Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Заметим, что радиус )1 орбиты в обычном пространстве пропорционален радиусу К орбиты в й-пространстве; коэффициент пропорциональности равен йг)»В. График зависимости Й от велнчю!ы волнового вектора К в случае, когда напряженность магнитного поля равна !О кГс, приведен на рис. С.!. Н. П Е Р ВХОДЫ МОТТА Согласно модели твердого тела, в которой электроны считаются независимыми, идеальный кристалл с нечетным числом электронов на элементарную ячейку всегда должен быть металлом. Однако зто утверждение оказывается неверным для окислов многих переходных металлов, что и было установлено экспериментально де Буром и Вервеем в 1937 г. Например, кристалл СоО оказался полупроводником, а не металлом, хотя в нем число электронов нз элементарную ячейку — нечетное.
В ряде работ, появившихся в 1949 г., Матт ') ввел гипотезу, согласно которой пространственная решетка водорода. подобных атомов не обязательно образует металл, но может оказаться н диэлектриком (или полупроводкиком). Согяасно этой гипотезе простая кубическая решетна водородных атомов прн абсолютном нуле будет металлом лишь в том случае, если постоянная решетки меньше некоторого критического значения а„ которое по ранней оценке Мотта равно аю яэ 4,6аю аю = зйю(глез (Н.1) (Н.2) где (Н.4) ') Обзор работ по этому вопросу дан в работах Мотта (11], поведение окислов переходных металлов обсуждается в статье Остича н Мотта (12). Примерами кристаллов, в которых переход металл — диэлектрик наблюдается )4Р п и повышении температуры, могут служить ЧО„Ч,О„ТЬО,, РеюОь Н(Б и ЬОь Труды конференции, посвященной переходам металл — диэлектриюь опубликованы в (!еч.
Моб. Рйуз. 40, 673 (1968). (Заметим, что значение интеграла перекрытия, приведенное Моттом я его первых работах, чо-видимому, должно быть удвоено,) 740 — радиус первой боровской орбиты атома водорода в среде с диэлектрической пронипаемостью е. При значениях постоянной решетки, ббльшнх криги. чгского (а ) аю), кристалл будет диэлектриком. Сейчас имеется достаточно много экспериментальных данных, свидетельствующих и пользу именно такого представления о характере перехода металл — диэлектрик, Мы рассмотрим трп теоретических соображения относительно таких переходов.
Рассмотрим два атома водорода в вакууме, находящихся на большом расстоянии друг от друга. Энергия, которую необходимо затратить для удаленяя электрона из одного атома, называемая энергией ионизации, равна Ею == теЧ23' = 13,60 эВ. При присоединении электровз к другому атому энергия выделяется, она называется энергией электронного сродства; обозначим ее через Ев.
Величина Ею = 0,77 эВ. Экспериментальные значения Ез приведены в табл. 3.4. Таким образом, энергия, необходимая для возникновения полярного состояния Е, (энергия образования полярного состояния), в случае водорода равна разности указанных энергий: Е =Е! Ел=1360 0'77=12'83 зВ (Н.З) Из Приложения Р, где было рассмотрено приближение сильной связи н применении к вопросу об образовании энергетических зои в металле простой кубической структуры, мы знаем, что энергия основного состояния электрона в зоне проводимости меньше, чем энергия электрона в !з-состоянии в свободном атоме, на величину Ею. г у(анааганнаа раааагаяниа Р аа. нагая с Рис.
Н.1. Зависвмость от межатомного расстояния энергия перескока Ее и энергии образования полярного состояния Ер в случае двух атомов водорода в основном состоянии. Величина Ер принята равйой 12,88 зВ. Величина Ее вычислялась для простой кубической решетки из атомов водорода. Учет энергии кулоповского притяжения в паре электрон — дырка (т.е.
ион Н- и протон) уменьшает зпергшо образования полярного состояния Ея. Заштрихованная область значений а соответствует диэлектрическому состоянию твердого тела, в котором, однако, сущестиуют подвижные злектронно-дырочные пары (зкситонный диэлектрик). где у — энергия, обусловленная перекрытием волновых фуниций соседних атомов. Величину Ее часто называют энергией перескока.
В случае двух атомов водорода, находящихся на рассгоянни а, для энергии перекрытия (см., например, формулу (42.12) в книге Паланга н Уилсона (5)) имеем.' 7=2( — т) (1+ — ) а ага' (Н.б) Гй (1+ — ) а (Н.б) 24 Ч, Кяттеле 741 Гипотеза ййоттг состоит в том, что кристалл будет металлом, если энергия перескока Еь будет больше, чем энергия образовании полярного состоя. иня, т. е, если бу ~ Е,. Применение этого критерия иллюстрируется графихом на рис. Н.1.
