической зонной схемы. Здесь связь между состояними вндна более ясно, чем я случае б. Легко обнаружить дырочные и электронные состояния. (Рисунок из известной книги Эоммерфельда и Веге [)З).) В случае простой кубической решетки для координат атомов, являющихся ближайшими соседями, имеем: ргя = (~ а, О, 0); (О, ~ а, 0); (О, О, ~ а), (Г 8) н нз (Г.У) в этом случае получим: е» вЂ” — — а — 2у (соз й„а + соз й„а + соз й а) Видно, что энергии заключены в зоне шириной 12у, Чем меньше перекрытие, тем уже энергетическая зона.
Некоторые поверхности постоянной энергии для зон типа (Г.О) показаны на рнс. Г.2. Прн Йа ~1 еа гм — а — бу+ уй'аь. (Р.10) Энергия вблизи дна зоны не зависит от направления дввжения. Эффектт~в. ная масса электрона ш' = йь/2уат (Г.11) Когда интеграл перекрытия у мал, зона является узкой, а эффективная масса — большой. Каждому состоянию электрона в свободном атоме отвечает энергетическая зона в кристалле. Здесь мы рассматривали одно состояние свободного атома и получилн одну зону.
с(нсло состояний в зоне, которое соответствуег невырожденным атомным уровням, равно 2Л', где Л вЂ” число атоион. Это сразу видно из (8.9), поскольку правая часть выражения для энергии является периодической функцией Й и, следовательно, лишь те знзчення Й, которые лежат в Й-пространстве в первой зоне Бриллюэна, определяют иезависп. мыс волновые функции, В случае простой кубической решетки многогранник в Й-простраистве определяется плоскостями: Й, = шп/а, Йн = шп/а, Й, = = ссп/а; его объем равен 8пь/аь.
Поскольку число состояний на единицу объема Й-пространства (с учетом двух ориентаций спина) равно Гг4п', то полное число состояний мы найдем, умножив объем многогранника 8п'/а' пь Р/4пь; в результате получим 21'/а' = 2/У. Здесь г' — объем кристалла, 1/а' — число атомов на единицу объема. Для ОИК структуры (число ближайших соседей равно 8) в той же ыодели для еа из (Г.у) получим: еа —— — а — 8у сов (Й а/2) сов(Й а/2) соь (Й а/2).
(ГЗ 2) Для ПИК структуры (число блнжаишнх соседей равно 12) аналогично получаем: ва — — — а — 4у [соя(Й а/2) сов(й,а/2) + сов(Й а/2) сов (Й„а/2) + + соь (Йза/2) соь (Йиа/2)). (РЗ 3) Поверхность постоянной энергии, отвечающая форме (8.13), показана на рис. Г.З. Отметим, что гексагональные грани этой поверхности совпадают с соответствуюгпимн границами энергетической зоны. Рис. Г.З. Поверхность постоннной энергии для П(К структуры. Случай приближения сильной связи, дополненного приближением ближайших соседей. Показанная поверхность соответствует ь = = — а+ 2)у).
У36 О. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В г-ПРОСТРАНСТВЕ И В й-ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНИХ ЗЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕИ При необходимости представить себе движение электрона без столкновений в энергетических зонах разных форм исследователь иногда испытывает некоторые затруднения. Поэтому полезно рассмотреть точные решения хотя бы для наиболее, часто встречающихся ситуаций. Мы ниже опишем движение в обычном координатном пространстве (г-пространстве) н в пространствеквазинмпульсов (волновых векторов), кратко называеиом й-пространством, поскольку ураннения движения содержат обычно обе величины г и й и они взаимосвязаны.
Сферическая зона проводимости. Рассмотрим движение волнового пакета (который содержит один электрон) в энергетической зоне кубического кристалла. Предположим, что функция е(й), описывающая эту энергетическую вону, владеет простой минимум при й = 0 и что вблизи этой точки функция приближенно может быть представлена в виде йз е(й)= йе 2 еле где т, — эффективная масса электрона. Понерхности постоянной энергии в й-пространстве являются сферами, и поэтому такую зону мы будем называть гяуерической.
Внутри зон Бриллюэна ни одна энергетическая зона нигде не имеет вида (Й.1); истинные энергетические зоны всегда деформированы воздействием границ зон Бриллюэна. Например, энергетическая зона (Е 9) имеет вид е (й) = 2у (3 — соз йха — соз йаа — соз йзп); ( П.2) отсчет энергии в этом случае ведется от значения е(0) = О. Здесь у — кон- станта, зависяпсая от перекрытия атомных волновых функций соседних ато- мов.
