Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 43
Текст из файла (страница 43)
0 достаточнмх условиях рассказано в первой части книги. если положить у(х) = +ос при х к С. Если !г — некоторое семейство параметров, Е: Х х У вЂ” В гс (+со) и лля некоторого уэ имеет место равенство Е(х,ус) = Х(х), говорят, что семейство задач и (х, у) — пнп (Ру) является возмущением задачи (Р).
Теория задач линейного программирования строится на концепции возмущения, и суть этой теории может быть выражена очень кратко: эпиграф значения возмущенной задачи липейпага программирования — выпуклый полиэдр, откуда вытекает разрешимость задачи (если ее значение конечно), совпадение ее значения со значением двойственной задачи, разрешимость двойственной задачи и невырожденность принципа Лагранжа для прямой и двойственной задач (ср. с гл. 2). В некоторых классах задач, которые рассматривались во введении, напрашиваются стандартные возмущения.
Таковыми являются многие залачи, рассмотренные нами. Для задачи с ограничением типа равенств ус(х) пнп; Е(х) = О, Е: Х вЂ” !' стандартное возмущение таково: 7с(х) пнп; Е(х) = у; лля простейшей залачи,7(х()) = ! Ь(1,х(!)х(!)) д! — пнп; х(1с) = хс, с, х(!с) = хс рассматривается такое возмущение У(х(')) = / Ь(1,х(1)х(!)) д! —" гп1п; х(!с) = хэ, х(т) = Е и т.п.
(о котором как раз и говорит Гамильтон — см. эпиграф). Невырожденность необходимого условия первого порядка порождает «устойчивость» решения первоначальной задачи: при возмущении этой задачи решения возмущенной задачи плавно эволюционируют в зависимости от параметра возмущения и при этом зачастую удается вычислить субдифференциал 5-функции в точке уэ, в которой возмущенная задача совпадает с исходной. Эта мысль может быть реализована по отношению ко всем типам рассмотренных нами экстремальных задач, но мы проиллюстрируем ее лишь в самых простых случаях — гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и для простейшей задачи классического вариационного исчисления. Пусть Гà — окрестность в К",,Г; Гà — Ж, Е: Гà — В .
Рассмотрим конечномерную задачу с равенствами: ~(х) — пип; Е(х) = О (2) Глава 6. Общая теория экстремальных задач и ее стандартное возмущение: у(х) пнп; Р(х) = у. (рг) Теорема (о поле в коиечвомериых залячах с равенствами). Пусть у, Р Е Сэ(У) (условие гладкости), х 6 Ег, Р(х) = О, 1шР'(х) = К (условие регулярности), существует множитель Лагранэка Л 6 К~ такой, что для функции Лагранжа задачи (2) с единичным множителеи Лагранжа при функционале (Е(х, Л, 1)) = э(х) + (Л, е (х)) выполняются: а) необкодимое условие минимума первого порядка; 267 а ляпуновские задачи, как объяснялось, на самом деле выпуклые. К ним применим принцип двойственности. Если рассмотреть семейство эапач, зависящих от параметра у, записав ограничение в виде равенства 3 и(1)дг = у, и значение возмущенной задачи обозначить Я(у), то ь двойственная функция имеет вид: Е (р): К" — ~ КО (+оэ), 8'(р) = / л'(г,р)дг. Ь) условие второго порядка: Е„> 0 чй Е Кегр'(У), д за 0 (С„= Е„(х, Л )) (2) а) и Ь) — достаточное условие минимума второго порядка).
Тогда существуют окрестность У точки 0 Е К~, окрестность У' С 17 точки й и функция р: у У х К, 1о Е С'(У), у(у) = (х(у),Л(у)), р(0) = (х, Л) такие, юпо Е,(х, Л) = О, У(х) = у, х Е У', у Е У тогда и только тогда, когда х = х(у), Л = Л(у). При этом х(у) локальный минимум (Р„) и Я'(О) = Л.
Доказательство этой теоремы см. в книге (ГГ, с. 140 и далее). Такие же результаты можно доказать и для других разбиравшихся нами классов экстремальных задач. Одним из важных частных случаев приложения этой общей идеи о полном элиминирования ограничений является основная формула Вейерштрасса. 2.2. Простейшем задача классического аарманнонного мсчмсленма Начнем с задач, интегрвнт которых не содержит фазовых переменных.
