Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 44
Текст из файла (страница 44)
невыпуклосгь по х функции й — (х' — 1) + х . Здесь возможно обобщить понятие решения и тогда в этом примере будет существовать обобщенное решение. (См. далее комментарий к теореме Боголюбова.) Пример 2 (Вейершграсса). ! ,Уз(х( )) = 1 г~х~Ж вЂ” пцп; х(0) = О, х(1) = 1. е Это — знаменитый пример, с помощью которого Вейерштрасс оспаривал утверждение, приписываемое Риману, о существовании ре- шения задачи Дирихле в области п-мерного пространства. (Якобы Риман утверждал, что у положительного функционала всегда долж- но быть решение; Риман, безусловно, был уверен в существовании решения задачи Дирихле, но навряд ли считал сказанное доказатель- ным аргументом.) Ясно, что,Уз(х()) > О для любого х() 6 И",~(1), х(0) = О, х(1) = 1, 1 = [О, 1[. Но если рассмотреть последовательность [пг, О<1< „-' я„(1) = ', ", и Е 1ьг, то получим, что 11т.уз(х„()) = О. 1> -', е со в' Снова мы видим, что решения нет.
Причина тому — недостаточный рост интегранта, который препятствует компактному вложению множества функций с ограниченной величиной интеграла Лт в пространство И",(1). Интересно отметить, что недостаточный рост интегранта имеется лишь в одной точке — нуль! И здесь возможно расширить понятие решения, дополнив константу, равную единице, скачком, и тогда и в этом примере будет иметься решение, которому (по Гильберту) можно придать «расширенное толкование», 2УО Глава 6. Общая теория зкстремалымх задач Пример 3 (гармонический осцилпягор).
т Уз(х(-)) = )(х~ — х ) 1й пцп; Т > т, х(О) = х(Т) = О. о Если рассмотреть последовательность х„(1) = пэ1п(ку), и Е !Ц, то нетрудно понять, что .71(х„(.)) — -со, т,е. решения нег: функционал « — «« неограничен снизу. Здесь, разумеется, никакого «обобщенного* решения быть не может, но допустима такая процедура: наложим «принудительное» ограничение !х(1)[ ( Лг. Тогда решение хп() будет существовать, и вычислив дз(хн()), можно будет убедиться, что эти числа стремятся к минус бесконечности. Эта же гщея может быть применена и в примере Вейерштрасса, и мы пришли бы к описанному выше обобщенному решению.
Так что метод принудительного ограничения позволяет, вообще говоря, исследовать задачи, где нет ограниченности снизу интегранта или компактности. Теорема Боголюбова Общий принцип, о котором говорит Гильберт, это, вероятно, принцип компактности. Чтобы его применить нужны полунепрерывность снизу и компактность, которая возникает, если функционал коэрцитивен (т.е. имеется рост интепзэла .7(х()) при стремлении х() к бесконечности). Полунепрерывность снизу гарантируется квазирегулярностью, а коэрцитивность — ростом интегранта.
Оказывается, что неквазирегулярность интегранта может быть теоретически преодолена. Именно, можно расширить задачу, изменив функционал (сделав интегрант квазирегулярным) так, что минимизируемые последовательности у него и у исходного функционала будут одни и те же. Поясним, как это сделать на примере простейшей задачи классического вариационного исчисления: . (х()) = / Ь((.х(1),х(1)) д( — п1!и; х(11) = х„з' = О,!. (Р) Обозначим У,(С,х, ) — овыпукление Ь по х при фиксированных ((,х) (или, иначе говоря, вторую сопряженную функцию ф Ь*'(1,х,ф) по последнему аргументу.) Теорема (Боголюбова о каазирегулярном расширении).
Пусть интгграюн (1,х,й) 1 Ул !к — !К вЂ” непрерывен по всем переменным и удовлетворяет неравенству: Ь(1, х, х) > )э, Тогда длл любой абсолютно непрерывной функции х(.) существует последовательность (х„()) равномерно сходящаяся к х(-) и такая, что !пп .7(х„(.)) — 7(х(-)) = / У (1, х(1), х(1)) д(. а О« ц $ 3. Расширеиие вариапиониых шгрдч и сущеетвоааяие ревмиий 271 Идея доказательства теоремы Боголюбова прост. Устроив разбиение отрезка [(о,(1[ на ЛГ отрезков («»1); „заменмм .У(х()) на сумму У((м х1, х,)Ь,. Если при этом число У (т„х» *"' *') попадает на «не!=! выпуклость» функции х У(т1, хн х), то 7,(т„х„",' ') Ь1 заменяется на скользящий режим.
