Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сколько нормалей можно провести из точки на плоскости к эллипсу? Иначе говоря, требуется определить число стационарных точек в задаче 1 (х! — 4!) +(хз — Сз) — ппп; ~ — г! + ~ — г1 = 1. (!О) а! аз Решение этой задачи приведено в $3 гл.!. Об истории этой задачи см. в книге [Т, с. 130[.
55. Прнлоясения обык% теории к решенно коиярепывх залач 287 Избранные задачи геометрии В геометрии было решено множество замечательных экстремальных задач. В книге [Т[ приведено несколько задач элементарной геометрии. Здесь приводятся пять задач, связанных с именами Грамма, Адамара, Юнга и Бляшке и еше одна задача понадобившаяся лля построения алгоритма выпуклой оптимизации. 11. Залача о кратчайшем расстояынн от тачки до надпространства в гильбертоаом пространстве Найти расстояние в гильбертовом пространстве от точки ь,1 и линейной оболочки векторов (х„..., х ). 1. Формализация: Это — гладкая выпуклая (даже квадратичная) задача без ограничений.
Решение ее см. в [АГТ, с.221[. Ответ выражается через определитель Грамма. 12. Неравеыство Адамара Пусть Х = (х'.),";, произвольная квадратная матрица порядка и. н Нмеет месдно неравенство: (десХ) < П, д1~ (~) ). д=! р(х',...,х") = десХ шсп; М[[ = 1 1 < у к и' ( ) Зто — гладкая задача математического программирования. Применение принципа Лагранжа приводит к цели (см. [ИТ, с. 444[).
13. Неравеыство Юнга Для выпуклого компакта А С Й" доказать неравенство Р(А) > д дд дддд ддддд, д Рддд — д д. Я(А! — д дЩ д. Проблема Юнга редуцируется к задаче на симплексах после решения следующей задачи (о чебышевском центре). 1. Формализация: (13) — выпуклая задача без ограничений, к которой пРименима теорема об очистке и это редуцирует задачу к симплициальной.
Симплициальную задачу тоже нетрудно решить методом Лагранжа, но проще— непосредственное решение (см. [ИТ, с. 431-434[). 288 п=2Л вЂ” 1, Л6!Ч 18. Задача о стрельбе 1. Формализация: т и(ы) — ш1п; ы Е Б". (15) 1. Формализация: та щэ .м Глава 6. Общая теория экстремальнмх задач 14. Неравенство Бляшке Для выпуклого компакта А С В" доказать неравенство г(А) > Д,Л(А), где г(А) — наибольший радиус вписанного шара, Л(А) ширина А,а Задача Бляшке редуцируется к задаче Юнга переходом к полярам. 15. Задача о центре тяжести Доказать, что через любую точку, лежащую внутри и-мерного тела, мозкно провести гиперплоскость так, чтоб эта точка оказалась центром тяжести сечении. !.
Формализация. Пусть заданная точка тела А — начало координат и Гг(ы), ы 6 Б" — объем пересечения тела А с полупространством, ограниченным гиперпяоскостью, перпендикулярной ю, проходящей через начало координат. Следует рассмотреть задачу Анализ ее приводит к Решению задачи (см. [АГТ, с. 229 — 230[). Задачи технического содержания 16. Задача Годдарда Как следует управлять ракетой, чтобы она в Фиксированный момент времени достигла заданной точки с заданной скоростью, израсходовав минимул~ топлива.
! . Формализация: ~н!Аà — ~ ппп; х = и+у, х(1,) = хп х(1,.) — е,. 1 — О ! (!6) (Формализация задачи проведена в [ГТ[.) Задача (16) — линейная по фазовым переменным. К ней применим метод двойственности. Подробности в книге [ГГ, с. 160-162[. 17. Задача о мягкой посадке Космический аппарат двилсется по прямолинейной траектории, перпендикулярной поверхности небесного тела. Требуется мягко посадить аппарат, затронув минимум топлива. ! . Формализация: йи гць — гл(Т) - шах; х = — — 7, пь= — и, сч х(0) =6~ > О, х(0) =6!, ш(0) юнге, %5.ПР б и й кр ° р - 289 х,(Т) = х(Т) = О, 0 < и < Ю (17) (По повалу формализации см.
[ГГ[.) Задача (17) относится к оптимальному управлению. Ее решение методом Лагранжа см. в [ГГ, с. 157-! 60[. ~у+ Л /!+ уадх- ппп; р(0) = О, р(х~) = р~ > -Л. о Эго — задача классического вариацнонного исчисления. Подробности ее решения см. в учебнике [А[. 19. Задача об оптимальном возбулщеинн осциллатора Найти оптимальный закон возбзокдения зкесткости осциллятора, «ри котором его энергия достигнет заданной величины за минимальное врглгя. 1. Формализация: Т вЂ” ппп; й+(! — ев)х = О, х(0) = хь, х(о) = у, х(Т)з + х(Т)з = 1, 0 < и < 1, 0 < с < 1. (19) Формализация задачи и ее подробное исследование см. в [ИТ, с.
435-439[. 20. Задача быстродействия со смешанным критерием [1 + гу(х)) д! -~ ш1п; о [х! < 1, х(0) = аь, х(0) = еь, х(Т) = х(Т) = О, е > О, (20) у — четная функция. Решение простейшей задачи о быстродействии (когда в (20) е = О) изложено в первой части (93 гл.4). В общем случае решение см. в [АГГ, с. 281[. Классические вера!мистик Точные неравенства всегда сввзаны с решением залач на экстремум, и потому они — замечательный полигон для общей теории. 1.
