Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По теореме 3 выполнено достаточное условие слабого локального минимума, значит й Е тв!оспил. Поскольку функция й = х не выпукла по й, то достаточное условие .з сильного минимума не выполняется. Проверим необходимое условие сильного минимума — условие Вейерштрасса: С(Е,У,й,и) = й(Е,х,а) — й(Е,х,й) — йя(Е)(а — х) = = и' — у — Зхь (и — й) = из — ! — 3(а — 1) > 0 (2) чиЕК, тЕЕ[0,1].
Оно не выполняется. Так как не выполняется необходимое условие, то функция х не доставляет сильного локального минимума. з зз Уравнение Эйлера: й+х= О. х~ =хм йз (' =-*; хз =хи — — Е, (!) ь Х„(!) = О дЕ для интегранта Е„х, 0 2 Е' Е,.„, 1 х2х = 2Ь, + 2Ьз+ 4Ь,Ьз Ь1 — — Ьз, (4) (=. Ьз=Ь„ 240 Глава 5.
Условия второго порядка в вариациоииом исчислении Пример Я. Исследуем с помашью условий второго порядка задачу, рассмотренную нами в главе 3 п. 1.6 (пример 2): Е(х()) = / (хз — хз)д1 !пП х(0) = х( — ) = О. 2 ь Мы выяснили ранее, что имеется елинственная допустимая экстремаль х = О, не доставляющая даже слабого локального минимума в задаче. При этом нами была построена последовательность допустимых функций хх(1) = -'ып з', х„() — х() в С'((О, 1)), для которых 1(х„()) < 0 = 1(х()).
Поскольку Х„(1) = 2 > 0 эу ! б [О, — "~, то выполняется усиленное условие Лежандра. Выпишем уравнение Якоби, которое является уравнением Эйлера по Ь Х = 1 ьхЬ + ?Е.е,ЬЬ + Е.„Ь = 2Ь вЂ” 2Ь: Ь+ Ь = 0 е=ь Ь = С, эзп1+ Сзсоэй Начальным условиям Ь(0) = О, Ь(0) = 1, удовлетворяет функция Ь(1) = ып Е Эта функция в интервале (О, э') абрашается в ноль в точке т = зг.
Таким образом, в интервале (О, — ") имеется сопряженная точка, и стало быть не выполнено необходимое условие Якоби слабого локального минимума, значит допустимая экстремаль В(.) не доставляет в задаче слабый минимум, и тем более не доставляет сильный минимум. Если воспользоваться теоремой 5 о необходимых и достаточных условиях экстремума в простейшей задаче вариационнога исчисления с квадратичным функционалом, то из того, что не выполнена условие Якоби, будет следовать, что абсолютный минимум в задача равен — са.
Уравнение Эйлера совпало с уравнением Якоби. Это не случайно. Так бывает, если интегрант исходной задачи является квадратичной функцией ат х,х. й ! Простейшая задата варивциоииого исчясления 241 Пример 3 (простейшая векторнан задача КВИ, в которой допустимая экстремаль единственно и доставляет сильный экстремум). 1(х()) = 1(х,(),хз()) = з~(х~~ + хз+ 2х~хз) д! !пГ; о х,(0) = О, хз(0) = О, х,(!) = ып 1, хз(!) = — э!и !. Условие экстремума 1 порядка — система уравнений Эйлера: х~ = СээЬЕ+ СзсЫ + Сз ып! + С4 соя 1, Обшее решение: ( хз = С~ 5Ы + Сзс!э ! — Сэ 5!я Š— Сз соэ Ь Начальные условия.
х~(0) = Сз + Сх = О, )' х, = С,э!э! -1- Сз ып1, ( хз(0) = Сз С4 =0 з ~ ).хз = С~эЬŠ— Сзып! ( х~(!) = С~а!э!+Сэып ! = э!п!, С 0 хз(1) = С!э!э! — Сз ып 1 = — ып 1, Единственная допустимая экстремаль х! = ып1, хз = — ыпй Условия экстремума 11 порядка. Условие Лехсандра. Хт = ~ -*'*' -*'*' ) = ( О 2з) . Ех,х, Е х,х, Эта матрица положительно определена, следовательно, выполняется усиленное условие Лежандра. Условие Якоби.