Применим теорему Боголюбова к рассмотренному выше примеЕу 1. При овыпуклении интегранта этого примера получается интегрант Ь(х, ф), совпадающий с интегрантом примера при [х[ > 1 и равный нулю, если [ф[ < 1. При таком интегранте решение существует при любых граничных условиях. 3.2. Тееремьг еуунеетновйннн В ЗаДаЧаХ ВВРНВННОННОГО НЕЧНЕЛЕННН Общая теорема сущеетвоааимя Пусть Х вЂ” рефлексивное' нормированное пространство, Р— нормированное пространство, А С Х вЂ” выпуклое замкнутое подмножество, Л: Х - У вЂ” линейный ограниченный оператор,,7 — функционал на А ограниченный снизу и полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости в Х. (Если .У вЂ” выпуклый, то достаточно требовать полунепрерывности снизу в Х).
Рассмотрим экстремальную задачу: .У(х) — ~ пцп; Лх+ уо = О, х Е А, (Р1) где уо — заданный элемент. Обозначим через УЭ вЂ” множество допустимых элементов, т.е. таких элементов х Е А, для которых Лх+ уо —— О и,У(х) > — оо.
Решение задачи, т. е. глобальный минимум обозначим х. Теорема 1 (общая теорема существования). Пусть множество допустимых элементов непусто и функционал,У каэрцитивен (т. в. для некоторого УУ > О множество (х Е УЭ [ У(х) < лЦ ограничено в Х.) Тогда задача (Р) имеет рггивние. Если,7 — серою выпуклый функционал, это решение единственно. Доказательство. Из условия теоремы следует, что для некоторого х Е Тз множество (х Е Э [ У(х) < .7(Н)) есть замкнутое (в слабой топологии) ограниченное множество рефлексивного пространства Х. Как известно, это множество слабо компактно, значит, по принципу Вейерштрасса— дебета решение задачи (Р) существует. и ' Ваназово про«эран«тао Х нлзмвввгев рмутконвммм. «Овн Х" = Х.
В звкнк Орос«ран«твоа вз о«раин«аннов посл«лов»зольности мозно вмлоанзь смнмвоаошоа ООЛЛОГЛОЛОМН»Л»НОС 1Ъ, 272 Теорема Тоиелли Лемма. Пусть О < а < сз < 1 и Тогда Глава 6. Общая теория экстремальных задач Применим этот общий подход к простейшей задаче классического вариационного исчисления и убедимся, что если исключить те три причины несуществования, которые были вскрыты при обсуждении приведенных выше трех примеров, то существование решения можно гарантировать.
Первый результат такого рода был доказан Тонелли лля задачи (Р). Теорема 2 (Тонелли о существовании решения в простейшей задаче). Пусть интегрант (1,х,х) с Тл Кз К в задаче (Р) — непрерывная по всем переменным и выпуклая ио х при фиксированных ! и х функция, удовлетворяющая неравенству: Б(1, х, х) > а[х[« + )1, а > О, су 6 К, р > 1. Тогда существует решение задачи (Р), принадлезкащее пространству абсасютно-непрерывных функций.
Доказательство. Будем доказывать теорему, предположив, что (помимо непрерывности и выпуклости) интегрант Ь непрерывно дифференцируем по х. Из неравенства, приведенного в формулировке теоремы, получаем, что [[х(.)[[ с з < С, если рассматривать функг,,(рс ь1) ции, удовлетворяющие граничным условиям со значением функционала, не превосходящим .1(У()), где х() — некоторая допустимая функция. Это множество слабо компактно в Ьр([1«ь1,[). Рассмотрим минимизирующую последовательность (х„( ) ) „.
Из х„( ) можно выбрать подпоследовательность слабо сходящуюся к х( ). Тогда соответствующая с подпоследовательность х„,(1) = хь + 1 х„,(т) дт сходится к х(1) и при«а том равномерно. Легко доказывается, что х() 6 АС([1ь,!с[). А теперь интегрируя неравенство Б(1,х„(1), х„(1)) — Ь(1,х„(!), й(1)) > > ( ' „ (!) — й(Г)) (К,(!) + Ь, (1, х„ (!), й(!)) — Х, (1)), получаем неравенство: !пп1(х„,()) > г (х()). При отсутствии роста можно иногда эффективно расширить понятие решения, скажем, дополнив его скачками (как в примере Вейерштрасса; впоследствии мы еше поговорим об этом).
В принципе, можно перейти во второе сопряженное пространство», т.е. достигнуть существования в слишком широком пространстве, где его затруднительно описать явно. Но есть еше одна возмохсность. о которой уже упоминалось. Ее мы сейчас обсудим более подробно. 5 3.
Расширение вариаииовиых задач и существование решений 273 Принулительиые ограничения и пример Лаврентьева Оптимальное управление представляет новые возможности для подхода к проблемам существования. Имеет место такой результат: если интегрант иростейисей задачи непрерывен и квазирегу«трен и рассматривается задача при дополнительном ограничении на производную [х[ < АС, то нри условии, что существует допустимая кривая, существует и решение задачи. Доказательство этой теоремы содерзкится в книге [ГГ, с.157[ (оно очень близко по сути дела доказательству теоремы Тонелли). Трудно сказать, в какой мере универсален подход, связанный с принудительным осраничением, ибо существует замечательный (правда, очень вырожденный) пример Лаврентьева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
