Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 29
Текст из файла (страница 29)
4! 6.6. — '— +С Е аЬяп!и; Я»иа —— 1; Я =+оо. 2 6.7. (С+ е) !пС вЂ” С Е аЬяп!п; Я,„,„= +ос. 6.8. У = — сов! К !осехгг; Я;„= — со (х„() = () ( (С) = х(С)+ и! сЬ(я — С) + сов С вЂ” —,'", (вй (аг — С) + яп С) ); Я, „= +оо, »В2, 6.9. 5Ь С 6 аЬвпип; Ямм —— 2 ', Яа,а» = -1-оо. 6.10.
! — сов! 6 аЬяи!и; Яма» = +ос. 6.11. (х= — ',Т=1) ЕаЬяп!и; Я и=1; Я =+со. 6.12. — !3+22 Е аЬзппп; Я„м — — — 1, С вЂ” С ОаЬяпах; Я,„— 3 2 ;Я =!. 61 Принцип „а,е у По тря еа ° обще саучае !Ву в 1. Принцип максимума Поытрагиыа в общем случае Глава 4 Задачи оптимального управления В этой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводятся формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина в общем случае, доказательство принципа максимума в частном случае для задачи со свободным концом.
Решаются простейшая задача о быстродействии, аэродинамическая задача Ньютона и ряд других задач оптимального управления. В пятидесятых годах потребности прикладных дисциплин (техники, экономики и др.) стимулировали постановку и рассмотрение нового класса экстремальных задач, получивших название задач влгяииальяага управления. Необходимое условие экстремума для задач этого класса — «Принцип максимума», — сформулированное Л. С. Понтрягиным в 1956 году, было доказано и развито впоследствии им, его учениками и сотрудниками. Важно отметить, что зто условие имеет существенно иную форму в сравнении с классическими уравнениями Эйлера и Лагранжа: в качестве обязательного условия в решении задачи оптимального управления входит решение вспомогательной зодачи на максимум (отсюда и название — «принцип максимума»).
За разработку теории оптимального управления Понтрягину и его сотрудникам В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 году была присуждена Ленинская премия. Понтрягин рассматривал задачу на максимум, мы же для единообразия с прошлым материалом будем рассматривать задачу на минимум, называя соответствующее условие условием олгяимальиосми, и формулировать необходимые условия в лагранжевой форме. В отличие от задачи Лагранжа в задаче оптимального управления вводится уяравлвяив и появляется дополнительное ограничение типа включения на управление: и б У. Множество У определяет возможности человека влиять на происходящий процесс.
1.1. Постановка задача Задачей оатимальиего уяравлгнив (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу: > Во(Е) — ппп; В;(6) < О, 1 = 1,...,пт, В;(О = О, о = гп + 1,..., гп, (Р) х(1) — Ч>(г,х(1),и(1)) =О >Гг 6 Т, (1) и(1) б ГГ ж 1 6 а, (2) где Е = (х(),и()>1о>11), х б РС'(й»,К"), и б РС(д»>К"), 1о,1, б Ь, 6о < 1, гь — заданный конечный отрезок, У С К' — произвольное множеспю, , Т С Ь вЂ” множество точек непрерывности управления и, В(Π— / Е(1,х(1),и(1)) 61+ф>(1о,х(го)>11 х(1>))> != О» ''>™ ь Здесь РС(Ь, К") — пространство кусочно-непрерывных на отрезке О вектор-функций, соответственно РС'(й», К") — пространство непрерыв- ных вектор-функций, имеющих кусочно-непрерывную производную.
Напомним, что кусочио-непрерывной функцией называется функция, имеющая не более конечного числа разрывов первого рода (в точках разрывов ывов существуют конечные пределы слева и справа). Вектор-функция х = (хо., ., х„) называется фазовай ягргмвиивй, , век- тор-функция и = (ин,, ., и„) называется улравлгнигм. Ограничение (1), являющееся дифференциальным уравнением, называется диффгргнциаль- ммм ограничением. но . Оно должно выполняться во всех точках непрерывно- сти управления и. от . В отличии от задачи Лагранжа имеется ограничение (2) типа включени, ючения, которое должно выполняться во всех точках б а фазовая переменная х = (х„..., х„) может иметь меньшую гладкость. Частным случаем задачи оптимального управления (Р) является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены. Элемент Е, для которого выполнены все указанные условия и о~ра- ничения задачи, называется двяуаяиммм или еше говорят делустимым управляемым лрачгссам.