Квадрати зныи интегрант Е (Е, Ь, Ь) = (1х*Ь, Ь) + 2(Еххй, Ь) + (Е. хЬ, Еэ) = =((' 'Н(,') ("')) ((' 'Н"'И"'))= Система уравнений Якоби (Эйлера для квадратичного интегранта Е): 243 1.7. Зяд и й,'(0) = Сз + С, йз (О) Сз С4 ь,'(о) = с + с йз(о) = с, — с, О, ! = Сз = — . 2 О, =»с =с =о,с, 1, О, зь т + 5!п т г!СгН(т) = 0 4=» 4!е! Лйт — з!пт 2 ойт — япт зйт+ япт 2 242 Глава 5. Условия второго порядка в вариациоииом исчислении Ишем фундаментальную систему решений уравнения Якоби — матрицу Н(!) = (Ь'(1)Ь (!)) = ~ [( ' 2" ) такую, что Н(0) = 0 (нулевая т, ь,'(!) й',(!) ) матрица), Н(0) = 1 (единичная матрица).
Для вектора й (!) = ~ ! ) = = ~ь,'(!)) = (; ° — -"-) С зь ! + С!си! + Сз о!п ! + С4 сох! '1 ! С Ь ! С ° ! С ! ) ДОлжны ВыполнЯтьсЯ УслОВиЯ / О ! 4пп ! '! / пт-яп! ! Отсюда й'(!) = ~,ыза„! ). Аналогично находим: йз(!) = 2 2 Сопряженные точки являются корнями уравнения (зйт+ з!пт) — (ойт — япт) = 0 с=» зйтз1пт =0 4=» т = !сз', й б Х. На полуинтервале (О, 1[ нет сопряженных точек„следовательно, выполняется усиленное условие Якоби.
По теореме 3 п.1.4.6 вектор 5 = (х„йз) = (яп1, — яп !) Е зо1осш!и. Условие Вейерштрассо — необходимое условие сильного минимума— выполняется: Н(1,5,х,а): = Ь(з,х,и) — !(г,х,х) — (Ь (1,х,й),и — х) = = а! + из + 2х1хз — 5, — хз — 25!5!в =(а! — Х!) +(из — 52) > 0 зг (и1,из) б К, У С б [О, 1[. Вынухлость интегранта но х, функция Ь(1, х, х) = из+ хзз + 2х1хз выпукла по х, так как Хй — положительно определенная матрица для любых (з,х) б !1~. По теореме 4 и.1.4.7 вектор 5 = (х1,52) б 1осппп (сильный). (Отметим„что из условия выпуклости интегранта Ь по х следует выполнение условия Вейерштрасса.) Если воспользоваться теоремой 5 п.
1.4.0 лля квадратичных функционалов, то получим, что х = (51,хз) б а!жш!и (и слабый, и сильный). 6 1. Простейшая задача аарнациоииого исчисления пгз 1д. /(хз — хз+4хсоз!)4Г- ехгг; х(О) =х( — ) =0 о зпя (3!11 1.2. (х — х — 4хяп!)41 — ехи; х(О) = х( — 1 = О. з2/ о 1 1.3. /(хз+ Зх')сн41- ехгг; х(0) = 1, х(1) = е. о 1 1.4. /(х' — хз)е 42 — ехгг; х(0) = О, х(!) = е. о 1 1.5. / з!пхг!! — ! ехгг; х(0) = О, х(1) = —.
о 1.6. / созх4! — ех!г; х(0) = О, х(1) = !г. о т, !.7. / хепо! - ехгг; х(0) = О, х(То) = 6. о 1 1.8. / хлеп о! — ех!г; х(0) = О, х(1) = 2. о 1 1.9. /(х~+4х~)41- ехгг; х(0) =О, х(!) = — 1. о 112 (31= 1.10. /(х~-~-2х)4! — ех!г; х(О) =О, х( — 1 = 1. ~2г о т„ 1.11. /(х + 5х) 4! — ! ехн; х(0) = О, х(То) = !. о 1 1.12.
