Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Иначе гонора, в нашей системе )г независимых состояний с одной и той же энергией. Пусть теперь в системе воз. пинает дополнительное взаимодействие в ниде слабого возмущения. Это воз. мушеиие может расщепить вырожденный уровень, в результате чего вместо одного вырожденного уровня образуется полоса уровней, заниъгающая неиоторый энергетический интервал, где состояния уже ие будут обладать одной и той же энергией. Обозначен через грь ~рг, ..., грз волновые функции йг состояний вырожденного уровня Эти волновые функции удовлетворяют уравнению Шредингера невозмушеиной задачи.
Начало отсчета энергий мы можем выбрать так, чтобы уравнение имело вид Жэгр = О. В первом приближении волновые функции при наличии возмущения (1 можно записать в виде линейных комбинаций нз исходных волновых функций невозмушенной задачи '): ф)= ~ с)зф . (1..1) 5 ! Задача сводится к нахождению корней е этого детерминантного уравнения. Решение может оказаться достаточно сложным и потребовать чисвеииых методов. Имеется, однако, простой частный случай, для которого корни можно найти сразу, зная лишь вид уравнения. Предположим, что все матричные элементы одинаковы и равны единице.
Тогда (Е.б) примет вид: ! — е ! ... ! 1 1 — а ... ! О. (1..6) ! 1 1 — а Тогда собственные значения (Е.б) можно найти простым приемом. В алгебре есть теорема, которая утверждает, что сумма всех корней детермииаитцого уравнения равна сумме всех диагональных элементов (/)(/)/) . Сумма диагональных элементов (1..6) равна /7; следователыэо, я ~". е/ =/7. / / (Е.7) Согласно другой теореме сумма квадрэтов всех корней детерминаитного )равнения равна сумме квадратов всех элементов детерминанта. В нашем случае получаем; л ~ е;=/(.
(1..8) / =! Теперь сделаем предположение, что один пз корней (Е.б), например еь равен /7, а все осэальпые /7 — 1 корней равны нулю. Такое решение удовлетворяет и первой, и второй теоремам, т е. (Е.7) и (Е.8). Убедимся в том, что один из корней действительно равен /7. Составим симметричную комбинацию базисных векторов (волновых функций) грк „! /7-!/2 ~ (1..9) Эта волновая функция описывает состояние с энергией ем .,=(ф,(и(ф,>= — ~(/! и!э> = — /7з=/(, ! ч 1 '=/7~ й.
/з (1..1О) (Е.)!) для всех пар состояний /, э. Здесь б — положительная хонстанта, Тогда, учитывая (1,6), (1..8) и (1,!0). получим: в, = — /(б. (Е.!2) 759 Ио это значение корня исчерпывает сумму в (!.8), и поэтому действительно все остальные корни оказываются равными нулю. Иго и требовалось доказать. Если потенциал возмущеная (/ является потенциалом притяжения и описывает четко локализованное взаимодействие, то матричные элементы в (1 й) в (Е.5) будут отрицательными н почти равными.
Предположим, что (/!и)з>=- — б ,=ЕКВВВуЛЛЛ()р-77 Е з-чрл ууфллллд, l Рис. )..1. Энергетический спектр одночастичной системы (в исходном состоянии Я-кратно вырожденной) при наличии возмущения У, для случая, когда матричные элементы (!)1))з) = — Ь, т.е. равны для любой пары состояний ) и з. Характерно, что один уровень (ег) отделен от остальных энергетической щелью шириной Е, = Еб. На рис. )..! схематически изображен получившийся спектр: уровень е~ отделен от остальных )! — 1 уровней; энергетическая щель Е, между уровнем основного состояния е = О и первым аозбужденным уровяем имеет ширину )тб. Даже при слабом взаимодействии ст (еслп кратность вырождения Е аелпка) уровень ег обладает, очевидно, зачетной стабильностью, поскольку величина ))б может быть при этом достаточно большой.
