Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1.2. Пример слабого, но не сильного экстремума Приведем пример задачи, в которой допустимая экстремаль доставляет слабый локальный минимум, но не доставляет сильного локального минимума 4 1. Простейшая задача вариационного исчисления Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления (для определенности задачу на минимум) !, 1(х()) = / Х(г,х(!),х(Ц) а!- !пГ; х(!ь) = хгь х(И) = х,. (Р) 1.1. Сильный и слабый экстремум Задачу (Р) мы рассматривали на слабый экстремум. Иногда чтобы подчеркнуть, что задача рассматривается на слабый экстремум, мы будем писать Р(%'). Множество допустимых элементов в задаче на слабый экстремум Р(Р(ьг)) составляют непрерывно дифференцируемые функции класса С'([!ь, !!]) с заданными условиями на концах. х о! — !пс х(0) = О, х(1) = !.
а Необходимое условие слабого, а значит и сильного экстремума— уравнение Эйлера: (! ° 2 -2 — — 1„+ Ь, = О е==» — Зх =0 «=» Зх = С е=» х = сопи, ог б! Общее решение уравнения Эйлера: х = С!! + Сз. Из условий на концах находим, что С! = 1, Сз = О. Таким образом, имеется единственная допустимая экстремаль й = !. Покажем, что она доставляет слабый локальный минимум в задаче (х Е гь1осш!и). Действительно, если ! и Е Сь([0,1]), то Лла фУнкционала 1(х) = [ хз в! имеем ь ! ! ! 1(е+ л) - 1(а) = ~(! + ц' й! - / !' и = ~ л'(з+ ь) бг.
(*) Ь„(!) = О, Тогда — ~/п1, 1 21 2 4й ~/а' 2!8 Глава 5. ЪЬювия вгвроге пврядяа ° вариациавва исчислевви Отсюда видно, что если [[Ь1[~ с 3, то 3+Ь(С) > 0 и, значит, 1(У+Ь) > г(У), т.е. У Е влосш1п. У Покажем, что У не доставляет сильного локального экстре мума ( У мг!осшш). Рассмотрим последовательность функций Ь„(п > 1) такую, что СЕ (О, -], 16( —,-), 16 ~-,1]. гб [0,-], 16 ~-,1]. Легко понять, что Ь„Е РСе([0, 1[) и ЦЬ„Це - О при и -~ оо, Положим э„= У+ Ь„. Получим последовательность допустимых (в задаче на сильный экстремум) функций я„, э„( ) У(.) в метрике пространства С([0, 1[), для которых в силу (е) 6 4 = 3 — тБ~+ — + —- и п~/й при и — оо, т.е.
функция У не поставляет сильного локального минимума (У й мг!оспин), более того Я„„ьаам = — оо. Ниже в п. 1.4.3 в лемме о округлении углов покажем, что фун ня класса С, С, доставляюшая абсолютный слабый экстремум, доставляет кцня и с»льный, т.е. Яамьаем л = Кюаьвамг. В нашей задаче можно было построить последовательность допустимых функций У„класса С' такую, что 1(У„) — — со, т.е. сгладить функции х„. ф 1, Простейшая задача вариввяевввгв исммлпмш 219 1,3. условий Лпшйпд2гй, Икпбгл Ввйврпггрйссй рассм грим простейшую зааачу вариационного исчисления, лля определенности задачу на минимум 2(я( )) = / Т (1, я(Г), У(1)) <П 1пГ; х(!е) = яо, я(1~) = яо (Р) Пусть У Е С'([гм 1~[) — некоторая фиксированная допустимая (У(1с) = эо, У(1Д = э~) экстремаль (т.е.
У уловлетворяет уравнению Эйлера). Далее предполагаем, что интегрант Т по меньшей мере дважды непрерывно дифференцируем в некоторой окрестности траекгории У. Возьмем функцию Ь Е Се([$е 1~[. Пусть У Е п!осш1пР, тогда функция одного переменного д(Л) = г(У() + ЛЬ(.)) = / Ь(1„У(!) + ЛЬ(1),У(1)+ ЛЬ(1)) а имеет минимум при Ь = О. Из условий, наложенных на гладкость функции Ь следует, что функция р(Л) дважды дифференцируема в ну- ле.
Поэтому по необходимому условию минимума первого порядка (по теореме Ферма) р'(0) = О, т.е. р'(О)= ~(Ха(1)Ь(Г)+Х.(1)Ь(1)) У!=0 уЬбс,'([1„1,[). (1) В главе 3 п. 1.3 было показано, что из соотношения (1) следует уравнение Эйлера — необходимое условие экстремума первого порядка. По необходимому условию минимума второго порядка для функции одной переменной 1еа(0) > О, т.е.
, (0) / (у„(!)Ь'(1) + 2Х.э(1)Ь(Г)Ь(!) + Т...ЯЬ'(1)) гй > О 1 Ь б Се([1~, 1~ [). (2) Из соотношения (2) выводятся условия второго порядка дхя простейшей завачи классического вариационного исчисления. Важную роль играет коэффициент Ьае(1) при Ь . 220 Глава 5. заловив второго порядка в вариациоином исчвслеиии Говорим, что на экстремали х выполнено условие Лвхсандра, если Х (С) > О У С б [со, гс) и усиленное условие Лвлкандра, если Х о(1) > О Ч Ю б [Со, Йс ). В векторном случае х = (х с,..., х„) б С'([го, с с [, К"), (То* гол= ~ л'оан Гол у~л,о, гол= ~ Ьо.о„ 2~о л~ ° ° 2~о„л Ь...