Если косинусы разложить в ряды до членов порядка (йа)', то мы по- лучим: е (й) у ~йзлз (й1 1 й~ 1 й4) пе 1 1 (С В) — = — о = — 7 Е(й) яэ — й, с(г 1 й с(т Й (П.4) где г — радиус-вектор, описывающий среднее положение волнового пакета в обычном пространстве. Интегрируя уравнения движевия по времени, получим: Ф г(1) =г(0)+ — ~ Шй(1). й ше о (6.5) 1/з24 Ч. Кнттель т.е. функцию, близкую к сферической с точностью до 1е(е, если йа ( 0,1п.
Движение волнового пакета особенно просто описывать, пока мы остаемся в той части объема зоны Бриллюзна, где применимо сферическое приближение. В этом случае групповая скорость в координатном пространстве описывается следующим соотношением: В элентрическом поле Е быстрота изменения вектора й описывается уравнением л(й л — — еЕ. Л Если электрическое поле опнородно и постоянно, то, интегрируя это уравне- ние по времени, получим: й (г) = й (0) — — ей й (О.б) Отсюда видно, что длина й увеличивается в том же направлении, что и Е, с постоянной быстротой независимо от формы энергетической зоны. Проинте- грировав еще раз, получим: е(/ й(Г) = й(0) à — — — ЕР.
! е 2 6 (6.7) Подставляя (О.7) в (6.5), получим выражение, описывающее движение волнового пакета в координатном пространстве относнтельно положения пакета в момент Г = О, т. е, относительно точки г(0), й(0); это выражение имеет вид ! г(П =г(0) + Дй(0) 1 е г — — — ЕВ те 2 те (О.8) — ! Эдесь в — = й (/аз — скорость волнового пакета в координатном пространстве (такая же, как в выражении (6,4) для случая сферической энергетической зоны). Используя (6.4) в уравнении (6.9), полу*ты: л(й ей Л вЂ” = — — й Х В.
тес (6.10) Вводим никлотронную частоту и, — = »В/т,с и учитываем, что В = В»; урав- нение движения в компонснтак по осям координат примет вид: л/йх — = — се й, с н лИд Вй» вЂ”" = зле).х, ~(/ ' ~(г (О.11) Решение уравнения (6.11) имеет вид йх (С) К соя (ые/+ ф) йн (Г) = К з)п (юе/+ ф), й»= сопя(. (О,12) 730 Этот результат имеет точно тот же вид, что и для случая движения свободной частипы с массой т, н зарядом — е в электрическом поле Е, поскольку в случае сферической энергетической зоны величина Дй(0)/т, есть групповая скорость п(0) в л~омент Г = О. Теперь рассмотрим движение н однородном постоянном магнитном поле В, направленном параллельно осн ». Поступим аналогично предылущему, но в правой части уравнения надо будет поместить силу Лорен»на: й — — — и )4 В Ей е (О.9) ~й с В том, что (Г»12) действительно является решением (Г».11), можно убедиться непосредственной подстанонкой.
Здесь К и ф — константы, которые подбираются так, чтобы удовлетворить начальным условиям движения. Если, например, электрон первоначально находился на поверхности Ферми, то удовлетворяет условию + дя» ЬГ ах+ дд + й» (6.131 Если это условие выполнено в момент ! = О, оно будет выполняться для (П.12) в любой момент ! ) О, поскольку К и й, — постоянные. Следовательно, частица, находяшаяся на поверхности Ферми в й-пространстве, будет двигаться по кругу радиуса К с частотой и,, сохраняя постоянным значение !»,. Положение частицы в обычном коордннатном пространстве получим интегрированием выражения для скорости о = Ь тае (й) с учетом (6.12): х (!) = х (0) + — ) г(! Й» = х (0) + (3'и (ы»1+ ф) 5!и ф) Ш» ггг »гаа а ЬК Ьй»! р(Г) =у (0) — — (соя(ы»Г+ ф) — соя ф], а(!) =»(0) + — », лг»ы» !и » (Г»14) Следовательно, в обычном пространстве частгша движется по спирали вокруг оси, параллельной направлению магнитного поля (оси г).
Радиус спирали ЬК Ь»К (П.15) гл»ьз» еВ Г7 у!7 3 Рис. П.1. Электрон н магнитном поле В = 1 !0' Гс. Зависимость радвуса )7 орбиты в обычном пространстве от радиуса К орбиты в Фурье-пространстве '/»24» 37 гсгд дуг 739~ Это выражение эквивалентно классическому соотношению о = ы»(с где и линейная скорость кругового движения в обычном просгранстве в плоскости, перпендикулярной к нанравлеиию магнятного поля В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