Д стимый управляемый процесс Е = (х(),О(.),Ео,Е~) называется (локально) аямималоиым (или еще говорят оеяималоимм в силовом см оп у смысле ярецессом), если сушествуег 6 > О такое, что Во(Е) В Во(Е) для любого допустимого управляемого процесса Е = (х(),п(), 1о, $~), для которого 11хИ вЂ” У(')11с(а1 < 6. 11о Го1 < 6.
111 — Е~1 < 6. 188 Глава 4. 3 апачи оптнмальноп» управления 1.2. Формулировка теоремы Теорема. Пусть с' = (х(),й(.),1,1 ) окрестности мнолсества ((1, Е(1)) < 1 б »Ъ 1, дека т афункцииф., »=О 1 ... б »Х»1, декартово умноженного на !Г, ;, » = , ,...,и», непрерывно ди н и - »еиц~ру~~ окрестности Тогда найдутся множители Ла , р - ) ф О, такие, иио для функции Лагранжа »( Л = (г(1,т,и) + р(1)(х — р(1,х,и))) дг+!(1о,х(1о),1»,х(!»)) Л=г~ 1, . —,, „,, „(1)) о,х о,1»,х(1»)), где у(г,х,и) = 2;Л»Я1,х,и), ! = Л.
», = »ф»(1«,х(го) 1»,х(1,)) — терминаит, ВыпОлнены условия: а) стационарность по х — уравнение Эйве В(1 х х и) = у( , х, и = 1, х, и) + р!х — <о(1, х» и)) — уравнение Эйлера длл лагранжиана д — — Т,.(1)+В.(1) =О УгбТ «=» -р(1)+~.(1) — р(1)р.(1) =О; Ь) трансверсальность па х Ьо(<о) = !ь<»,> ~=> р(1о) = 1,<» > ~ь(1»)= 1*«> «=» р(1)=-1,<ц>; с) оптимальность по и ш'"М х(1),й(1) и) = Ц<,Е(1) ь(1) й(,)) ьой ~( ~ ( )»и) Р(1)»Р(1,х(1) и)) = г(1) — р(1)<»(1) д) стационарность ио подвигкным концам выписы подвижных концов огре зка интегрирования) концам (выписывается только для Л»,(1о) = О «=» — У(1») +!», + !щ»,>х(го) = О », *<ь>х о — О, Л„(1») =О «==» у(1»)+Е», +!ь<»,>х»(Е») =О; е) дополняющая иехсесткость Л,В,®=О <) неотрицательность » = О, 1, „ б !. Пряяпнп максимума Поитряп»на в общем случае 189 1З. Доказательство А) Игольчатые вариации, пакет иголок.
Проварьнруем процесс С', включив его в конечно-параметрическое семейство, определяемое па- кетом иголок (набором игольчатых вариаций управления б). Для это- го фиксируем натуральное число»»Г, наборы: точек т = (т„...,тн), т, ( т» < ... < т»», управлений о = (э„..., ол), ллин а = (а»,..., ан) (т, Е Т, о» Е !Т, а! > О, » = 1,..., »!). Управление и (1) й(1)~ 1б й»~ О й»». »=» оп 1 6 г."»», ь. - «, - »ч - »» ~г -;, . - »ь -1» .~>. ~г»: = Д+... + "..
назовем игольчатой вариацией управления й, определяемой пакетом иголок (т, о, а). Некоторые точки т;, могут совпадать. Однако полуинтервалы с»», имеющие длины а„устроены так, что они не пересекаются и прн малом <а! лежат во множестве Т. функция х(1; 1о, хо, а), являющаяся решением уравнения х = »р(1, х, иь) х(1о) = аш называется июльчатой вариацией функции Е, определяемой точкой (1о, хо) и фиксированным пакетом иголок (т,о).
