Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 37
Текст из файла (страница 37)
!огс)и т сгогтивсягсп ссиоыи .сока си, й ииксмпм ! г -' ч!осспсп Р) [чТсй, с. > 7[ 1.4.7..1осэаточные >славия сильного экстречэма Теорема 4. 1>>ссссо фэикиия .г б С ([Со, Сс [. й") — с>опус сличая >клире иаль в юс>анг (Р). иитгграисп 1, О Сэ(У х й"), где У О й" ' ' — яекотссрая сск>ссгтиогят графика 1',, иа д выиотгиы >сап иныг условия Лгжсснс>ра и Якоби, июягграят 1. является выссуклыэс яо х ии 1'. Тогда з' доставляет си сысыи сокссльяснй мтсцн>.я (й б чс!оспин Р). Доказагельсгно.
Ус.юния теоремы позволяют (см. и. !.4.5) окру. мить х эсснгральссыч полем эксэремалей х1, Л), покрывающим некоэорую окрестносэс, С> О Г графика 1', Пусть х б РС~([Со, Сссээ прои эпозьпая допустиэюя фуэскпия, график 1', которой расла.сс»кеп в энэи окрссэности. Тогла по формуле (2) и. !.4.5 1( г) — — / Ь(С) дС = ~дВ(С, х(С)) = В(г их,) —. В(го, х ) = ~ дя(С, х(С)) ь с, Слсдопсп ельца, по формуле (! с и. ! 45 с, 1( ) — 1(*) = (1 Е (С, (С), (С)) АС вЂ” ~ АВ (С, (С)) = / ')Ь(С х(С). х(С)) — Ь(С, х(С)си(С, х(С))) — Ь (эС, х(С), и(С, х(С))) х с '.
(х(С) — и(С,х(С)))) дг = / Е(С,х(С),и(С,х(С)),х(С)) сй. с„ Эту формулу называют оссювиой фор.я>.сей Вессерссссссрасса. Из выпуклостэ' иптеграэпа следует (см. и. !.3), чэо если (С, х) б В. то В(С. х, и, х) > О азя любых !и, х) Е Йх х й" '1гьич образом. ) Е [С, х(С), и(С, х(С)), х(С)) сСС л О и. значит. 1!гс Сс с ! э с д лоссовляст си эьпып чпничэч я й ! Простейшая залача вариациоииого исчисления 235 1.4.8. Квадратичный функционал Вьшелнч случай квадратичных функционалов для вектор-функций х( ) = (х, ( >,, х„! ) ), который исследован до конца.
рассмотрим задачу 1(х(.)) = /((Ах,х) + 2(Сх,х) -э- (Вх,х)) АС щП х(Со) = хо х(Сс) = х» где А(С), В(С), С(С) — матрицы порялка и х и, на слабый и сильный минимум. Теорема 5. Л>ссссо в задаче (Р') матрицы А и С непрерывно диффереицир>емм, а В непрерывна; выполнено усиленное условие Лежандра (А(С) > О э> С б [Со, Сс [ — поло>кительно опРеделена). Тогда, если выполнено усияениое условие Якоби, то допустимая зкстремаяь существует, единствеяяа и доставляет абсолютный минимум. Если же не выполнено условие Якоби, т. е. в интервияе (Со, Сс) есть сопряженная точка, сно значение задави ровно — со (В,ымс„— — — оо) Заметим, что по лемме о скруглении углов абсолютный минимум и сильныи, и слабый совпадают, Доказательство. Отметим вначале, что для квадратичных функционалов имеет место равенство 1(х + Л) = 1(х) -э- 1"(х)[Л[ + -1"(ф)[Л, Л[.
2 Если х — допустимая экстремаль в задаче, то 1'(х)[Л[ = О эу Л Е Со!([Со, С,[) (это соотношение эквивалентно уравнению Эйлера). По! скояьку лля квадратичных функционалов — 1 (х)[Л Л[ = 1(Л), то на экс- 2 тремали й выполняется соотношение 1(х+ Л) = 1(х) + 1(Л) эу Л 6 Со([Со, Сс]).