Если пренебречь Ез по сравнению с Ег в выражении (Н.З), то критерием перехода может служить выполнение соотношения: Рассматривая (Н.б) как уравнение для а и решая это уравнение атно. сительно а, получим: ао — 4,1ао (Н.7) Это значение близко к значению а. сэ 4,2ао, которое получается, если счи. тать, что значение Е, определяется соотношением (Н.З). Энергия образования полярного состояния будет меньше, если элеитрон, удаляемый из атома, переходит затем к соседнему атому. Энергня Ео, с по. правкой на образование такой пары электрон — дырка, будет иметь значение е' з' ао Ер (а) = Ея — — — — Ер — — — о, а ао а (Н.8) где е' ше' — = — = 2)(у.
д' (Н.9) Кривая, соответствуюпьая этой энергии, также показана на рис. НЗ. Легко заметить, что она пересекается с криаон Ео при а 4,8 ао В области значения а между 4,2ао и 4,8 ао в диэлектрике могут, по-видимому, сушествовать связанные пары электрон — дырка, обладаюшие подвижностью. Такой диэлектрик называют иногда зхситонным диэлектриком (экситоны рассмо.
трепы в гл, ! 8) . Лля меди оценка энергии образования полярного состояния Е, дает ве. личину 2 эВ; соответствующая оценка энергии пересиока Ео дает величину 6 эВ. Величина отношения Ео)Ео ян !/3 вполне совместима г тем фактом, что медь, естественно, ведет себя как металл. Экранирование электронно-дырочных пар. Переход ыеталл — диэлектрик можно рассматривать и с другой точки зрения. Мы можем исходить из металлического состояния и «раздвигать» решетку водородополобных атомов до тех пор, пока твердое тело не станет диэлектриком.
Предположим, что изменения в системе начинаются с того, что электроны проводимости металла образуют с ионами связанные состояния. Мы унплим, что этз задача связана с проблемой зкранирования кулоновского взаимодействия другими электронами проводимости: при уменьшении плотности кристалла могут образовываться связанные состояния, и поэтому металл становится диэлектрииом. Экранированная потенциальная энергия электроино-дырочной пары нли же пары электрон — протон дается выражением (8,25); е' ЕГ(г) = — — е г (Н.10) где 2 у бялое 4тезлсд г 8 хцо 4под е, (Н.11) (Н.12) Л ( 1/ао. Здесь использовано выражение для энергии Ферми: ея — — (йо/2т) (8поа ) ('. Известно (см. (!4]), что потенциал (Н.!О) приводит к образованию связанных состояний электронов в поле фиксированного положительного заряда е при условии, что 'Если принять во внимание (Н.!1), то неравенство (Н.12) примет видг 4"об — < — ' 2 по аз или, поскольку л, = !/аз, мы получим диэлектрик, когда а ) 4аа (Н.13) Видно, что полученное этим путем условие весьма близко к результату (Н.8).
Модель зкснтонного состояния Кокса. Экситоны а полупроводниках с ие. прямой энергетической щелью рассмотрел Нокс (см. его книгу [15)). Энергия образования зкситона равна Ез — Ев, где Ез — энергия связи экситона. Лли водородной модели зкситона (см.
гл. 18) имеем: Е = рех(2езйз, в (Н 14) где Р— приведевная масса электронно-дырочной пары, определяемая соотно. шепнем 1 1 1 лте ™шь (Н.!5) Е ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ С ИМПУЛЬСОМ ПОЛЯ, КАЛИБРОВОЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И КВАНТОВАНИЕ ОРБИТ Это приложение включено а книгу, во-первых, потому, что нелегко найти в литературе достаточно хорошее описание магнитного векторного потенцна.
ла, и, во-вторых, потому, что нам оно необходимо для изложения теории сверхпроводимости. Может показаться загадочным, что гамильтонван частицы в магнитном поле имеет вид 2М (,П вЂ” — А) + СГЧХ 2 где Π— заряд, М вЂ” масса, А — векторный потенциал, ш — электростатический (скалярный) потенциал (вывод формулы для зв дается ниже, см. (!.18)). Выражение (1.1) справедливо как в классичесиой, так н в квантовой меха нике. Поскольку статическое магнитное поле не изменяет кинетической энергии частицы, может показаться неожиданным, что в гампльтоииаи входит векторный потенциал магнитного поля.
Однако, как мы увидим ниже, это легко обьяснить, поскольку импульс р представляет собой сумму двух членов: первый член — это знакомое нам количество движения. — — МЯ, (1.2) 748 а е — диэлектрическая проницаемость. Для непрямой энергетической щели величины р и е мало чувствительны к ширине щели, но онн сильно от неа зависят в случае прямой энергетической щели. Разумно предположить, что под действием давления ширина Ег непрямой щели может уменьшиться н стать сколь угодно малой, тогда как Ез остается конечной величиной. Когда Ез станет меньше Ез, энергия, необходимая для образования экситона, окажется отрицательной н нормальное основное состояние кристалла по отношению к образованию зкситонов будет неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
