Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 35
Текст из файла (страница 35)
вари ационного исчисления на классе кусочно- апк фу Теорема. Пусть функция х б С ([Се, С~ ], К") доставляет сильныЙ лоярерывно дифференцируен в некоторой окрестности расширенного графика Гсл = ((С,Е(С),Е(С)) [С б [Св, С~]) (й б С'(О(ГЫ)) ). Тсвда на У выполняется условие Вейерттрасса Е (т, е(т), х(т), х(т) + (): = й (т, й(т ), х(т) + б) — й (т, Е(т), Е(т) )— — ай« (т, й(т), й(т)) > 0 'Ф б б К", 'Ф т Е [Сс, С~] Нетрудно видеть, что выписанное условие Вейерштрасса является тем же самым, что и в п. 1лп Е(С,х(С),х(С),я) = й(С,х(С),х) — й(С,Е(С),х(С)) — й»(С)(в — х(С)) > 0 'т' я б К", 1Г С Е [Сс, С~], где С = т, я = х(т) + с.
Докваатхльстло. Для простоты записи проведем доказательство лля я = 1. Возьмем точку т Е (Се, С~) (случаи т = Се,С~ доказываются предельными переходами т — Св, т — С~ ). Рассмотрим выписанную выше игольчатую вариацию хл(С) = х(С) + Ьх(С) функции х. При достаточно малых Л > 0 функция хл допустима в задаче (Р): хл Е РС'([Сд, С~]), хл(СС) = Е(С,) + С»„(С») = х;, С = О, 1. Отметим, что ИССА(')Нс!!ьА!! Л]6 ]Ьл(С)] = ГЛ[6 ~ С б (т, т+ ГЛ). Поскольку функции х(С) и хх(С) совпадают при С Е [Сс, т — Л] и С Е ]т, С!], то, разбивая отрезок интегрирования [Се, С,] на три отрезка, имеем 1(хл) - 1(Е) = / (й(С, х,(С), Е(С)+ 1) — й(С,Е(С),Е(С))) ЙС+ т-Х + (й(С,х,(С),хл(С)) — й(С,У(С),Е(С))) дС =: 1, + 1,. Л(й(т й(т),й(т)+4) — й(т,х(т),й(т))) + а(Л)- 224 Глава 5.
Условия второге порядка в варнаинонном исчислении Поскольку прн й Е (г, г +»IЛ) по теореме о среднем Х(й х + й»» х + й») Х (й х й) — Х (й х й)й»» + Х е(й й й)$»» +о(](й»~,й» )[) = Хй»„+Хй»„+ о( »Л) то б 1. Простейшая задача варианионного исчисления 225 Доказательство. Формализуем задачу (Р) как задачу оптимального управления Х(й,х,и)дй — !пГ; й = и, х(йо) = хо х(й,) = хь (Р') »»» Х, = г~ Я,й»»+ Хе[»»+ о(чгЛ)) дй = / Х,й»»дй+ / Хл дй»»+ о(Л) Интегрируя по частям и пользуясь тем, что функция х удовлетворяс.- уравнению Эйлера, получим лог» д— гох» Х, = / [ - — Хе+Х.)й»дй+Х.(й)й»(й)! -~-о(Л) =-ЛХХ.(т)+о(Л) т Отсюда 1(х») — 1(й) = Л(Х [т, х(т),й(т) +Х) — Цг) — ХХ (т)) + о(Л).
Так как х Е !оспин Р, то 1(х») — 1(х) > О. Деля на Л и устремляя Л к +О. получим Х,(т,х(г),х(т) + Х) — Х(т) — ХХ»(т) > О. Условие Вейерштрасса доказано. В задаче на максимум условие Вейерштрасса меняет свой знак. В следующем пункте условие Вейерштрасса будет выведено иэ принципа максимума Понтрягина. 1.4.2. Необходимые условия сильного экстремума. Теорема 1. Пусть функция х Е С'([йо, й,],К") доставляет силоныи локальный минимум в задаче (Р) (х Е огг!ос»гппР), и интегрант Х. непрерывно дифференцируем в некоторой окрестности расширенного графика Го.
