Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Злектромагк»»гное поле в кристалле нс обязано обладат~ трансляционной ннвзриаптностью с периодичностью решетки, н поэтому вектор напряженности электрического ноля, исходя из обшего подхода, основанного на анализе Фурье, естественно представить не в виде суммы типа (А.2), а в виде интеграла Фурье: К (х) = ~ »(эК И (К)е~~'". (А.7) Подставляя (Л.2) и (Л.?) в (Ай), мы найдем почяризацию: Р(х) =~~~» Хаа о х1 (~ »( йК(й) е»юм) = ) Ха ~ »(зК Н(К вЂ” С) з»гг», л а / о (А.й) где в качестве переменной интегрирования мы ввели К = й+ С. 71В должны быть тождественно равны кол»»»лексно сопряженныл» парам. Сумма в (А.2) берется только по векторам обратной решетки по причине того, »то величина Х(х) инвариантна относителыю трзпсляш.'й на векторы, компоненты которых кратны постоянным решетки.
Коэффициенты Фурье Хо в разложение воспрп»»ичнвости имеют важное значение и прямо пропорциональны рентгеновским стр ктурным фактораи .та (см. гл. 2). Мы можем путем обрап»ого прсобразовг,.ня (А.2] получить выРажение длЯ Ха чеРез Х (х); Итак, нас интересует решение уравнения распространения электромагнитной волны: дз стгузŠ—, (Е + 4нР). (Л.9) ст ттЕ = — с' ~ с(зК КтЕ (К) егк л. (Л.10) имея в виду (Л.7) н (АЕ), правую часть (А.9) запишем в виде: дз —,, (Е+ 4нР) = дР— '[эх[(5!-~ „)е5к)~- х у ек — ы)[ ' ' (Ай!) 0~0 Уравнение (А.9) удовлетворяет я, если коэффацненты при ехр (1К л) раввы между собой.
Отсюда следует, что с'К' Е (К) = ыэ ~ е н Е (К вЂ” 6), 0 (А,12) где вели шва 1 + 4нуо равна вс, а величина 1ийн обозначе»а через ан Итак. мы получилн систему однородных линейных алгебраических уравнений (ЛН2), вчд которых зависит от структуры кристалла через коэффицгиенты Фурье еп. Приближенное решение уравнений (ЛН2) будем нскегь для рентгеновской области, где можно предполагать. что в )) ан, поскольку ин «1.
Брэгговское отражение. В сл)час рснгеновских лучей волноной вектор й может быть порядка вектора обратной решежси С. Наиболее интересная си. туация имеет место для тех вектороа 6, для которых выполчяетгя условно (й — 6)з = йз ., 2й. 6 = аэ. (А.13) Это и есть известное условие дифракцпи Брэгга.
Когда это условие приближенно выполняется, величины сз(Й вЂ” 6)з и сзйз оказываются приближенно равными при одном и том же значении ы'еь Можно показать, что в этом случае падающая волна Е(й) и отраженная брэгговская волна Е(й — С) будут в кристалле доминирующими. Уравнения (А.12) в этом случае упрощаются и принимают аид с'г'Е(й) ="'[еоЕ(й)+еаЕ(й — 6)1. (Л.14) где мы вместо К написали й. Далее, подставляя в (А,!2) вместо К величину й — 6, получим: сэ(й — 6)з Е(й — 6) =юэ [е Е(й — 6)+ е нЕ(й)[.
(А.!5) Здесь мы, исходя из (А.2), можелг заменить в н величиной вн, 1 719 Мы ищем какое-нибудь решение уравнения (А.9), для которого все компоненты Фурье Е(К вЂ” С) имеют одинаковую периодическую (гармоническую)' зависимость от времени, т. е, зависимость вида ехр( — )тас).
Такие решеиич булут являться нормальиыин колебаниями (модамн) электромагнитного поля в кристалле. Далее, используя представление (А.7), запишем левую часть (А.9) в виде Уравнения (Л.14) и (Л.15) составлягот вместе систему связанных линейных уравнений для амплитуд поля Е(й) и Е(й — О), Нетривиальные решения этих уравнений существуют прн условии равенства нулю детерминанта, составленного нз их коэффициентов: сгй' — ыгзо (А.)6) " аа ыгза ~ 2 2 2 с (й — О) — ыа [ в.чп ыг [зг — [ ва [2/ — иге оз [йг -1- (й — О)2[ -1- с4йг (й — О)2[ = О.
