Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Огромное число задач на экстремум породили проблемы автоматического регулирования, космической навигации и другие задачи управления в технике. Об этом уже было сказано в первой части книги. Так что теория экстремума имеет весьма важные приложения. В этой главе (написанной на основе записок лекций, читавшихся В. М.Т .Тихомировым на механико-математическом факультете МГУ а осеннем семестре !998 года) делается попытка вскрыть основные принципы, на которых базируется теория экстремума (в основном, в части, связанной с необходимыми условиями). П режде, чем переходить к изложению этих принципов, нужно кое о чем напомнить.
$0. Введение 247 0.1. Основные темы н нрннннны общей теорнн экстремума Вследствие того, что экстремальные задачи (как правило) изначально описываются на языке той области науки, в которой они возникли, необходим перевод такого описания на язык математического анализа. Он называется формализацией задачи. Далее употреблется, как и в части 1, такая запись формализованной проблемы: Д(я) пип(игах); в Е 27. В связи с каждой экстремальной задачей (Р) можно поставить такие вопросы: 1) каковы необходимые условия экстремума в задаче? 2) каковы достаточные условия экстремума и как изменяются решения при изменении параметров задачи? 3) существует ли решение задачи? и 4) возможно ли найти решение явно и, если это затруднительно, то как найти его численно? В теории экстремума выделяются в соответствии с этими вопросами следующие четыре основных темы: необходимые условия; возмущения экстремальных задач и достаточные условия; расширения экстремальных задач и сушествование решений и алгоритмы отыскания решений.
В каждой из перечисленных тем можно выделить одну или несколько важнейших обшил плей (принципов), которые являются стержневыми в соответствуюшей части теории. Сформулируем их. Во всех задачах, о которых речь шла в предылуших главах и многих других, сосушествуют (хотя это нередко затруднительно усмотреть) две структуры — гладкая и выпуклая. К таковым относятся гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств, задачи выпуклого программирования, классического вариационного исчисления, оптимального управления, ляпуновские задачи, задачи с распределенными параметрами и другие. Одной из фундаментальных идей, которые дают возможность проявиться выпуклости в задачах вариационного исчисления и оптимального управления, является следуюшая: интегральные отображения, построенные по непрерывной мере имеют выпуклые (или почти выпуклые) образы.
Формой проявления этой идеи служит, например, теорема Ляпунова о векторных мерах (о ней говорится дальше). А теперь сформулируем основные тезисы, касаюшнеся тех четырех тем, о которых говорилось. 'йзис вераыйг мвабходимые условия экстремума в эадаиак, гдв сосуществуют гладким и вмлумлая структуры, соответствуют одному общему лримцилу — мримцилу Лаграмлга смятая ограничений. Принцип Лагранжа состоит в снятии ограничений с помошыо функции Лагранжа: условия экстремума в задаче с ограничениями совпадают с условиями экстремума функции Лаграндма в задаче бвз аграмичений 249 4 О. Введение 248 Глава 6.
Общая теория экстремальимх задач (или с ограничениями. не включенными в функцию Лагрангка). Принципу Лагранжа посвящен й 1 этой главы. Тезис второй. Одной из центральных идей теории экстремума является мысль, выраженная Гамильтоном: следует рассматривать нс одну задичу, а ссмсйснзво задач, включающее данную. Такой подход предоставляет богатые возможности для исследования индивидуальной, исходной задачи. При этом, в частности, оказывается, что, если необходимые условия облалают определенной невырожлснносзью (в случае выпуклых залач, к примеру.
— если множитель Лагранжа при функционале не равен нулю), то принцип Лагранжа о снятии ограничений может быль доведен до логического конца: можно так слегка видоизменить функцию Лагранжа, что она сама будет иметь минимум в задаче без ограничений (в выпуклом случае и видоизменять не нужно). Этот тезис кратко затрагивается в 4 2. Тезис третий: основным приниипом доказательства теорем существования решения экстремальных задач является принцип компактности ~1; очень широкий круг задач имеет решение, нередко, впрочем, в некоем обобщенном толковании этого понятия.
Эту мысль выразил Гильберт при формулировке двадцатой из его знаменитых проблем (см, эпиграф к б 3 этой главы). Тема»существование и расширения экстремальных задач» обсухсдается в б 3. Решения задач на экстремум делятся на две группы: получаемые с помощью необходимых условий и непосредственный минимизированисм функционала. В последнем случае поиски экстремума называют прямыми. Тезис четвертый. Алгоритмы нахождения решений конечномерных экстремальных задач, применяемые в прямых методах, основываются на идеях целесообразного спуска, а также методах отсечения и штрафа. Бесконечномерныс задачи редуцируются к последовательности конечномерных методами разумной дискретизации. Об алгоритмах говорится в э4.