/(1 — х~)'4! — 4ех!г; х(0) =О, х(1) =!. о 244 Глава 5. Условия второго порядка в аариаяиоииом исчислевии Ответы к задачам главы 5 1. (! — — ") гйп! Е аЬапх!и; Я,п« = +оз. 2. !сох! Е и!осеххг; асмп — — -со; Я„„„= -1-оо 3. е' 6 аЬьш!и; Я„,„= -1-со. 4. !е ' Е аЬьшах; Зппп «и — со. 5. Зпмп = — 1, '— 6 аЬяпах; Бм,„=!. б. х! 6 аЬхш!и; Я и = — 1; 3„„„= !. > — 2 =ь л = Е хх!осгп!п,!Г мг1оспцп; 3~- < — 2 =ь ж Е и1осгпах, к мг1осгоах«в = — 2 ~ л к чг1осехгг; Я е пп -со; Я м ш +оз.
8. 2! 6 хи!осто!и; Боп««п +со. 9. — ! Е в«1осгп!п,йгаг1оспнп; Ямм = -со; Б,„п« =+со. "И з 1О. — з!) Е хч!осеххг; Я и = — оо; Я,„«ьсо. 2 11. 5 2 5/ > 3Те ~ й '= - ([! + С) 4 — С4 ) 6 хе!оса!и, Д а!г!ест!и; 5 4 2 6 < — -1'„й =.ь — к Е хч1осгпах, к агг!осгпах, где константа С отыски- 2 2' вается из граничного условия на правом конце; — ~[!+ С) 4 — Сз) = [6); 3х, 5 5 5 3ТО ~ Е 3!л к агг!осехгг; б = — -Ть ~ е !и и а!г!Осах!г* г 4 4 4 5 5 — ь 4 2 )6! < 3Т2 =ь допустимых экстремалей нет; Яем = — оо; Я~,„= +со. 12. )6) > ~ ~ л = 6! Е хг!осгп!и, и агг!осгп!и; )6] < д =ь к Е хи1осгпах, Е агт1ОСГпаХ; Бгмп = ~ З З . Б =+СО. 1О, )() <1, ппп — '~ [С !)2 ]Сп) > !. п«а« = Список литературы к части 1 [!] [АГГ) Алексеев В.
М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Мл Наука, 1984. [2) [АТФ) Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Мл Наука, 1979. [3) Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Минск. Изд-во БГУ, 1981. [4[ [ГГ) Галеев Э.
М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Мл Изд-во МГУ, !989. [5) Галеев Э. М., Кушниренко А. Г., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимальному управлению. Мл Изд-во МГУ, 1980. [6) Галеев Э. М. Классическое вариационное исчисление, оптимальное управление. Мл Изд-во МГГА, 1995.
[7) Галеев Э. М. Линейное про!раммирование. Мл Изд-во М ГГА, 1995. [8] Галеев Э. М. Экстремальные задачи. Мл Изд-во МГГА, 1996. [9) Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Мл Наука, 1988. [1О) Яемиоович Б. П и Мирон И. А. Основы вычислительной математики. Мл Наука, 1966. [11[ Заславский Ю.Л. Сборник залач по линейному программированию. Мл Наука, 1969.
[12) Карманов В. Г. Математическое программирование. Мл Наука, 1980. [!3] Куроиг А. Г. Курс высшей алгебры. Мл Наука, !975. [!4) Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мл Мир, 1973. [15) Саульев В. К Прикладная и вычислительная математика. Вып. 3. Изд-во МАИ, 1971. [16) Фихгиенгольи Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тг. 1, 2. Мл Наука, 1969. Часть И Глава б Общая теория экстремальиых задач 90. Введение В мире ие проискодиг ничего, а чем ие был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л. Эйлер Первой задачей на максимум, обсулшавшейся в научной литературе, принято считать классическую изопериметрическую задачу о кривой заданной длины, охватывающей максимальную плошадь, стимулом лля постановки которой был для древних поиск совершенных форм.
Две знаменитые задачи Хгг!1 века — задача И. Бернулли о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска) и аэродинамическая задача Ньютона (о поверхности вращения, испытывающего наименьшее сопротивление) были вызваны к жизни проблемами механики и техники, а рождение линейного программирования (транспортная задача, задача об оптимальном распределении ресурсов и др.) — запросами экономики и военно-промышленного комплекса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