(о) Прслположим выполнено усиленное условие Якоби. Обозначим Н(С, т)— матричное решение уравнения Эйлера (совпадаюшего для квадратичной задачи с уравнением Якоби), удовлетворяющее условиям Н(т, т) = О, Н(т, т) = 1. Из усиленного условия Якоби вытекает, что матрицы Н(С, Со) и Н(С, Сс) невырождены для С 6 (Со, С, ) и [Со, С, ) соответственно. Положим Но(С) = Н(С, Сэ)Н (Со, Сэ), Нэ(С) = Н(С, Со)Н (Сэ, Со) Тогда Н,(С ) = бн1 (бн — символ Кронекера), 1,> = О, 1, и, значит, х(С) = Но(С)хо + Н,(С)х, — допустимая экстремаль в задаче (Р'). Эта 236 Глава 5. Условия второго порядка в варнашншдом начислении зкстремаль единственна, поскольку если бы й(.) была бы лругой допустимой экстремалью, то у = е — У было бы нетривиальным решением уравнения Якоби с условиями у($о) = у(1,) = О, а это противоречит усиленному условию Якоби.
Поскольку уравнение Эйлера для квадратичного функционала является однородным уравнением, то функция Ь = О будет экстремалью. Окружим ее центральным полем экстремалей. Семейство функций Ь(, Л) = Н(, г,)Л, гле г, < ао настолько близко к го, что матрица Н(1,Г,) невырождена при го < ! < 8,, покрывает всю полосу Го < ! < Во Кроме того й(т, Л) = ( ео Н(т,а,)Л = ( оо Л = Л(т,Х) = Н (т,г,)Г Е С . Функция наклона поля и(т,Г) = Хаь(Г,Л(т,о))( = Н(т,г,)Л(т,0 = Н(т,Е,)Н '(т,!.)Х.
Для функции Ь б Со([го, г~[) по основной формуле Вейерштрасса 1(я + Ь) — 1(У) = 1(й) = 1(ь) — 1(ь = О) = а) (Х(Е,Ь, Ь) — Ь(!,Ь, и(Е,Ь)) — (Ь„(Е, Ь,и(Е, Ь)), 6 — и(Ф, Ь))) А! = (для квадратичной функции Х(Ь) — Х(и)-Х'(и)(Ь вЂ” и)=( Х«(и)(й — и), (Ь вЂ” и)) ) = ~ ( -х,л„(!, ь, (!, ь)) (ь — (!, ь)), ь — (г, ь)) и > О, ибо аХ,„а(!) = А(!) > О (положительно определенная матрица) по усиленному условию Лежандра. Значит, е б аЬзш!и Р'. Предположим, что не выполнено условие Якоби. Тогда функция Ь = О !Х аЬяп!пР" не доставляет абсолютный минимум в задаче Х(й(.)) = / ((Аь,ь) +2(СГа,ь) +(Вй,ь)) Ж- !пГ; а» ь(Г,) = ь(а,) =О (Р") (по теореме о необходимых условиях слабого минимума, если Ь = О Е аЬоппп(Р«), то выполнено условие Якоби).
Значит, о,м„,„р < О. Поэтому существует функция Ь б Со([1«, 1~]) такая, что Х(ь) < О. Но тогда 1(й+ Лй) = 1(е) + Х(ЛРа) = 1(У) + Лз1(ь) — — со при Л +оо, т.е. сам«»»г' = оо. н $ !. Простейшая задача варнанненнеге исчисления 237 1.5. Правило решения Для решения простейшей задачи классического вариационного исчисления с использованием необходимых и достаточных условий экстремума слелует: !. Найти допустимые экстремали, т.е.
допустимые функции, удовлетворяющие необходимым условиям экстремума ! порядка, Для этого нало а) Выписать необходимое условие экстремума ! порядка — уравнение Эйлера: Ь) Найти решения этого уравнения (они называются «зкстремалями»). с) Найти решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие заданным условиям на концах (они называются «допустнмыми экстремалями»). 2. Проверка необходимых и достаточных условий экстремума П порядка. а) Проверить выполнение условия Лежандра: Если Х„(!) > О аа ! Е [Го, Са] (выполнено условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) минимума. Если Хш(!) < О У ! Е [Фо, й,] (выполнено условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) максимума.
Если же величина Хз,(!) знакопеременна на отрезке [ао, !а] (не выполнено условие Лежандра), то значит, не выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) экстремума. В этом случае найденная допустимая экстремаль не доставляет слабого, и тем более, сильного экстремума. Если Хе,(!) > О» ! б [го, йа] или Х,»(!) < О т Х б [Го, Г,] (выполнено усиленное условие Лежандра), то значит, выполнено необходимое условие слабого н сильного минимума, соответственно максимума.