45 посвящен обсуждению конкретных задач. В бб делаются заключительные замечания и ставятся проблемы. 0.2. Классы экстремальных задач Далее будут исследоваться следующие совокупности экстремальных задач: 1) Задачи математического программирования. Они формализуются так: Уа(х)- пнп; 7;(х)<0, 1<з<ш, Р(х)=0, хЕА, (Р~) П Припаяв компактности Веаерштреесь — Лебеге нолунепрермьнае снизу иь компакте функине лестн»ее» своего минимума. где Х вЂ” линейное (векторное) пространство, Ун Х вЂ” К вЂ” функционалы на Х, Р: Х У, глс У вЂ” другое векторное пространство, А — некоторое подмножество Х. Это общая залача математического программирования, которая будет нами рассматриваться. Если Х и 1'— банаховы пространства, г, и Р— лифференцируемы, а ограничение х Е А — отсутствует, залачу (Р~) мы называем гладкой задачей с ограничениями типа равенств и неравенств.
Есл и Х и У вЂ” векторные пространства, >, -- выпу пуклые функции, Р— аффннное отображение, а А — выпукчое множество, залачу (Р,) мы называем задачей выпуклого и ограммиравиния или просто еыпуклои задачей. Если в выпукчон задаче Х и У вЂ” линейные пространства (обычно конечномерныс), функции Д вЂ” линейны, а множество А — полнэдральный конус, то задачу (,) гР з называют задачей линейного программирования. Если функционал квалратичен, а ограничения линейны, то (Р|) называют задачей квадратичного программирования. 2) Задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Мы б дем изучать, в основном, задачи такого рола.
у В,(~) ш1Ш В,(О<О, '=1,...,ш', В(С)=0 '=ш+' " » х(1) — уз(1, х(1), и(1)) = 0 У 1 Е зх и Е»л ( () () 1„1,) Š— — РС~(Д К") х РС(Ь,К") и К, зз — заданный конечный отрезок, 1гь1, Е бг, 1> Е К' (РС вЂ” пространство кусочно- непрерывных, а РС' — кусочно-непрерывно-дифференцируемых функций), В (С) = ) Ь (1 х(1) и(Ю)) Ж+ 1з(1е х(1ь) 1,,х(1 )), з = О, 1,...,т. з» » К» Переменные х Е К" называют фазовыми, переменные и Е К управлениями, функционал И, — функционалам Больна, функции Ь; интсгрантами, а — тсрминантами. Условие х = уз называется дифференциальным ограничением или дифференциальной связью. Все функции (Ь„1,, уз) предполагаются по крайней мере непрерывными. Если ограничение на управление типа включений и Е 1> отсутствует, задачу ( з) ач (Р) называют задачей Лагранзки классического вариационного исчисления (в вонтрягинсной форме), если это ограничение присутствует — задачей оптимального управления а понтрягинской форме.
Часто встречаются также задачи с фазовыми ограничениями типа д(1, х(1)) = О или С(1,х(1)) < О, где д и С вЂ” непрерывные вектор-функции. Возможны и смешанные ог(заничения д(1,х(1),и(1)) = 0 и С(1,х(1),и(1)) < О. Если интегранты не зависят от фазовых координат, время фиксировано, терминанты выпуклы по х и дифференциальная связь отсутствует, задача (Рз) называется ляпуновской. Частными случаями задачи Лагранжа является задача Больна, простейшая залача классического вариационного исчисления, задачи со старшими производными и другие задачи, подробно изученные в части !. Глава б. Общая теория экстремалыгых задач 250 О.З.
О базе теории Базой теории экстремума являются линейный и выпуклый анализ, аппаратом — дифференциальное и выпуклое исчисление. В гладком анализе важнейшую роль играет теорема об обратном отображении. Фундаментом выпуклого анализа являются теоремы отделимости. Для нас достаточной окажется теорема Люстерника, которая была доказана в первой части. Приведем ряд теорем выпуклого анализа. Подробнее см. (МИ-Т). Теорема (Феихеля — Моро). Для того, чтобы имело место равенство р'* = у необходимо и достаточно, чтобы,Г: Х 1к О (+ос) б ыа выпукла и замкнута. Эта теорема служит основанием для теории двойственности выпуклых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
