Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Таким образом, СГ(Ь) = О, а это означает, что Ь Е зи1осглт Р«(наряду с функцией Ь = О). Проводя рассуждения, аналогичные проведенным в теореме 1, получим, что найдется функция. р Е РС~([Се, С2]) такая, по для лагранжиана квадратичной задачи Х(СЬЬ) = Х«» Ь~+2Х«ЬЬ+Х Ьз на экстремалн Ь выполняется уравнение р(С) = ХЛ(С, Ь(С), Ь»(С)) ь й(С) = 2(Хлл(С)Ь»(С) + Хл,(С)Ь(С)). Поскольку Ь(С) = 0 при С > т, то р(т+ 0) = 0 н в силу непрерывности функции р 0 га(т 0) — 2Ха'(т)Ь(т 0) 2Ха'(т)Ь(т) 0 откуда Ь(т) = 0 (ибо й (т) Ф 0 нз-за усиленного условия Лежандра). Мы пришли к противоречию с условием Ь(т) Ф О. Таким образом, предположение противного неверно и условие Якоби выполнено. ° супимеп.
1(хН) = ] (х~ — х~) ас (гармонический осциллятор). Йо Уравнение Эйлера х + х = О. Экстремали этого функционала имеют вид х(С) = С~ ипС+ Сзсозг. Совокупность экстремалей х(С,Л) = Лз1пС есть центральное поле экстремалей с центром в точке (О,О), включакицее, в частности, экстремаль х(С)»вЂ” в О,: покрывающее полосу 0 < С < я. Функция нагглона поля и(тД), О < т < я, вычисляется следующим образоья надо взять экстремаль поля, проходящую через точку (т,О (т.е.
(,,„Ч, ), и вычислить производную этой экстремали по С в точке г. Таким образом, и(т,() = Ссгйт. Отметим геометрический смысл сопряженной точки. Сопряженная точка — это точка пересечения «бесконечно близкихэ экстремалей. Если рассмотреть центральное поле экстремалей х(,Л), удовлетворяющее условиям х(С„Л) = й(С„), х(С„,Л) = х(С,)+ Л, то сопряженные точки— это точки пересечения экстремали с огибающей 'этого семейства. Иначе говоря, надо решить уравнение х»(С,Л) = О. В приведенном выше примере сопряженные точки: ть = Ья, Ь = 1, 2,....
230 Глава 5. ЗЬловня второго порядка в варнационпам исчислении Построение центрального пола экстремалей Теорема. Пусть Х б С ([гь, 1,[, К") — данустимал зкстремаль в задаче (Р) (х б Е(Р)), интегрант Е трилгды ненргрывна диффергниируем в некоторой окрестности расширеннага графика Гьь (Х б С (О(Г,ь))), выналнены усиленные условия Лехсандра и Якоби. Тогда й манена акругкить центральным полем зкктремалере Яоквавтвльотво. Распишем уравнение Эйлера д — — Еь«, х, х) + Е,«, х, х) = О ~ Е„«,х,х)У+ В.«,х,х)в+Ты«х,х) — Г,«,х,х) = О. Так как выполнено усиленное условие Лежандра, т.е.
неравенство Хьь«) > О ч 1 б [гь,г,[, то в силу непрерывности функции Гь (напомним, что Е б С ) найдется такое У б О(К'"+'), Г„С У, что Ь .«,х,х) > О 'ч «,х,х) б У. Значит, в области У уравнение Эйлера равносильно системе, разрешенной относительно производных х=у, у=Ф«,х,у), где Ф«,х,у): = йь(«, х, у)(г.,«, х, у) — йы«, х,у) — Ьь,«,х,у)у). В силу предположенной гладкости интегранта функция Ф непрерывно дифференцнруема в окрестности, У. Тогда по локальной теореме существования [АТФ, с.!86[ и глобальной теореме существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ, с.195[ найдутся такие е > О и б > О, что а) решение х продолжимо на отрезок [1ь — е, 1~ + е[; Ь) для любого Л б К" ([Л[ < б) на отрезке [гь — е, 1, + г[ определено решение х(, Л) уравнения Эйлера с начальными данными х«„Л) = У«,), х«., Л) = й«,) + Л, где 1„— некоторая точка интервала «ь — е, гь).
По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных данных [АТФ, с. 204[ функция «,Л) х«,Л) = [х$«,Л),...,х„«,Л)) непрерывно дифференцируема. Покажем, что зкстремаль х окружена центральным полем экстремалей х(чЛ). Дифференцируя функцию х«, Л) по Л, полагая Л = 0 и обозначая х,«,Л)[ь=а =: Н«,1„) НО«,1,): = ' ', ь',у = 1,...,и), ( ° дх;«, Л) дЛ1 $ 1. Простейшая задача аарпациоппого исчисления 231 получаем (поскольку х«, Л) — экстремаль лля любого Л, [Л[ < б) д Р д О гд — ~ — — г,, (1, х«, Л), х «, Л) ) + г., (1, х«, Л), х«, Л)) ~ 1 дЛ[, и* ' / П=ь — (Х.ь«)Н«,1.)+ Хь,«)Н«,1,)) + Х..«)Н«,1,)+ Х.,«)Н«,1,) = О.
д1 Значит, матрица Н(,1.) удовлетворяет уравнению Якоби. При этом выполнены следующие начальные условия: д ~ д Н«„1,) = — х«„Л)~ = — й«,) = О, дЛ ' ~ь=о дЛ д, д н«.,1,) = — *«„л)~ = — [й«.)+л) = Е Пусть Н«,1ь) — матричное решение уравнения Якоби с условиямн Н«ь1ь) = О. Н«ь,гь) = 2. Поскольку выполнено усиленное условие Якоби, то не существует нетривиального решения Л уравнения Якоби, удовлетворяющего условиям й«ь) = й(т) = О, гь < т < 1ь Таким образом, усиленное условие Якоби равносильно невырожденности матрицы Н«,1ь) = О при любом 1 б «еь 1~[.