(А.17) Условие Брэгга имеет место, когда величипз (й — О)г точно равна Ей Значение й для этого случая обозначим через йь. Тогда (Л,!7) примет впд ы [зо !еа[) о" ао' до+с/го — — О. 4 2 . 2 2 22 44 Решая это квадратное относительно ыг уравнение, получим два корня; 2 2 2 с йо го ~[за[ (Л,19) Для вещественных значенвй аь лежащих в интервале между ыь и ы, корни уравнения (А.!7) для комплексных значений й соответствуют волнам, затухающим с расстоянием. На рис. Л.! приведена дисперснонная кривая, 0,00 Ъ,, Э 007 03З 720 05 04 00 00 07 0/) Дзьфт5итзььчья опьть /с70 Рис. А.!.
Дисперсионная кривая с областью запрещенных частот, отвечаю. щей брэгговскому отражению. Если в уравнение (А.17) подставить нещесгвенные значения частот и затем разрешить это уравнение отяосительно волнового числа /с, то мы установим, что й вещественны на ветвях А и С дисперспонной кривой. Ветвь А начинается с нуля и претерпевает разрыв (нижний) при й = '/гО. Ветвь С начинается в верхней точке разрыва (при й = '/гО). Ветвь Е при й '/гО отнечает комплексным значениям оь причем вещественная часть й нз всей ширине разрыва равна й = '/гО (зетвь Вг), а мнимая — изменяется; ход этого изменения показан пунктиром (ветвь Вг). Приведенная кривая для наглядности построена для случая еь = 0,2зь, т.е.
для неправдоподобно большого значенвя еь, иллюстрнруюшая вешественную и комплексную области значений корней для случая ныполнсния условия (А.!3). Про частоты в интервале к~еноту ~з~ н ы говорят, что онн лежат в запрещенной полосе. Волны с частотами в этой области в кристалле не распространяются, но испытывают сильное отражение. Зтн у~верждения проше всего продемонстрировать на примере, н котором векторы й н й — 6 почти равны по величине, но точно противоположны по направлению. Подставим в уравнение (А.(7) значение й = Чз6+ б, где б (~ Чз6, Тогда получим: б' — 2бз( — 6з+ —,,')+( — 6з) — 2( — 6з) ( — з')+ + — (гзз — ~ е ~~) = О.
(А.2О) Членом б' пренебрежем и будем решать уранпение относительно б для произвольиоя частоты ыз = ('гз6с)з/ез, лежашей внутри интервала между ы+ и ы . Итак, после отбрасывания бз уравнение (А.20) примет вид: — 2б' ( — 26')+[ — (46 ) +(4 — ) (е' — й)~=о, (А.2!) или 4бз = — ( — 6з) ( — ) ! б = ~ ! ( —, 6) —. (А.22) (А 23) Затухание с расстоянием нормальных волн (мод) определяется в основном величиной еп — компонентов диэлектрической восприимчивости при данной величине вектора обратной решетки 6. В.
ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ВЗАИМОДЕИСТВИЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА Рассмотрим систему из двух идентичных линейных осциллягоров 1 и 2, натодшппхся на расстоянии гт' один от другого. Каждый осциллятор несет заряды ~е; примем расстояния между зарядами соответственно равными кз и кз (рпс. В.!). Пусть колебания происходят вдоль оси х; р1 и рз — импульсы: гпфкзйИ) и т(г(хз(г(Г). Для гамильтониана такой системы (в невозмушенном состоянии) имеем; 2 ! 3 ! 2 ззз = — р!+ — ()к + — р, + — ()л..
2п! 2 ' 2ш а 2 (В.1) Рис. В.). Координаты двух осцилляторов. 721 Следовательно, для частот, лежаших вблизи середины запрещенной полосы, волновой вектор описывается выражением Резонансные частоты осцилляторов (когда можно пренебречь взаимодействием между ними, например, при достаточно большом )7) одинаковы: ( О 12) (()1 )'й (В 2) Резонансная частота юа совпадает с собственной частотой простого гармонического осциллятора. Пусть Ж~ — энергия взаимодействия между осцнлляторами. Геометрия системы показана пз рис.