— матрицы размера п х и. Условие Хйо(с) > О означает неотрицатель- ную определенность матрицы, условие Хое(с) > О. — - положительную определенность матрицы. Соотношение (2) можно переписать в виде' /(<Х-' >. <Х-', > (Х..; >) > а У й б Св([со~ сс)1К ) Отметим, что матрица Хл,(1) является транспонированной к матрице Х о($) и (Х ой й) — (й Х ой) (й Х й). Пусть далее Хо, Хо„Х б С'([со, сс), К" ) и выполнено усиленное условие Лежандра. д— Уравнение эйлера по й — — Хй(с) + Хо(1) = 0 для интегранта Х=Х(1, й> й): =Хол(1)йз(с)+ 2Хло(1)й(1)й(1) + Хлл(1)й~(1), т.е.
уравнение - дс (Хоо(е)й(1) + Хо*(Ю)й(с)) +Х (1)й(с) + Х (з)й(1) = о называется уравнением Якоби для исходной задачи на экстремали х. Точка т называется сонрткеннвй к точке Со, если для решения УРавнеНин Якоби й() с начальными ДаиныМи й(со)'=' О, й(со) = 1, функция й в точке т обращается в ноль (й(т) = 0). Говорят, что на й выполнено условие Якоби, если в интервале (со,сс) нет точек, сопряженных с со, и усиленное условие Якоби, если в полуинтервале (Со, Ю, ) нет точек, сопряженных с со. Уравнение Якоби .— линейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить относительно второй производной. Для вектор-функций х = (х„...,х„) ищется фусщаментальная система решений уравнения Якоби — матрица Н(1) = (й'(1) ...
й"(1)) = е 1. проесайшая задача вариациояного исчислеаия 221 й[(с) " йтМ с начальными условиями Н(со) = О (нулевая мат- й„с(С),, йп(1) рица), Й(Со) = 2 (единичная матрица) нли десН(со) ф О. Вексор-столбцы (й! ~ с й' =,. — решения системы уравнений Якоби. ~4 Пусть У: К" -+ К вЂ” дифференцируемая функция и переменных. Функцию Е(х, х'): = У(х') — У(х) — Х'(х)(х' — х) назовем функцией Вейврштрасса функции'у. Гейметрический смысл Е таков; Е(х,х') — разность в точке х' между значением у и значением аффинной функции„.касательной к графику.у в; точке, х, Отсюда ясно; что если у' выпукла, то Е(х,х') > О; Можно показать, что верно и обратное. ') — Дх) — Г'(х)(х' — х) х)(х' — х) Рис.
11. Пусть 1 — интегрант функционала 2 простейшей задачи классического вариационного исчисления.Функция Е(с,х,х,а): = г (С,х,и) — Ь(с,х,х) — Ь (С,х,х)(и — х) называется функцией Ввйерштрасса интегранта Ь. Таким образом, Е(йх,х,а) — функция Вейерштрасса функции х — Щ,х,х), где с,х играют роль параметров. Говорят, по на экстремали й выполнено условие Явйврииярасса, если Е(1 й й а) = Ь(1 й и) — 4(1 й й) — Хо(С)(а — х) > О У а Е К".
Ч 1 6 [3о, Гс[. Геометрический смысл условия Вейерштрасса на экстремали х: для любого фиксированного с б [со, 1~] график функции ь = ь(х) = Ь(олх(1),й) (как функции от х) лежит выше касательной к кривой Ь в точке й(1). 22З При малых Л > 0 222 Глава 5. »словца второго порядка в аариациоином исчислевии 1.4. Необходимые и достаточные условия слабого и сильного экстремуме Рассмотрим простейшую задачу классического варнационного исчи слепня для вектор-функций х = (х„..., х„) (для определенности задачу на минимум) 1(х(.)) = ~й(С,х(С),х(С)) дС вЂ” !пГ; х(Се) = хв, х(С~) = хь (Р) 1.4.1. Игольчатые вариации. 1члоаие Вейерштрасса Понятие сильного экстремума ввел в вариационное исчисление Вейерштрасс. Для доказательства необходимого условия сильного минимума Вейерштрасс употребил специальные вариации экстремальной функции х вида хл(С) = Е(С) + пл(С), где Л > О, СЛ+ (С - тМ С Е [т — Л, т], СЛ вЂ” (С вЂ” т)~ГЛ, Сб[т т+Д] ЫбК).
Рис. 12, Производная вариации Сгл(С) имеет внп, изображенный на рис. (для удобства изображения взято и = 1, с > О). Она несколько напоминает иголку, в связи с чем подобные вариации называют «игольчатыми». Такие вариации приспособлены к исследованию задач на сильный экстремум. Игольчатые вариации несколько иного вида использовались при доказательстве принципа максимума Понтрягина. Очевидно, что хл(.) — х() в метрике пространства С(]Се, С,],К") приЛ- О. б!. Простейшая задача вариациоииого исчисления игольчатых вариаций докажем условие ВейерпгграсС помощью игольча и гейшей задаче — необходимое условие сильного минимума в преете ше зад са гл нх нкций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