(Х Е С'(су(Гее))). Тогда на х выполняется уривнение Эйлера и удовлетворяется условие Вейерштрасса Е(йх хи) = Цйхи) — Х(ййх) — Хо(й)(и — х) > О»й и 6 К", Уй 6 [йой1! если пРи этом сУществУет Х е(й)»г й е [йо, й,], то выаалнаетса таклг ' условие Лелгандра: Хее(й) > О У й Е [йо 1<]. Условие Ю 6 мг1оспппР равносильно тому, что пара (х,й), где й(й) = х(й), является оптимальным процессом в задаче оптимального управления (Р'). Поэтому согласно принципу максимума Понтрягина найдутся множители Лагранжа Ло, ЛнЛ» и р() Е РС ([йо, й~]) не все равные нулю и такие, что для функции Лагранжа задачи (Р') й = / (ЛоХ(й,х, и) + р(й)(х — и)) дй + Л~(х(йо) — хо) + Л»(х(йь) — х~) выполняются условия: »й а) уравнение Эйяера: — — р(й) + ЛоХ (й) = 0»й й Е [йо, й~]; дй Ь) трансверсальности по х р(йо) = Л, р(й,) = — Лэ с) оптимальности по и: ппп (ЛоХ(й,й(й),и) — р(й)и) = ЛоХ(й,й(й),2(й)) — р(й)х(й) Если Ло — — О, то иэ с) (поскольку минимум конечен и равен — р(й)к(й)) вытекает, что р(й) г— в О, а из Ь) — что все множители Лагранжа нули.
Значит, Ло ф О. Полагаем Ло —— 1. Тогда иэ с) следует, что Хл(й) = р(й) (необходимое условие 1 порядка минимума функции Х (й, й(й), и) — р(й)и) и Хе,(й) > О У й Е [йо, й~] (необходимое условие 1! порядка). Подставляя р = Х, в условие стационарности по х, получаем уравнение Эйлера. Условие оптимальности по и при Ло = 1 и р = Хо Цй,й(й),и) — Х,(й)и > Х(й,й(й),й(й)) — Х~(й)х»(й) У и Е К", У й Е [йо, й~] есть не что иное, как условие Вейерштрасса.
1.4.3. Лемма о округлении углов Лемма. Пусть функция й Е РС'([йо, й~], К ), интегрант Х 6 С(К "ы'.. Тогда существует последовательность гладких функций (х„)„>~ С~([йо,й~],К"). хо(йо) = й(йо), х„(й~) = й(й~), такая, что х„() — х(.) в метрике пространства С([йо,й~]), и 1пп 1(х„) = 1(х). 226 Глава 5. Усаовия второго порядка в вариациоиаом исчислении Доказательство. Лля простоты записи проведем доказательство доя и = 1. Возьмем функцию (1 — ]1])' о(1) = ]1] <1 О, ]1]>1. Она неп[!ерывна, а ее производная при 1 = 0 имеет скачок величины — 1, ]а(1)] < —, ]а(1)] < —.
Пусть т! Е (1оа 1!), о = 1,..., пь, — точки разрыва производной х и гз! = х(т! + 0) — х(т! — О) — ее скачки в этих точках. Функция Ьх(ч т,) = ! а(п( — т,)), график которой получается из графика функции а преобразованиями подобия и сдвига, также непрерывна, и ее производная непрерывна, кроме точки г;, где она по-прежнему имеет скачок — 1, кроме того ]й(1, т!)] < —, ]Л(1, т!)] < -. Тогда функция х„(1) = х(1)+~ да, ЦС, т;) непрерывна вместе со своей ° =! производной на отрезке [го, 1!], причем х„(1) = х(1) вне отрезков [т! — „-, г! + „-].
В частности, для достаточно больших и зти отрезки ! ! не перекрываются, х„(1о) = й(1о), х„(1!) = й(1!), х $х !а! — а!а!! = ] г, ь ао,;!] а — щ !ь ! = — - а „,;. 1 гь 4п а 4п ° =! ]х„(1) — х(1)] = ~~ Ь!1ь(1,т)~ < — шах]са!] = — (Ь: = шах]Ь![), 1 2 а ' 2 а а=! На компакте ((1,х,х) ] 1о <1 <1!, ]х — й(1)] < — „, ]х — й(1)] < э ~, непрерывная функция Ь ограничена: [Ь(1,х,х)] < М.
Поэтому !! !а !а!*.! — иа!! = ] 1аца,*.,а!х — 1аца а а)х] = !а ьа Г, . 4Мгя =]г", 1 !ца.*., )-цаа,а!!х х п а=! т,-- и, следовательно, 1(х„) — 1(х) при п — +со. Следствие. Абссиютиый экстремум в задаче (Р) на сильный и слабый экстремум совладают: Ва ь му = В ь р. Для локальных экстремумов это может быть не так (см. п. 1.2). 4 1. Простейшая задача варпациоипого исчислеяия 227 1.4.4.
Необходимые условия слабого экстремума. Теорема 2. Пусть функция х 6 С ([1о,1!],К") доставляет слабый локальный минимум в задаче (Р) (й Е чг1астапР), интггрант 1 трилсды иглргрывна диффгзэгнцируем в некоторой окрестности расширениага графика Гьг (Ь Е С (О(ГоД) ).