В.1. В качестве координаты, описывающей расстояние между ядрами, возьмем ((. Тогда выражение для ааы можно записать в виде; Ж~ =- — + (В За) 7(+. х! — хт А'+ х~ !( — хз В приближении ! х; (, ! хз !.а'.)7 пъысм: 2е'х,хт оз (В Зб) Полный гамильтонпап (Ж = аа,+аеы), если выть аю в приближении (В.Зб), может быть легко дпагопалнзован лугом линейного преобразования к нормальным модам; введем нормзлыпзс координаты х, н х» след)юшин образом; 1 ха — =' (х', — Хз). .Ч'2 1 х, == = (х; + хт', .р'2 (В.4) Решал (В.4) отвосительпо хь х, получим: 1 х, =- = (хз + ха), .„1Г ' хт =- -=,х — х ). 'Ъ 2 — а (В.5) Индексы з и а относятся к симмшрн шой и аптисичметрнчной модам соответственно.
Далее можно ввести соответствуюш~е этим двум модам импульсыр,нры ! 1 Р~ == = (рз + ра) рз — = = (рз — ра) ° Ч/2 ЧГг2 (В 6) После преобразований (В.5) и (В.б) для полного гамильтониаца аа имеем: р + (0 з ) ха~+~ ра+ 2 (й+ з ) ха~. (В7) Из изучения вида (В.7) легко найти две частоты связанных осцилляторов: 1 / 2е' ха й(7= — й(й. +(ью ) — йы, — ( — ) . =2 з а а'З (,ф)7з~ (В.9) где для ыа имеем (В.2). В (В.З) мы разложилн в ряд квадратный корень. Энергия нулевых колебаний системы равна 'lзй(ыт+ ю,); полная энергия уменьшается из-за взаимодействия на величину Это взаимодействие проявляетсн в притяжении, которое обратно пропорционально седьмой степени расстояния между двумя осцилляторами.
Поляризуемость осцнллятора, по определению поляризуемости (см. гл.!3), 4>авиа отношению электрический дипольный момент е' ив напряженность электрического поля Итак, для ЬО имеем; и' С А() = — ймз — = — —, И = Кз' (В 11) тде С ~ Ам«аз. Это и есть обсуждавшеесн в гл. 3 аан-дер-заальсоао взаимоч)гйггагге (З.З). Это взаимодействие относится к числу квантовых взаимодействий, поскольку б() — «О при й-«О. Резюмируя, можно сказать, что энергил нулевых колебаний системы уменьшается за счет диполь-дипольного взаимоч>ействия Жг = — 2езх~хлЯл (В.З), хотя дипольный момент — ехг, усредненный по изолированному атаку, равен нулю. Ван-дер-Ваальсово взаимодействие приводит к притяжению даже между параллельными пластинками плоского конденса гора.
Весьма простая н изящная теория для этой геометрии была предложена Казимиром [3). Непосредственные измерения взаимодействия между вараллельнымл пластинками были выполнены Б. Н. )(ерягиным [4). Расчет ван-дер-ваальсовых сил м жду днумя атомами водорода дап в курсе Полннга и Уилсона [5).
Эффекты запаздывания изменяют форму взаимодействия нз очень болыппх расстояниях; соответствующие поправки были вычислены Казимиром в Полдером [6), С. ГИНГУЛЯРНОСТИ ВАН ХОВА В ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ )Тля функции плотности состояний было получено выражение (6.34): (2 ) (С.!) Из этого выражения можно видеть, что подантегральная функция илгеет сггнг>лярность (особенносю) там, где обращается в нуль групповая скорость и„— ~ Ркы [, т, е, там, где зависимость частоты ы от волнового вектора К имеет локальный плоский участок. Точки в К-пространстве, для которых зто имеет место, называются критическими гочкамш Критическая точка может отвечать максимуму или минимуму функции, а танже быть седловой точкой. Жы последовательно рассмотрим поведение функции плотности состояний в каждом нз этих случаев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
