Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда, если (х(.),й()) доставляет локальный минимум в пространстве С'([!о,(,],В") х С([!о,(,],В"), то в этой точке выполнен принцип Лагранзка, т. е. существуют мноэсители Лагранзка (р(),Лн..., Лы, Ло) ч С'([(о,з,],В") х В~+' не равные одновременно нулю и такие, что выполнено необходимое условие в задаче Бог ьца з"- = / Ь(1, х(!), х(!), ц(!)) дг+ !(х(!о) х(!1)) — пцп; !а м м Б=~ Лгьп 1=~ ,'Л31,=»- — Х.(!)+Х.(!)=О, !=о с=о Х„(!) =о, Х.(1;) = (-1)'Е.гь1, ' =о, !.
К этому надо присоединить условия дополняющей негкесткости и неотрицательности. Если концы свободны, надо к этим соотношениям добавить равенства нулю производных функции Лагранжа по й (ср. с и. б.2 гл. 3). Действительно, условия гладкости позволяют редуцировать эту задачу к задаче математического программирования, а условие слабой регулярности вытекает из регулярности отображения (х( ), и( )) х( ) — эз(эх(.), и( )) и леммы о замкнутости образа. Из слелствия 2 вытекают многие классические результаты, полученные на протяжении двух веков, например, необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления — уравнение Эйлера (впервые это уравнение было выведено Эйлером в 1728 году); необходимое условие в изопериметрической задаче; необходимое условие в задаче со старшими производными (уравнение Эйлера — Пуассона); необходимые условия в задачах с подвижными концами и многое другое (см.
Я2 — 5 гл. 3). Эти условия составляют основное содержание большинства учебников по вариационному исчислению. Все эти условия с помощью принципа Лагранжа выписываются автоматически и, как мы видели, единообразно выводятся, основьзваясь по сути дела лишь на теореме об обратной функции и трех леммах, представляющих собой бесконечномерные версии тривиальных фактов линейной алгебры. Вывод следствия 2 из следствия ! (а следовательно, и из гладко-выпуклого принципа) см. в первой части, а также в книгах АТФ и ГГ.
Принцип Лагранжа для ляпуиоаских задач и линейных задач оптимального управления Пусть гз — проме:куток числовой прямой (конечный или бесконечный), У вЂ” некоторое топологическое пространство, У,: зЛ х б' — В, О < з < гп — непрерывные функции, Х вЂ” линейное пространство, йр Х вЂ” В, 0 < з < гп — выпуклые функции А — выпуклое множество И вЂ” совокупность измеримых отображений из зЛ в И*. Мы будем изучать здесь ляпуновские задачи вида: Уо(и( )) -1- йо(х) = / Уо(1, и(!)) д! + йо(х) щ!и; Ь У;(и()) +йг(х) = / У (1,ц(!)) д4+Гй(х) < О, 1 < з < пз.
(рз) д Для того, чтобы можно было бы воспользоватьсл гладко-выпуклым принципом Лагранжа достаточно показать, что отображение (в(.),х) - го(и(-) +до(х)),...,У' (и(.) +ум(х)) (ц(.) б И, х б А) является выпуклым множеством в Й '. А для этого достаточно доказать выпуклость только лишь интегральной части этого отображения. Вот именно здесь подтвердится один из наших основных тезисов, о котором ' Об нзмвонмостн озобрввмнна нз гг в ГГ см.
в Атаз, пп. 4.3.б н 4.3.3. Глава 6. Общая теория зкстремалыи!х задач говорилось во введении: интегрирование пороясдагт выпуклость. Зтст тезис опирается на следующий результат. Ъорема (Ляпунова). Есш р! Д -+ К", р(.) = (р!(-),,рь()) интегрируемая вектор-функция. гно множество М = (х б К" ~ х =,/ р(1) АГ, Ж б Е), где К вЂ” совокупность пайиножеств гь измеримих по Лебегу, является выпуклым квмнактаи. Доказательство этой теоремы см.
в АТФ, и. 4.3. 2, Докажем теперь нужную выпуклость. Пусть с! = ((е «..,~ы!) и Рь(иг( )) = сь, 1 = О 1, О < й < ш. Положив рь(1) = уь(й,вь(1)) — уь(1,о'(1)), Ф б гь, О,.б й < пь,.найдем по теопеме ляпунова множество А такое, что )«рь(1)ю= а(сьь — сь!). «« И Оащетея СдЕЛатЬ «МИКСь И„( ) даук унраапсинй, Ицапжна иь(1) РаВНЫМ ое(8), если 1 б А„и. и!(1) .в остальных случаялг: и мы получаем, что ,г(в ( )) = гг~"'+(1-а)С !, что и требовалось.
Применив гладко-выпуклый ппинцип, получаем Следствие 3 (принцип Ла!вяюав для шдачи Ляаувош) (й(),х) — решение задачи (Рз), пю найдутсн множипыли,Лагранжа Л = (Л!,...,Л„) и число Ла,'а'О 'не равные одновременно акулю' и такие, что выполнены условия нватрицатгльности, датмняющей нехгесткости и принцип минимума: пйп ~~» Лбу!(х) = ~", Лгу!(А), ! в в=е пйп ( ,'» ~Л<Д(Ф,и(1)) АГ= / ~!,~~~,Лел(1зй(1)) д1. «1.»еи у ° ь ге з е !«е К задаче (Рз) Релуцирустся задача оптимального управления линейная по фазовым координатам.