Формализация: ~я»уй пцп; чр" хй = 1. (21) ви! 1. Формализация: П,",х; — шах; ~х! = 1, (28) (22) х! > О. 1. Формализация: и айхй = 1, хй > О. й=! Пй, хйм — шах; (23) (24) (25) !о' Глана 6. Обимш тееряя экстремальных задач 21. Доказать неравенство Кошм: (~ , 'хйуй) < (2', хгт) (',! у!з). Это — гладкая задача математического программирования. Сушеспювание имеет место из-за принципа компактности. Применение принципа Лагранжа немедленно приводит к цели. В задачах 22-25 дело обстоит аналогично, н мы ограничиваемся лишь формализацией. 22.
Доказать и»равенство между средним арифметическим м средним и геометряческым: (П„",хй)'/и < и ' 2; хй, хй > О. й=! 1. Форе!агитация: (Решение этой задачи см. в [ИТ, с. 445, 446]). 23, Доказать обобщенное иеравеиспю между средним арнфметнческмм м средним геометрическим! П„",х„' < 2,' сййх», ай > О, й=! сйй = 1, хй > О. 1. Формализация: ~ а и!/и 24. Доказать неравенство для степенных Я,(х» = (2 ]хй]") й=! !' Е В! ври О < р < О < сю, Я,.(в) < Яр(х).
1. Отормалитацил: Я,(х) - шах; Яр(х) = 1. 25. Доквщть неравенстве дла средвых стевеивых а а,(х» = (2,' [хй['/и), ! Е й! врн О < р < 9 < оо, й=! !тр(х) < !те(х» 1. Формализация: а,(х) - шах; ар(х) = 1. Решение задачи см. в [АГТ[, задача 2.67. б 5.
Првлежевва общей теории к решению каикретыых задач 291 26. Доказать верааввстаа 1!мтьдера м Мищгоаскеге: и и !/р и,; !/р' а) 2и', хйуй < (~и хрй) (,'~ , 'уй ], хй, уй < О, 1 < р 6 со, -' +,—,', = 1. ° ! йи! !=! 6) (~ ,'(хй+ уй)Р) < (~ хгй) + (~ ,'Ггй) 27. Доказать обобщенное неравенство Гальдера: если Х вЂ” нормированное пространство, Р = Х' — сопряженное пространство н р() — непрерывная сублинейная функция, то (х у) < Р(х)/!ар(у) тх 6 Х у Е у (/гд — функция Минковского множества д, др — субдиффсренциал р).
Решение см. [МИ-Т, с. 101]. г хт 28. Доказать ыеравевство Винберга! „[ — тП < 4 х! гП. 1т т!.з 1 х тЪ ~]х] — — Н ] 41 — пнп; х(0) = О. 4 1 ) Решение см. в [АГГ, с. 278]. В следующей залаче рассмотрено обобщение этого неравенства. 29. Доказать обобщеыиое неравенство Харди: [ — И<( ) /Оли. ы ыи / (Г !à — (!:) )-*,)')и- и: *!!>=о. <а! 2. /7риицил Лагранлса приводит к уравнению Зйлсра л(]х]Р 'збпй)+ ( -!1 -! -!1р -! Ю ]х[Р 'эбпх =О.
,л) 3. ртсследаааиие. Ищем решение в виде х(1) = 1и, и получаем, что а = д=-'. р Основная формула Вейерштрасса приводит тогда к тождеству (опять- таки, доказываемому непосредственным интегрмрованием по частям) ~([О] — (Р— ) ~-~ ) = Ят,*(),— ий(1)) 41 > О, ыи ы где б — функция Всйерштрасса, подробнее см. [АГТ, с. 279]. 292 /(х()): = зпах Р(г,х()) пнп, зз!а,ь! (з) т т 1.
Формализация." (30) и (Йз) Из (зз) н (ззз) получаем тозшество (зс) Глава 6. Общая теория экстремальных задач 30. Доказать неравенство Вейля (нрининн веонределенвостмн (')- " - ° ,з Ы) < К(т) ~Ь х дЬ~х з1Ь, т=!й, !й+, К(!й)=А, К(!й)=2. х (1) дг — пнп; / (1 — 1)х (1) дг = 1. 2. Принцип Лагранхсо, примененный к данной изопериметрической задаче, приводит к уравнению Эйлера й+ Л(1 — 1')х = 0 и условию трансверсальности х(0) = О. 3.
Исследование. Уравнение Эйлера допускает решение уз(1) = Вх ехр(-А1'), А > О, которое принадлежит рассматриваемому классу и удовлетворяет условию трансверсэльности, что позволяет, базируясь на основной формуле Вейервтрасса, выписать следующее тождество: !гв ф — Ч ЧЗ!н=! (à — Ж! а=!Э,.! Гну о. И / .з з з .
ф(1) [ ° з р(1)/ Справедливость этого неравенства мгновенно получается интегрировани- ем по частям. Подставив теперь вместо х(1) выражение у( з ), приходим к неравенству уз(т)дт — а / уз(т)дт+а" / тзу (т)дт > 0 Ча, и применив условие неогрицательности квадратного трехчлена, приходим к нужному неравенству. Экстремальные свойства нолииомов 31. Доказать крвтернй Чебышева об альтернансе: для того, чтобы алгебраический полинам степени и был нолинпиом наименьшего уклонения (в равномерной метрике) сдля функции нгнргрывной на конечном отрезке, необходимо и достаточно, чтобы разность функции и нолинома нринимала, чередуя знаки, свои минииальныг и максимальные значения (одинаковыг яо модулю) в н + 2 точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