Но тогда снова в силу глобальной теоремы существования и непрерывной зависимости решения от начальных данных [АТФ, с. 195[ прн достаточной близости 1. к гь матрица Н«,1,) будет невырожленной для любого 1 б [гь, 1~[. Рассмотрим отображение Ф«,Л) = (1, х«,Л)) в некоторой точке «,О), 1 б [1ь, 1~[. Имеем Ф«, О) = [1,й(1)), бег Ф'«,О) = дег 1,1 О), ) — — г1егхь«,0) = бег н«,1,) ф О. Значит, по теореме об обратной функции найдется такое б = б«) > О, что для любой точки (т,б), для которой [1 — г[ < б, [й«) — 6 < б, существует единственное Л = Л(т, (), такое, что Ф[т,Л(т,б)) = (т,() ч=ь х(т, Л(т,б)) = ~.
В силу компактности графика Гг = (гг(1,У«)) б Кьы [ 1 б [гь, Ю,[) (нз любого открытого покрытия компакта можно выбрать конечное подпокрытие) можно найти одно бь, такое, что для любой точки (т,с), т б [гь, 11[, [х(т) — с[ < бь, существует (и, как нетрудно понять, единственное) Л = Л(т,г) при котором х[г,Л(т,г)) = (. При этом гладкость функции Л такая же, как гладкость х т.е. С . Построение центрального поля, окружающего экстремань, закончено. 232 Глава 5. Условия второго порадка в вариациоином исчислении 5-функция и ее дифференциал Пусть х(, Л) — два~кды непрерывно дифференцируемое централь нос поле экстремалей с центром й„окружающее экстремаль х() и интегрант А — трижды непрерывно дифференцируем в некоторой окрестное~и расширенного графика Г;л (Ь б С~(сг(Гсс)) ).
Функция Я(т,й) = / Ь(й,х(С,Л(т,~)),х(й,Л(т,Ц)) сйй !. называется 54ункцией центрального поля х(, Л), Найдем дифференциал Я-функции. Он понадобится нам для вывода основной формулы Вейерштрасса при доказательстве достаточных условий сильного экстремума, Для нахождения частных производных Я-функции нам понадобятся некоторые соотношения. Имеем по определению поля и функции наклона поля х(г, Л(т, с)) = с. Дифференцируя обе части этого равенства по т, получим х(т, Л(т,()) + хс(т, Л(т,й))Л,(т,б) = О =ь — ххдс = х(г, Л(т,~)) =: и(т,й) (т) (и(т,с) — функция наклона поля), дифференцируя обе части равенства по С, получим хз(т, Л(т,()) ЛС(т,() = 1 (о (1 — елиничная матрица). Поскольку с, — центр поля, то х(с„, Л) = х., и, значит, выполняется следующее соотношение хх(С,Л(т,Е)) = О.
Найдем а„, дифференцируя по т интеграл с. переменным верхним аа пределом, и используя непрерывность хс, вытекающую из того, что х(,Л) б С'. Имеем — = 1(т,с,и(т,с)) + с + / (с,(й,х(С,Л(т,О),х(С,Л(т,б)))х~(С,Л(т,й))Л,(т,~) + !. -С- Ьа (С, х(й, Л(т С)), х(й Л(т О))хх(й, Л(тЕ)) Л,(т б)) сйй = й(т С, н)-- гзз в ц Просгеишая задача вариацноииого исчнслениа г т + / (ь,хзл, + ь хслс) ссй = ь(т, с, ц) + / й пхнул~ сйс + / с'а ссххл» = !.
с — Ь(г,г„и) + Ь хсЛ,~ + ~ ( — — Ь + Ь,) хсЛг сйй = с. с. с'М ~й,(т,с,и(т,с)) — Ь (т,с,и(т,с)) и(т,с). При выволе мы воспользовались тем, что функции х(, Л) — экстремали, т.е. удовлетворяют уравнению Эйлера. Формула для кз выводится аналогично.
Дифференцируя по ас получим дЯ вЂ” ( (Ь~хсЛС +ЬсхсЛС) сйй = / Г~хххЛС сйй + / Ь~ сйхАЛС = дс г т = ТахсЛС/ + / ( гс + гс)ххЛС сйй = Гс(т,~,ц(т~б)' Таким образом, имеет место следующая формула для дифференциала функции Я: дЯ дЯ сйЯ(т,О = — сйт+ — сйс = =д- д~ = (цт ~,и(т,~)) — Гс(т,й,и(тд))и(т,с)) сйт+с (тХ,и(т~~)) сК. В частности„лля функции х б РС'((Сщ С!),К") формула лля дифферен- циала функции Я примет вид: дЯ(с,х(с)) = (Чс,х(й),и(с,х(с))) -ь,(с,х(с),а(с,х(с)))и(й,х(й))) дс+ + щ(с,х(й),и(с, х(й))) ссх(с) = = ь(с,х(й),и(с,х(с))) +х (с,х(с),п(с,х(с))) (х(с) — и(с,х(й))) сйй.
(!) В таком виде мы ей и будем пользоваться в дальнейшем. Отметим также, '""сс, поскольку н(й, й(й)) = х(й), то дя(й, й(с)) = Х(с). (2) '34 ! с,пэ, ' Условия второго порядка в вариапионном исчислении !.4.6, (остаточные эсловия слабого зкстречэма Теореча 3. Рюгскь функция х С 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