Класс простейших задач классического вариационного исчисления с интегрантами вида ь = ь(1,х), ь: к х к" - к О (+ос) (не зависящими от х) исследован почти до конца. (На самом деле не так мало замечательных задач редуцируется к задачам этого класса.) Суть дела в том, что эти эапачи — ляпуновские: Ь(1 и(1)) дп — пнп, / и(1) гм = хр хь, Это — функция конечного числа переменных. Функция Я при широких допущениях замкнута, и потому (по теореме Фенхеля — Моро) вычисление значения задачи сводится к конечномерной выпуклой оптимизации: если у принадлежит относительной внутренности дошЯ, то Причем если решение р приналлежит внутренности дошЯ', то решение х() существует и находится из равенства г.(г,х(1)) +Ь'(г,р) = (хь(1),р) гючти везде.
В достаточно общем случае удается описать обобщенное решение, оно включает в себя некоторое число скачков. Подробнее об этом см. [ИТ, В9.3). В задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления можно реализовать ту идею о полном снятии ограничений, о которой говорилось в п. 2.1. Мы проиллюстрируем ее лишь на простейшей задаче (2).
Допустим, что в этой задаче интегрант — достаточно гладкая функция во множестве У х К, экстремаль х(.) — также гладкая функция и при этом удовлетворяются условия невырожденности первого и второго порядка, сходные по сути с условиями теоремы иэ п. 2.1. Тогда область У удается покрыть полем экстремалей и(, ): У вЂ” К и при этом имеет место формула ,7 (х( ) ) —,7 (У( ) ) = / Е (1, х(1), и (1, х(1) ), х(1) ) дз, где Е(1,х,и,х) = г(г,х,х) — г(1,х,и) — (х — и)Ь,(1,х,и) (см. п.1.3 гл. 5 н (ГТ, с.!46)).
Подобные формулы существуют для весьма широкого класса задач. Особенно красиво формула Вейерштрасса выглядит в квадратическом случае, когда при гв = хв = х~ = О, Щх, х) = д(1)х + В(1)хэ. Пусть 2б8 Глава 6. Общая теория экстремальных задач 4 3. Расширение вариациовных задач и существование решений 269 Уь( ) — решение уравнения Эйлера для простейшей квадратичной задачи, не обращающееся в нуль в полуинтервале (0,1~[. Тогда для любой функции х(.), х(0) = х(1,) = 0 имеет месю формула (Вейерштрасса): г) г, ,,з (А(1)х (1) + В(1)х (1)) г11 = 11 А(1) х(1) — — х(1) гУУ.
3 Уз(1) Уз(1) о о $3..Расширение вариационных задач и существование решений ° Я убежден, что докаыгсльсгва сучлесгвовання можно будет провести с помощью некоего основного положения, на которое указывает иринино Дирихле н который, вероятно, приблизит иас к вопросу о том, не допускает ли всякая регулярная варианионная задача решение, если в случае необхолимгюгн самому понятию решения придать расширенное толкование .
1У. Гю «берт Этаг параграф в значительной мере посвящен осознанию того, что было высказано Гильбертом в приведенном выше эпиграфе. «Основное положение», о котором ан говорит, зто, по-видимому, принцип Вейерштрасса — Лебега. Регулярная задача (классического вариационного исчисления) — зто задача, где интегрант является строго выпуклым по производным.
Регулярность гарантирует полунепрерывность снизу. Процелура, называемая «скользлгцим режимом» позволяет утверждать, что с теоретической точки зрения, интегрант (одномерной) вариационной задачи всегда можно считать выпуклым по производным (такие интегранты называются квазирегулярными). Квазирегулярность влечет за собой полунепрерывность снизу функционалов классического вариационного исчисления. И остается вопрос о компактности. Обо всем этом речь идет в этом параграфе.
3.1. Расширение варианионньгх задач Примеры несуществования решевий Рассмотрим простейшую задачу классического вариационного исчисления .У(х()) = / 1(1,х(Ф),х(1))гй — гпш; х(го) = хо, х(1~) = х,, и постараемся сначала понять, какие причины могут препятствовать существованию решения этой задачи (в естественном и — с определенной точки зрения наиболее широком — пространстве И",([1о,г,[) абсолютно непрерывных функций). Пример 1 УБольца).
.Ур (х( )) [ ((х» — 1)з + хз)Ж гп1п; х(0) = х(1) = О. о Ясно, что 1,(х(.)) > 0 на любой абсолютно непрерывной функции х( ). Если же взять последовательность функций равномерно стремяшуюся к нулю, у которой производная по молулю равна почти всюду единице, то значение интеграла булет стремиться к (непостижимому) нулю. (Например, можно взять последовательность, хв(1) = ) ив(т) гУт, и (1) = запа1п2япг, п Е Уь1 и убедиться, что о .У~(х„())- 0 при и — оо. Такие процелуры называют «скользящими режимами»,) Причиной несуществования решения здесь является неквазирегулярность интегранта, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
