Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Доквхвтодьство. Сушеспювание решения й() следует из принципа компактности. б 5. Прнлоззеиив обвзей теории к решению конкретных зада~ 293 1. Формализация. Положим л'(з,х(.)) = [у(1) — х(1)1, 1 Е [в, Ь[, х() б Р„. Задача формализуется так: (з) — выпуклая конечномерная задача без ограничений, Критерий минимума в ней— 2. Теорема Ферма: 0 б ду" (х()).
3. Исследование. Согласно теореме об очистке найдутся г < и + 2, точки а < т, « ... т, < Ь, неотрицательные числа а; в сумме равные единице и вектоРы У, б дРМ.1(т„х()) такие, что Р(тпй()) = злах [у(1) — й(1)[, 1 < з < г, ~~~ азу; = О (Н) м!кь! г=1 Но функция х() — г(тпх()) = [у(тз) — х(т;)[, очевидно, дифференцируема в точке й() и дг с!(тнх(')) =г (тз,х()), ( "(.,й()),*(.)) = — (у(;) — й(;))*(;). 1 а;зйп(у(тз) — х(тз))х(тз) = 0 Ъх(.) Е Р„. Если допустить, что г < и+ 2, то подставив в (зе) полинам 6,(1) = г П (1 — т,), получим, что а, = 0 лля всех з, что противоречит з=цззи тому, что их сумма равна единице. А при г = и + 2 подставим в (зе) полинам Лагранжа г,з(), принимаюший значение нуль во всех точках т;, кроме 3 = з, где он равен единице (1 < 3 < и+ 1), и получим аззйп(у(т;) — й(тз)) = -а„ьззйп(у(т„гз) — й(т„.гз))~;(т„~з). Но числа ~з(т„+з), как легко понять, альтернируют, т.е.
альтернируют и у(тг) — х(т). См. также [!ЫИ-Т, с.96[. 32. Полююмы, нрнмеиее уклоняюншеся от нуда в т, ([- 1, ц), р = 1,2,оо. Полинам 2лг('? = ун() й(), где ун(1) = 1", а й() — решение задачи 1[у () — х(')11з,<! цц! ппп; х(.) б Р„~ (32) называется ногинамом наименее уклоняющимся от нуля в бр([-1,1[).
Доказана следующие формулы: Глава б. Обвыл теория эвстремальвиех задач (С) Т„з(!) = !".,—,. (!з — 1)" (формула Родрига). Доказательство. Функция Т„() — многочлен степени и со старшим коэффиентом единица, имеющий и+ 1-альтернанс. По теореме Чебышева об альтернансе он наименее уклоняется от нуля. Остались случаи р = ! и 2. Решим их. 1. Формализация: ! «г„(х) — [ [!ь — ~~«хь!" '[ д! - ппп. ь=! (в) Это выпуклые (и гладкие даже при р = 1) задачи без ограничений. 2. Критерий решения — теорема Ферма: у„',(й) = о. 3. Исследование. При р = 1, дифференцируя,у„«() и приравнивая производную нулю, получаем, что х( ) является решением задачи тогда и только тогда, когда (вв') „(!" й(!))1в д! = О, О < !в < и — !. ! вбпТь«(!)!"д! = — 2 ' / вбпяп(и+ 1)гсов тз!пт«й = О, ь если 0 < й < и — 1, ибо разложение в ряд Фурье функции вбпяп(и+ 1)т начинается с «тяп(и+ 1)т в то время, как соз т яп т при О < й < и-1— ь ! тригонометрический полинам степени вв.
Соотношение (й ) доказано. Значит, Т„«(.) — полипом наименее уклоняющийся от нуля при р = 1. Аналогично при р = 2, дифференцируя функцию Дьз(.) получаем, что й( ) является решением задачи при р = 2 тогда и только тогда, когда Проверим, что Т„«(.) с одной стороны — полинам степени и со старшим коэффициентом, равным единице, а с другой, что он удовлетворяет соотношению (вв'). Полинам Т„«(.) равен, очевидно, папиному (и+ 1) Тль! (.), откуда вытекает первое утверждение, и кроме того, $5. Првлвжевия обшей теории к реимаеио кевкретвых задач 295 Очевидно, что полинам Т„з(.), построенный по формуле Родрига, является полиномом степени и со старшим коэффициентом, равным единице. Остается проверить лишь, что этот полинам удовлетворяет (вв«).
Лействительно, Т„~(!)!' д! = „ / †(!' — 1)"!' ! = с'„ / (!' — !)" †!' и = О У д!ь д!" лля О < й < и — 1. Итак, Т„з() — полинам наименее уклоняющийся от нуля при р = 2. ЗЗ. Решить задачу Чебышева об экстраполяции: доказать, что среди всех налинамов степени и, но норме в метрике С([ — 1,1[) нг превосходящих единицы, наибольшее значение в точке т > ! принимает полинам 9ебьииева Т„(!) = совиагссове, а наименьшее полинам (-1)Т„(.). 1.
Формализация (задачи минимизации): х(т) — ппп; [[х(.)[[с!! ! «О < 1, х() Е Р„, (33) Задача (33) относится к числу выпуклых экстремальных задач. Решение х() в ней существует в силу принципа компактности (ибо множество полиномов, ограниченных по норме Со — 1, !)) компактно в пространстве С([-1,1])). 2. Принцип Лазранхга. Применим к задаче (33) принцип Лагранжа (т.е, теорему Куна— Таккера; при этом условие Слейтера здесь выполнено).