Ниже мы покажем„что если точка (1о,хо) нахолитсЯ в окРестности точки (1о хо) (хо: = Е(1о)), то при малом <а< решение дифференциального уравнения действительно существует и определено на всем отрезке с». В) Теорема существования. Лемма об игольчатой вириации. х = Р(1, х), х(1о) = хо (1о б '"' 1!) Теорема. Предположим, что задача Коши, имеет решение х 6 РС'(1»,1!") на конечном отрезке с», при зтом Р— функция непрерывное и непрерывно дифференцируемал ло х в некоторой окрестности С траектории Гг — — ((1, х(1)) ! 1 б»ь). Тогда найдетсл С' С С вЂ” окрестность»праектории Гг такая, что для любой точки (1о, хо) б С' существует единственное решение х(.; 1о, хо) задачи Коши, определенное на с», лри этом функцие х(1;1о,хо) непрерывно диффереицируема во множестве А х С' и х,,(1;1о,хо)'Ь, о<, > — — й(1,1о), хь (1<1« хо) >„=о<„> = -й(1, 1о)Р(1о, х(1о)), где й(1,1о) — фундаментальная система решений уравнения: й(1,1о) = Е~(1,х(1))й(1,1о), й(1о,1«) = 1 (единичная матрица).
Глава 4. Задача овтимальиого упраалеиия Зто классическая теорема о существовании и непрерывнодифференциру- емой зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных [АТФ, с. !95 — 204[. х~.(й'го хо О) = Й(й), хи(й'го хо О) = — Й(й)ч(йо), (2) (3) гдв Й(й): = Й(й, йо) — фундаментальная система решений уравненшс Й(й) = Р,(й)Й(й), Й(Е ) = 2.
Наметим путь доказательства леммы. Если управление Π— непрерывная Функция, то угверждеиия леммы сразу вытекают иэ теоремы о сушеспювании и непрерывно дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных. Если же О кусочно непрерывна, то нужно применить теорему несколько раз на каждом участке непрерывности.
С) Редукция к конечномерной задаче. Снова фиксируем Рй, наборы т и е. Обозначим г: = (йнйо,хо,ан..., а») Е В~+"+», Левона об игольчатой варьшции. 11усть наборы г и е в накате иголок (г,е,а) фиксированы. Тогда существует г > О, такое, что если 0 < [а! < е, [хо — хо! < е, [йо — йо! < г, то ййч С Т и, гово»в тою, функция х(й; йо, хо, а) — решение уравнение (!) — онргдвлгна на отрезке гь, нгнрврыено диффврвнцирувма в некоторой окрестности точки (йн йо, хо, 0), ори этан [[х('йо,хо,а) — й(Ц дв,! — 0 нри (йо,хо,а) ((о йо 0) и Л = > Л,В;(х) — ~~~ и г=о 1гн ь г (й,х(й;йо,хо,а),и (й)) дй+1(йо,хо,йнх(йбйо хо а)) 2.
'рэггй =./ й ! ь ы ы гг(й,х,и) = 2 Лог!(й,х,и), 1(йо хо,й| х~) = ЕЛгф(йо,хо,й~ х~), вы!=о ! о полнены условия стационврности: Л, = 0; дополняющей нежесткости: ЛоВг(2) = 0 (оо Л! г® ь = 1,..., гл' оо е)), рйа. = О, 1 = 1,..., гч; неотрицательиости: Л; > О, ь' = 0,1,...,пь' (оь й)), йьй ~ О, й = 1,...,йу. йг) Преобразование необходимых уагаеий комеч»омер»ой задачи. Обозначим р — решение дифференциального уравнения (а) (ь,) р+рр* = У.' р((!) = -1* а 1 Пртшяв машшмума Повтртива в обиты случае 191 Лагранжа для конечномерных задач с равенства~и раве и не яствами. Согласно ему найлугся множители Лагранжа Лою .. 1 ыю ... Л .-.,и», не все равные нулю (л; = лй(г,и), р = рй(т,е)) и такие, что лля Функции Лагранжа задачи (Р,, ) Вг(г): = В!(х("йтзо,а) итйо,й,) ь г г (й, х(й; йо, хт а), и (й) ) дй + ф! (йо, хо, й н х(й,; йо, хо а)) и и рассмотрим конечномерную задачу с ойраничениями типа равенств и неравенств Во(г) — пнп; Вг(л) < О, о = 1,..., ш~, Вг(г) = О, ь ш по~ + 1,..., пь, (Р.н) В силу леммы об игольчатой вариации функции В; непрерывно дифференцируемы в некоторой окреспюсги точки л = (й !, йь, хо„О) и элемент (х(;йо,хо,а),йо,йь) - (Ю(),[о,(и) в метрике пространства С(Ыйь) х йй~ при л - Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