В этом случае переходим к исследованию условия Якоби. Ь) Проверить вьаполнение условия Якоби: Ь|) Выписать интегрант квалратичного функционала Х(т, ь, Ь) = Х,.(!)ь'(!) + 2Х.е(!)Ь(1)ь(!) + Х,.(!)Ьа(1). Ьа) Выписать уравнение Якоби на зкстремали й, т.е. уравнение Эйлера лля интегранта Х(1,Ь,Ь): 238 Глава 5. волевая второго порядка в вариаяиоиаом исчислении л — — й +йл=О. оЕ и решить его с начальными данными Ь(ЕО) = О, Ь(ЕО) = 1'. Ьу) Найти сопряженные точки т, т.е.
нули найленного решения Ь(Е) уравнения Якоби при Е > Ео. Ья) Проверить выполнение условия Якоби: Если в интервале (Ео, Е~) нет точек, сопряженных с Ео (выполнено условие Якоби), то значит, выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, н сильнога) экстремума. Если же в интервале (Ео, Е~) есть сопряженные точки (не выполнено условие Якоби), то значит, не выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) экстремума. В этом случае найденная допустимая зкстремаль не доставляет слабого, и тем более, сильного экстремума. Если в полуинтервале (Ео, Е~ ] нет точек, сопряженных с Ео (выполнена усиленное условие Якоби), то значит, выполнено достаточное условие слабого экстремума.
Следовательно (напомним, что уже выполнено усиленное условие Лежандра), нарщенная экстремаль доставляет слабый локальный минимум (если йяя(Е) > 0 ч' Е Е [Ео, Е~]) или максимум (еслн йт*(Е) < 0 т Е б!Ео Е~!) Проверка на сильный экстремум. с) Если ннтегрант й является выпуклым по х при всех фиксированных Е и х, рассматриваемых в качестве параметра, то х доставляет сильный минимум в задаче.
Аналогично„если интегрант й является вогнутым по й, та х доставляет сильный максимум в задаче. д) Если интегрант й не является ни выпуклым, ни вогнутым, то следует проверить выполнение необходимого условия сильного экстремума — условия Вейерштрасса: С(Е, х, х, и) = й(Е, й, и) — й(Е, х, х) — йя(Е)(и — х) > 0 У и Е К, 'Ф Е Е [Ео, Е~] в задаче на минимум (С < 0 в задаче на максимум). Если не выполнено условие Вейерштрасса, то в этом случае нарщенная допустимая экстремаль не доставляет сильного экстремума. 'для шкшр фуикииа к() = (л1! ),...,я„()) ишвтся фуишмяитвльивя оистсмя Ря/л](е) ..
л",(1)~ шкиля урявияиия Якоби — мвтриия Н(1) = (Л'(Е) .. Л (О) = ~ ) ~ л„г!Е) ... л".(Е)) с ивчяльиыми условиями Н(гя) = О (иулвввя мятриив). Н(го) = Е (елииичивя мятринв) / л;! ) ] б ~нй ) и О. покер.ьчолбиы л'() =, — Решения системы урввияиив '(, л'.'Н,Е' Якоби.
Соиряивиимми точками булуг точки т — нули урввивиия дв! и!т.) = О. $1. Простейшая задача вариаяиоааого исчисления 239 1.б. Примеры Пример й Исследуем с помошью условий второго порядка задачу, рассмотренную нами в п. 1.2: л(х()) = / х иŠ— 1пГ; х(0) = О, х(1) = 1, о Мы выяснили ранее, что имеется единственная допустимая экстремаль х = Е, доставляюшая слабый локальный минимум в задаче и не доставляюшая сильного. При этом нами была построена последовательность допустимых (в задаче на сильный экстремум) функций х„б РС'([Ео, Е ~ ]), х„() — У() в С([Его Е,])„для которой й(х„()) — -со прн п — оз. Поскольку йы(Е) = бх(Е) = б > 0 т Е Е [О, 1]„то выполняется усиленное условие Лежандра. Выпишем уравнение Якоби, которое является уравнением Эйлера по Ь вЂ” — й (Е)+й,(Е) =О ОЕ для интегранта й = йя Ь~+ 2й ЬЬ+ йявл~ = бйз: и — — 12Ь=О е=р Ь=О.
тЕЕ Общее решение уравнения Якоби: Ь = С,Е + Сз. Начальным условиям Ь(0) = О, Ь(0) = 1, удовлетворяет функция Ь(Е) = Е. Эта функция не имеет нулей в полуинтервале (0,.1]. Значит, сопряженных точек нет, и стало быть выполнено усиленное условие Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