Согласно этому принципу, найдется множитель Лагранжа Л > 0 такой, что соответствуюшая ему функция Е(х(),Л,1) = х(т) + Л шах [х()! достигает в х() «в1-«,«1 глобального минимума. Отсюда, из теоремы Ферма и формулы МороРокафеллера вытекает включение: О б Ыь<.1(й(-),Л, 1). (в) Применяя далее теорему об очистке н теорему Каратеодори из конечномерной выпуклой геометрии (согласно которой элемент конической оболочки множества из !к представим, как коническая оболочка не более, чем пв элементов этап! множества), заключаем, что существуют натуральное число 1 < т < и+ 1, г точек -1 < т! < тв « ... т, < 1 « и чисел (а! > О); „2,а! = 1 такие, что имеют место следуьюпвне «=! соотношения (подробнее см.
[МИ-Т, с. 103[)! (вви) (вв) ° =! (!" — й(!))!ь д! = О, О < й < и — !. — ! х(т) + Л ~~ о! вбп й(т!)х(т!) = 0 !Ух( ) б Р„, 296 Глава 6. Общая теория экстремальных задач $5, Приложения обшей теоуии к решению конкретных задач 297 (й() )х(т(И = 1 (1 = 1,..., г). Соотношение (й) назовем основным талсдествам. 3. Исследование. Пока:кем, что т = а + 1. Предположим, что т < а. Тогда подставив в (й) полинам хо(1) = П(1 — т.), приходим к противоречию с (11) (ибо хо(т) ф 0). Значит, гю г = а + 1 и решение совпадает либо с Т„(.), либо с -Т„( ).
34. Доказать неравенство Бернштейна: Двя любого тригонометрического налинама х(.) степени а имеет места неравенство ПхНПс(1-, 1> < аПх('И[с((-т,в>> Неравенство точное и достигается на функциях лз!п(а +7). Ввиду инвариантносги задачи относительно сдвига возможна такая 1.
Фармализаиия. 7о(х()) =х(0) — ппп; Л(х()) = тпах г((,х(.)) < 1, м(-тр> г'((,х(.)) = )х(!И, х() б 7„', где ҄— пространство тригонометрических полиномов степени а. 2. Приниин .//агранзга приводит к соотношению 0 Е д(Уо(й()) + ЛУ~(8())) 3. Исследование. Здесь мы фактически повторяем рассуждения предыдущего пункта. Применение теоремы об очистке к функции г'(1,х()) = [х(1И, х() Е Т„приводит к основному тождеству: Г й(0) + Л~~~ огзбпй(т„)х(тк) = О, >/х() 6 Т, ь=! где х(.) — экстремальный полинам, Л > О, оь > О, т < 2а+2, [х(тоИ = 1, ;> аь = 1. Аналогично тому, как это было проделано при исследовании задачи об экстраполяции, показывается, что т должно быть равно 2а и значит, экстремальный полинам у() =: х() имеет 2а различных точек, где он достигает своего максимума и минимума по модулю равных единице.
Значит, полиномы (у') и 1 — у степени 2а имеют одинаковые нули в числе 4а, откуда следует, что они пропорциональны. Коэффициент пропорциональности находится из приравнивания старших членов. В итоге приходим к уравнению уа = а'(1 — у'), решая которое нахолнм искомый полинам: х(1) = — з(па(, откуда немедленно следует неравенство Бернштейна. См. также [МИ-Т, с. 109).
Задачи о яерааеяствах для производных Пол неравенствами лля производных традиционно понимают мультипликативные неравенства вида Пх( >(И)ь,(т> < дЦх(И!гчт>П ( >НПр (где 0 < /с < а — целые, 1 < р,д,т < ос, а,/3 > О, Т = >и или >й. ), справедливые лля всех функций х() 6 Ьр(Т), у которых (а — 1)-ая производная локально абсолютно непрерывна на Т и х(">(.) Е Ь,(Т). Пространство таких функций будем обозначать через И/рг(Т) или просто И/"(Т), если р = т.
При фиксированном Т неравенство (1) зависит от пяти параметров: а, >г, р, д и т (величины а и /> однозначно ими определяются: о = >/,~~/~, >5 = 1 — а). Точную (т.е. наименьшую возможную) константу в этом неравенстве будем обозначать через Кт(а, >г, р, д, т). Рассматриваемая задача равносильна следующей: Пх ()Пс,(т> — пзах; Цх()Ц>,,(т> < 1, Цх(">(И[с (г> < 1. (Рть ...) Предлагаемые ниже зааачи 36 — 45 представляют собой весьма содержательные упражнения на применение принципа Лагранжа. Все они подробно разобраны в статье [МИ-Т1 ), а частично — в [МИ-Т[.
36. Доказать неравенство Э. Ландау: ПхПсч(а > < 2Пх( И), Цх( И)ь > (с этого неравенства началась вся проблематика). См. [МИ-Т, с. 124). 37. Доказать неравенство Харди — Литглвуда — Полна: Пхп, < Пхоп!/2 Пх( )П!/> Обобщение этой задачи см. в [МИ-Т1, с. 80). 38. Доказать иерааеиспю Харди — Литсявуда — Полив> ПхПг„(и,> < ъ/2Пх()Пь/(к >Пх()Ць/ „> Решение этой задачи содержится в книге [ХЛП, с.225-232), решение методом Лагранжа см. в [МИ-Т1, с. 90). 39. Решить задачу (Р~л,> з) (Надь, радушии). Решение см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