Электронные пары и снерхпроводящее состояние. В тольно что рассмотренной задаче волновые функции ф, описывали состояния одночастнчной сястемы. Предположим, что мы имеем систему из М свободных элсктронои, первоначально ке езаимодейстнующих между собой. Различяые состояния Ф этой системы из Ж электронов можно описыаать наборами одноэлектронных сосгояинй, исходя из того, что числа заполнения в силу принципа Паули могут принимать лишь одно из двух значений либо О, либо 1, Будем обозначать однозлектрониое состояние через йт; здесь й — волновой вектор электрона, а стрелка указывает, что спин этого электрона направлен вверх.
Удобно записать волновую функцию системы )у частиц (электронов) через волногые фуниции одночастичных состояний, использун для них обозначение Ф, и имея в инду, что оно относится лишь к занязыьг состояниям. В отсутствие взаимодействия между электронами каждое одночасти шое состояние будет либо занято, либо вакантно.
Волновую функцию йг-частичнойг системы Ф, можно записать а виде Ф*="!а'' йгт' "зф ' йлф где индексы у й относятся к частным значениям волнового вектора, кодифи. нация которых достаточно произвольна. Пусть теперь электроны взаимодействуют между собой; будем считать это взаимодействие парным и энергию взаимодейстаия % записывать в виде суммы энергий парных взаимодействий '): И= ~ и(г — г„). ') В сверхпроаодниках важный вклад в величину (7 вносит кулоновское отталкивание, а непосредственная связь между электронами обусловлена нарушениями идеальности решетки, которые обеспечивают элентрон-фононное взаимодействие. Суммарное взаимодействие проявится н виде притяжения элентронов„ находюцихся вблизи поверхности Ферми, в частности тех, кото.
рые на поверхности Ферми обладают дебаевской энергией шйгоэ. Это те электроны, иоторые формируют основное состояние сверхпроводникв (см. ниже формулу (Б.!6)]. 760 Каждый член суммы, трактуемый как оператор, приводят к рассеяшпо двух электронов (напрнмер, находящихся па р п г местал в наборе одно- частичных функций в волновой функции Ф;) и нх переходу в другие два одноэлектрониые состояния, подразумеваемые накантнымп, т.
е. состояння, которые не представлены как занятые в Фг. Тогда один акт рассеянии перводит систему йг частиц нз состояния Ф, в другое Лпчастнчное состояние„ например Ф,. Можем лн мы, как это мы делали выше'), смело предположить, что Л1атрНЧНЫЕ ЭЛЕМЕНтм ОПЕратора ВэаНМОДЕйетвпя гл Дла любой пары состоящей Ф, н Ф, равны между собой? Нет, это а общем случае невозможно. Во-первых, в результате рассеяния состояние Ф, = Йг(1 Йл)1 йлИ,, не может вообще перейтн в состояние с друш111 суммарным, спнном, например в состояние Ф.„= — й„(; Йь(1 Йз) ..., потоыу что оператор % не содержит спп1швых операторов и поэтол1у не пожег изменять полный сппн спстемы.
Иначе говоря, электроны, находящнеся в состояниях Йг) и йл), не могут в результате рассеяния перейти в состояння Й„) н Йл); поэтому матрччный элемент оператора гг' для состояний Ф; н Ф: будет равен пулю. Во-вторых, знак матричного элемента может оказаться как положнтельгым (+), так и отрнпателы1ым ( — ). 1:слн, наприыер, Ф; = =ЙН; йгИ Йзт н два электрона нз состояннй «~) н Й ( после рассеяная перейдут а сосгоанян Й,т, Йз), то в резулыате мы прядем к Ф .= — Й,-); ЙгИ Йлг; . Лля таких нар матричный элемент будет положгпельным. Но рассеяппе может привестн и к состояш1ю, описываемому волновон функпией Ф, = Йаг1 Й 1; йл( Функцня Ф.
отличается от функции Ф„ только тем, что первые две одночастнчные функшш й,т н Йл„ поменялнсь местаып. Но согласно принципу Г!аулн пересзлновка двух олночастнчных фупкцнй (состояннй) алв перестановка местамн координат двух электронов в волновой функцнп снстемы одинаковых ферми-частиц изменяет знак волновой функция: (ге ) 'У 1 з) = — (х ( Я ( з), (Е.15) Это означает, что все матричные элементы не могут иметь олин и тот гке знак, а следовательно и не могут быть равны ыежду собой. Имеется, однако, очень простой способ, прн помощи которого мы можелг добиться того, что нсе матричные элементы будут 1ГЯЕть один Н тот же знаК.