Сформулируем'.эту задачу. Пусп Ь = (гь,г!) — фиксированный отрезок числовой прямой, е;(.) б Х!(Ь,К")„О < в' < и и А(): Ь - Ь(К",К«) — интегрируемая ма. трнчная функция 1à — топологическое пространство, у!. Ь х гг К О < з < и! и Р: Ь х Гу К" — непрерывные функции н отображение Уы, Ун, О < 1 < га — элементы К", с;, 1 < гп — числа. Рассмотриь задачу ' ,у (х( ),и()) = / (ае(1)х(1))+ уь(гв(1)) Аг+( уеьх(гь))+(7!гх(1!))-«гп!и; а й= А(1)х+Р(1,о(Ф)), и(1) б ГУ, 5 1. Принцип Лтраижа длв иеебхедиммх условий экстремума 263 у!(х(),о()) = / (а!(1),х(Ф))+ Д!(1,и(1)) !й+ а + (уеэх(ЙО)) + (Тн~х(1!)) (~ сэ 1 4 з (~ гп.
(Р«) Ее и называют задачей оптимального управления линейной по фазовым координатам. Пусть рг() — решение сопряженной системы р; = — А (1)р+ щ(1) с краевым условием р!(1!) = — Ун, О < 1 < гп. Если положить б!(1, и) = уг(1, и) — Р'(1, о)рг(1), А = уы — рг(Ц), то, как нетРУдно понЯть, задача (Рз) РедУциРУетсЯ к задаче Уь(и(.),С) = /Сь(1,о(1)) А1+(Дь,й - шш; !(и(.),С) = / Сг(г,и(Ь)) !й+ (А 6 < с;, 1 <1 < ш. (Р«!) а Изследсшия 3 ив!такает Следствйе 4 1врввиип Лагранжа для лявейиых задйч). Если пара (й(.), 4( )) — решение задачи (Р«), найдутся множители Яагранхга (Л!); 'ь, не разные едневргменно нулю, неотрицательные, удавветворлющие условию детьнтющей нежесткасти и принципу минимума гшп ьп г',Л«М1*в) = ,'> , 'Л!б! (1, О(1)) почти всюду.
Привили Лшравжа ллв задач оптимального управления Принцип Лагранжа ияя задач оптимального управления в понтрягннской форме также выводится нз гладкгь'Вмпуклого принципа, но мы не:.будем этого делать. огпаннчившись лишь фоРмулиРовкой самого Результата. Сгщлствве б (Пришвин.Лаграшва в еппячальвом управлении). Пусть в задвчв минимального управления в поитрягинекой ферме, й = гн 1 О, 1— ф!гкеир1юаны, функции Ц непрерывно диффервнццруемы, а функции г.! и омсбр«цагине !р непрерывны и непрерывно дифференцируемы па и. Тегда, если (й( ), Й( )) доставляет сильный минимум в задаче, то вынсннгп принцип банни!хга, т. е,,существуи!т мнажюпгли Лагранжа ;р(),Л„...,Л„,Ле) б С'([1ь18!),К") х К"" не рясные одновременно пулю и такие, что выполнена пеоохаоимое условие в жн»аче Больна по х «( Ю = 31 г (1,х(Ф),й(1),и(Ф)) !й+1(х(гь),х(г!)) гшп; Глава 6.
Общая теория экстремальных задач б 2. Возмущения экстремаяьных задач 2б5 3 2,=2 л,то 1=~~ 'л;1, ~ — — Х,(!)+Х,(!) =О, сМ !=э =с принцип минимума по и гп1п А (1, х(!), хс(1), н) = Х(!) еи и условия трансверсальчасти: Х,((,) =- (-1)'!»сс >, з = О, 1. Если концы свободны, надо к этом соотношениям добавить равенства нулю праизводпыл функции Лаграплса по 1;. В Э! гл.б было приведено элементарное доказательство принципа максимума. Замечание. Применимость принципа Лагранжа к задачам оптимального управления также может быть основано на возможности микса управлений с использованием параметрической теории об обратном отображении.
Подведем итог: все необходимые условия экстремума во всех рассмотренных случаях соответствуют принципу Лагранжа. ф 2. Возмущения экстремальных задач Следует сравнивать динамически возможные движения, варьируя крайние положения системы. Одной из центральных идей теории экстремума является мысль, выраженная Гамильтоном: следует рассматривать не одну задачу, а семейства задач, включающую данную. Краткому обсуждению этой идеи посвящен данный параграф'. 2,1.
Возму!пенна в математическом программировании Задачу у(х) — пнп; х Е С можно записать, как задачу без ограничений Х(х) пнп; (Р) ' Конпепиия возмущения экстремальных задач тесно связана с достаточными условиями экстремума, динамическим протраммироыниеы, теорией Ганильтона — Якоби н симплектической пюмссрией. Всему этому кругу вопросов прсдполасаесся посввппь отдельную публикэиню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
