Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Из произволь- ~~ Е ной точки йг кривой опустим С перпендикуляр на ось АВ и и из заданной точки С проведем прямую, параллельную касательной к кривой в точ- Н ке лГ. Эта прямал пересе- 1 чет ось АВ в точке Р. То- гда если имеет место пропорРис. 8. ция — = — »г, то темя сР1 сл «лг вР ' ло получающееся вращением кривой О7УЕС около оси АВ, будет испытывать наименьшее сопротивление в вышеупомянутой редкой среде среди других тел такой же длины и ширины. Ньютон не дал объяснения тому, как он пришел к этому результату. Опубликованные в наше время материалы Ньютона показывают, что он владел элементами многих конструкций, которые потом были использованы при создании вариационного исчисления.
Но, как будет видно в дальнейшем, задача Ньютона относится даже собственно не к вариационному исчислению, а к оптимальному управлению, теория которого начала разрабатываться только в середине этого века. Сопротивление движущегося тела зависит от законов сопротивления среды.
Ньютон представлял себе среду состоящей из неподвижных частиц фиксированной массы гп, являющихся абсолютно упругими шарами. Мы также будем придерживаться этого предположения. $ 3. Избранные зааачи оптимального управления 205 Пусть тело вращения вокруг оси х движется в направлении, обратном оси х в описанной выше среде со скоростью е.
Элемент дг на оси г при вращении вокруг Ох описывает кольцо Ап. Этому кольцу соответствует пояс АЕ на теле вращения. За время ги этот пояс «вытеснит» объем ог' = 2ягй е~й, где 2ягАг — площадь Агг. При этом слой столкнется с 79 = ддг = д~2ягдгео» частицами, где р — плотность среды.
Предположим, что участок Аа наклонен к оси г под углом г». Тогда одна частица, ударившись о слой получит приращение импульса, равное т(6з — 6,) = — 2тессжу й, (е~! = )Щ = е, й — единичный вектор нормали к АЕ. По третьему закону Ньютона, тело получит приращение импульса 2»па соя у»й. За время Ж таких приращений будет йГ, а так как в силу симметрии компоненты й, вектора — й, т.е.
ортогональные оси вращения, сократятся, то суммарное приращение импульса будет направлено вдоль оси х и модуль его будет равен 2ря «'е Аг Л 2 2 2 7У2тесозЗ»соху= 2тисоа р=4ряе гсоа уй Ж. В силу второго закона Ньютона зто при~ашение равно АРФ, следовательно АР = 4г»хе~гсоа~з»Аг, где 7» = 4ри я. Просуммировав АР по всем поясам АЕ (т.е. по всем элементам Аг), получим ( Р» 2 ~ »г 2 ( )2 Т,(С,и) = — з Р" Рис. 10.
(, йт(,))' 1 + йт(т) (2) Функция Лагранжа Лог ЛС Глава 4. Задачи оптимального управления Таким образом, заменив т на С и СС на То, получаем экстремальнук, задачу: го Сйг т1п; х(0) = О, х(То) = с. 1 + хт о Очевидно, что нижняя грань интеграла равна О. Действительна -,— 4 > 0 при С б (О, То), и выбрав ломаную х(С) так, чтобы !х(С)( бьщ очень большим, получим сколь угодно малый интеграл. Получается противоречие, т.е. чем более зазубрен профиль на теле, тем меньше сопротивление. Дело в там, что в формализации неявно использовалась монотонность профиля, так как только в этом случае частица сталкивается с телом один раз.
Таким образом к условию задачи нужно добавить требование х > О. Форма тела вращения задается функцией х(С) такой, что х(0) = О, х(То) = б (С вЂ” заданное число). Для тога, чтобы столкновение частицы срелы учитывать только один раз, налагаем условие в > О. Формализованно задача оптимального управления выписывается следующим образам: Сйг пнп' х = а, в > О, х(0) = О, х(Т) — ( 1+ из о Л = ( з + Р(х — в)) йС + Л~х(0) + Лтх(То). Г ЛС о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера: — р = 0 (оо р = солса); Ь) трансверсальность по х: р(0) = Лн р(То) = — Лтт с) оптимальность по и; д) неатрицательностгл Ло > О.
Если Ло = О, то р ~ 0 (если р = О, та из Ь) следует, что Л~ = Лт = 0— все множители Лагранжа — нули). Минимум в соотношении с) конечен только, если р < О, при этом й = О, т.е. й = О. Из условия х(0) = 0 вытекает, что й = О, тогда с = О. Пусть Ло Р О. Положим Ло — — 1. Тогда лля достижения минимума в с) необходимо, чтобы р < 0 (если р > О, то функция Ь(С, а): = — ри ! + ит 5 3.
Избраияме задачи оптамальиоти управленвя монотонно убывает с возрастанием и и не достигает минимума). Если й(С) > О, то Т„= О. И из с) управление й(С) должно находиться из уравнения Момент излома управления т характеризуется уравнениями (второе уравнение в (2) .й(т — 0,0) = 4 (т,й(т)) — условие совпадения минимумов в точке т). Подставив р из первого уравнения соотношения (2) во второе, находим, что йт(т) = 1. Отсюда й(т) = 1 (нбо й > 0), и тогда снова из первого уравнения (2) получаем равенство т = -2р. После излома оптимальное решение удовлетворяет соотношению (1), нз которого следует, что С =--( — +ги+а)1. р((11+ тот)з р г 1 2и 2 а йх йх Юх йС йС р г 1 Но — = и ~ — = — — = в — = — — ( — — + 2в + Зв ) .