Более того, существует задача многнх тел, которая допускает равенство всех матричных элементов. Рассмотрим только те ынагочастнчпые состояния, которые заняты парами электронов. Можно ввестн строгое определение пары: будем называть парой компаект состояний «1; — Й,'. Будем считать, что когда состояние «.1 занято, то непременно занято н состояние — Й( г). Выделенные таким путем многочасгнчные состояния описываются воляовыын функцнямн следующего вида; А 1( «1г Йз( Йзф (1..16) ') См. выше предположение (Е.11), которое мы ввели для одночастнчпой задачи. ') Пары можно образовывать и нз электронов с параллельными спинами, например «1; — «1, однако нх энергия будет больше вз-за обменных эффектов.
25 Ч. Кигтель 761 Такие волнопыс функцян абразуьат надпространство в пространстве волновых функпьш' общей многаэлекгроннап щдачп. но зато, ограничившись, эти л поднространством, можно поставить задачу, которую мы в состоянии решит . Было показано, что погрешность, возникающие в результате введенных огргниченнй, имеют порядок велнчьшы 1/М, где Л' — число электронов. Б подпространстве парных состояний, опнсызаемьж функциями вила (1. 18), оказывается допуспьмыль считать исе матричные э.ьементы оператора Я равнымп между собой. Тогда, в полной аналощьн с полученным ранее решением (Е.12), мы пол)чпм спектр, в котором одни энергетический уровень, отвечаьсцщй основначу состоящие, отделен от возбужденных состояний знергетьшеской щелью Е, В нашем рассмотрении мы прекебрегалп кинетической энергией певозмущенпых электронов '1 (так что исходные состояния вырождены), но в теории Б)41Н показано, что учет кинетической энергшь не разрушает эпсргеющесьую щель.
М, НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ РЕЗУЛЪТАТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ МАГНЕТИЗМА Квантовая теория диамагнетизма одноядерных систем. Из Пряложеппя 1 [выражение для гачильтопиапа (128)] мы знаем, чта прп наличии магнитного поля в гампсштоннан следует лобавить член с вектор-потенциалом магии пього поля. Ж = — '(7 А+А 7)+ —,, Л', 2тг 2тгз (М.1) который в случае атомных электронов можно счьмать малым возмущением Если мапштное поле однородна и направлено вдоль осн е, то для колшонснт А имеем. Л,= — — уВ, Л, = —,хВ, Лх=б. 1 1 х 2 ' е (М.2) Тогда выражение для оператора возмущения (МЛ) причет видь )ейВ г д д ь етВт ьб = 1 х — — у — ) + —., (х'+ у'). (М.З) 2тс Ь, ду дх У 8тгл е'В' Е' = —, (гл).
12тс' (МЛ) Для магнитного момента, обусловленного этим возмущением, имеем: дВ' е' (г') р= В. дВ бтс' (МВ) ') Это приближение называют првближением сильной связи, Первый член в правой части пропорционален х.компоненте орбитального момента количества движения (а если г (радиус-вектор электрона) отсчитывать от центра ядра атома. В случае одиаядерной системы этот член дает вклад только в парамагнетизм. Второй член в случае системы со сферическн симметричным распределением заряда дает вклад в энергию возмущения, в первом приближении равный фо = фа+ — (з ) р» (О) ф В (М.б) а для волновой функпии возб) жтепн>гв состояния — выражение ф';=>рз — т (0(ра]') ф,г В (М.7) Соответственно возмущенному осноапочу состоянию будет втвечать мочент (О'1 р»1 0') гв ОВ ) (з! Р»! О) ]»(Л, (М.8) а верхнему с >ст>янию — чачепт (3' ~ И ( Б') яэ — 2В 1(3 ( р ! 0 ) !»(Л (М.О) Предо>авля>от интерес два частныт случая: а) Случай Л « й>,Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