Тогда на й вылалнягтся уравнение Эйлера, условие Лгэкандра и, если на экстремали й вылалнгио усиленное условие Лежандра ( Хьх(1) > 0 'о'1 б [го, 1! ] ), то вылалиягтси и условие Якоби, т. е. иа интервале (оо, 1!) нгт сопряженных точек. В задаче на максимум условие Лежандра меняет свой знак. Доказательство. Лля простоты записи проведем доказательство для я = 1. 1) Вывод уравнения Эйлера и условия Лггкандра. Поскольку функция х Е ан!осш1пР, то для любой функции Ь б Со([1о, 1![) функция О!(Л) = 1(х() + Лгь()) имеет локальный минимум в нуле.
Тогда по необходимому условию минимума функции одного переменного оа'(0) = 0 и арх(0) > О. В главе 3 п. 1.3 было показано, что первое условие равносильно выполнению уравнения Эйлера на функции й. Второе условие эквивалентно нестрицательности функционала К(Ь(.)) = / (Хьь(1)д'(1) + 2Ххь(1)Ь(1)д(1) + Х..(1)дэ(1)),И > О аа У Ь Е Со([оо, 1!]). Из неотрицательности и вида функционала 1Г следует, что функция Ц1) = 0 доставляет абсолютный минимум (слабый) в задаче Л(й(-)) = /(1ьхй'+2бххбл+бххйз) 48 -а !пГ Д(оо) = Ь(1!) = 0 (Р") По следствию из леммы о округлении углов функция Ь = 0 доставляет в задаче (Рх) и сильный минимум.
Тогда в силу теоремы 1 о необходимых условиях сильного минимума в задаче (Рх) на Й выполняется условие Лежандра для ннтегранта Х(1, б(1), Ь(1)): = Хьо(1) Лэ(1) + 2Х.ь(1)Ь(1)й(1) + Ххх(1)йз(8), т.е. Хьь(1) > 0 оо Ххх(1) > 0 аг 1 Е [ооа1!]. Таким образом, условие Лежанлра в задаче (Р) выполнено. 8' 228 Глава 5.
Условия второго порядка в вариаииоииом исчислении 2) Вывод условия Якоби. Предположим противное, что условие Якоби не выполнено, т.е. существует точка т б (Се, С~) и нетривиальное (Ь х 0) решение Ь б С'([Се, С~ ]) уравнения Якоби, для которого А(Се) = Ь(т) = О. Отметим, что из нетривиальности решения Ь однородного линейного дифференциального уравнения второю порядка с условием Ь(т) = 0 вытекает, что Ь(т) ~ О. Положим Ь(С) = 1 ' ' Так как (Ь(С), Со <С <т, ЛО, т<С <Со функция Ь удовлетворяет уравнению Якобй то после интегрирования по частям получим К(Ь( )) = ~ [Х„Ь'+ 21,.ьЬЬ+ Ь..Ь') йС = ~ (У Ьз+»т ЬЬ+м ЬЬ+м 1») й = / (Х»аЬ+ Х»»Ь) Ьйг+ / (й«»Ь+ Х»»Ь) Ьйг г» ь « - (г в+»»)»~ +1( — (гс»+г») +ъ»~»..»)»а=о.
б 1. Простейшая задача вариациоииого исчисления 229 1.4.5. Поле экстремалей Пусть в простейшей задаче КВИ 1(х( )) = /1 (С,х(С),х(С))»С -«1пу; х(С«) хе, х(Ср) = хь (Р) х — некоторая экстремаль (т.е. на х выполняется уравнение Эйлера) из семейства экстремалей (х(, Л)), х(-,Л) Е.С'([Се, С<], К"), с параметром Л б Л б О(К") (сь А — некоторое открытое множество в пространстве К"). Говорим, что экстремаль х окру»кена полем зкстремалей х(.,Л), если существует окрестность С графика Ре — — ((С,й(С)) б К"+~ ] С б [Се, С~]) такая, что лля любой точки (т,с) из этой окрестности имеется единственная экстремаль семейства, проходящая через эту точку. Точнее говоря, существует функция Л: С - К", Л = Л(т,~), класса С'(С), такая, 'что х(т, Л) =" С ез Л = Л(т,с)..
Функция, и: С вЂ” К", и(т,1) = ~ х(С, Л(т, с)) ] называется агупкциец наклона поля'. Если существует такая точка (С„х,), что х(С„Л) = х, для всех Л б Ь, то говорят, что х акрузсела центра»ьцым полем зксмремалей. Точка (С„х,) называется центром паля, семейспю хй. Л) — центлальпмм полем зкспгремалей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