Интетрируя зй йС Йи йС йа йи 2 в это соотношение с учетом равенства й(т) = О, й(т) = 1, получаем параметрические уравнения искомой оптимальной кривой: й РС'1 + т+ 4)+ р С вЂ” — ( — +2и+и), Р<0. Константа р определяется из начального условия х(То) = с.
Эту кривую называют кривой Нмолгояа. 209 208 — рх(1) > — рх(1). 1+ хз(1) ВР ВС = 18 х = х(1) ~ ВР = тх, СР = ВС + ВР = (х + 1)т . функция Лагранжа: р| Т~»г + «'»! = 0 с) оптимальность по и Глава 4. Задачи вппомальиого управления Покажем, что х доставляет абсолютный минимум в задаче. В сиз оптимальности по и для любой допустимой функции х Е РС'((О, Той х(0) = О, х(7о) = », т. т, Интегрируя зто соотношение и учитывая, что 1 х(1) ~И = ) б(1) Ж = 4, о о и т, получаем ( —,'— .'з > ) — т. Значит, й Е аЬопнп, о о н а !.~о Сопоставим полученное решение с решением, полученным Ньюто- ном.
Обозначим МйГ = 1, ВМ = х, ВС = т, угол ВСР = 1о. Тогда из построения Ньютона имеем Таким образом, нз пропорции Ньютона М1«' СРз 3(хз + 1)ЗР х1 СР 4ВРВСз (хт+ 1)Ьпт 4тхтз (хо+ 1)г 4 Но это — не что иное, как соотношение (1), в которое подставлено значение ро = — -'. Отметим еще, что «затупленность» кривой и условие 2' на скачок в точке С = т (угол там равен 135') были по существу прелусмотрены Ньютоном в его «Поучении» об усеченном конусе. б 3. Избранные зааачи оптимальиогв управления З.З. Примеры задач оптимального управления Пример 1.
х 41 — елгг; 1х( ( 2, х(О) = х(0) = х(2) = О. о Решение. Эту задачу можно свести к задаче оптимального управления, вводя вместо функции х вектор-функцию (хцхз) и управление и и обозначения: х, = х, хз = х, и = х. Тогда наша задача сведется к задаче оптимального управления: х~<П вЂ” ехгг; х, =хм хз =и, о и Е ( — 2, 2), х~(0) = х,(0) = хз(2) = О.
Л = / (Лох ) + р1(1)(х, — хз) + рт(1)(хз — и)) оп+ Л~ х~(0) + Лзхт(0) + Лзхз(2). о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана Х = Лох~ + р1(1)к (х~ — хз) + рз(1)(хг — и) +Л,=О. ~р(1)=Ло1+С, | — р, = О ( р (1) = — Л вЂ” — Ст+ С; Ь) трансверсальность по х для терминанта 1 = Л~х1(0) + Лзхз(0) + Лзхз(2) б«,(0) =1*,1о1, Т»з(2) = — 1»йз1 4=:» р~(0) = Ли р|(2) =О, Ео,(0) = 1„1о1, ХМ(2) = — 1«,(з) с=» рг(0) = Лн рг(2) = — Лз,' ( 2ъпуп рз(1), рз(1) Ф О, ~о1-~ ~1( Р ) ) любое из [ — 2, 2), р~(1) = 0; д) неотрицательность Ло > 0 в задаче на минимум, Ло < 0 в задаче на максимум.
210 211 1 — 2, О<1<т, (2, т <1<2 1 — 21+Си О<1< -, ), 21 + Съ т < 1 < 2. имеем 3 2 Л 1 — 2$, 0<8<~, !2Ф вЂ” 4, т <1~<2. Таким образом, У б аЬятпп. Прн зтом 3 2 -12+С3, О <1<1, 1~ — 41 + Сз, 1 < 1 < 2. =( -' — 12, 0<1<1, 1~ — 41 + 2, 1 < 1 < 2. =( -' Глава 4. Задачи оптималыюго управления Если Ле — — О, то из а) следует, что р, = С и из Ь) р3 = О.
Поэтому нз а) рз = С' р' О, иначе все множители Лагранжа оказались бы нулями. Значат нз с) й = 2 илн й = — 2, т.е. и = 2 илн У = — 2, откуда х = 1~ + д 1+ д з 2 нли я = — 1 + В31+ Вз. В обоих случаях не существует функции такого вида, удовлетворяющей условиям на концах я(0) = й(0) = й(2) = О, Полагаем Ла — — 1 в задаче на минимум. Тогда из а) р3(1) = !+С и изЬ) р3(1) = 1 — 2, далее из а) следует, что рз(1) = — 1':-1- + С". Получили, что рз(1) — парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной на оси 1 = 2, следовательно, рз(1) или не меняет свой знак на отрезке (О, 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
