Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 24
Текст из файла (страница 24)
на место нулевого небазисного элемента хц величину 1, получим второй план Величина 1 = !. Из двух обнулившихся базисных элементов в базисе оставили элемент с наименьшей стоимостью. Значение функционала равно — 22. Построим матрицу С: /О 4 Озз В матрице 23 = С вЂ” С = ~ — 2 О 3) минимальный элемент О О 8 232! — — т1п 2313 = — 2 < О. Добавляя во второй план распределения з,я на место нулевого небазисного элемента хм величину $, получим третий план распределения должностей Величина 1 = 1. Из двух обнулившихся базисных элементов в базисе оставили элемент с наименьшей стоимостью.
Значение функционала равно — 24. Построим матрицу С': УО 4 О1 В матрице 21 = С вЂ” С = ~0 2 5~ асе элементы неатрицательны. О О 8 Значит найденное распределение является оптимальным и значение исходной задачи равняетса 24. я!1 хм Х31 Х41 Х11+ хм+ ХЗ! + +хм — — 6, + хм = 18, + хм — — 14, = 1О, +хз! =11 +хэг= 2 +хм —— 6, +хм= 7, 142 Глава 2.
Линейное првграммирваавие Ответы к задачам главы 2 !.1. (1, 3, 0) б Агй; Яаак = 4. 1.2. (О, 3, О, 2), (2, 1, О, 0) б Агб Р; Я „= 5. 1.3. (О, 4, О, 0) б Азй; Я,„= 4. 1.4. (2, О, 3, 0) б Агб; Яачк ка 5. 1,5. (5> 3 0>0) б АЗ8" Яа>ак — 8 1.6. (1, 1, 1, О) б Ащ; Я „= 3. 1.7. (5,0,3,4,0) б Азй; Я = 15. 1.8. (1,2,3,0,0,0) б Агй; Я = 2. 1.9. (5,0,4,1,0,1,0) б Агй; Я„„= 10. 4.1. (5, 2, 0) б Ехгг, (5, 2, 0) б Агб; Я = 13.
4.2. (! 0 2) =+, ((1,— 10,1) г1+ !0112 9 ,(...(,, !)) = 3+ — 1 - +ос прн 1 — +со. 14 ( '6) 1! 1т 4.3, О, —,О, -) б Ехгг, (4,0,2,0) б Агб; Я,„= 10. (55~'3'''3 4.5. (О, 1, 1, 2) б Езцг, (1, 2, О, 3) б Агй; Я>аак ак 6. 4.6. 2З = й «Ь Яа>ак — — — СО. 4Я. ОООО, -) (-- ) 2к ,-) б Ехгг; Ясак =+со> 4.8. (0,0, !0,0,0),(!0,0,0,0,10) б Агб; Я = — 10. 4.9. (0,0,0,1,0,1) б Ех!г, (0,0,0,1,0,1) бАгй; Я 51. хп =4, хм=3, х, -2 я, — 46 ' з~ хы =6, хп =5, х«э=2, хн =4; 52.
.2. хи=6, хзз=!1, хм=7, х —, хи=6, хзз=8, х«~=2 вы=8. 5.3. х — я "' хзз = !5 хзз = 2, хн = 5; я . = !!4 5.4. хн = !О, х>з = 3, х = 11, ззаа хз| =5, хзз=7, хм=9, хм=6' >п>а Глава 3 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И, Бернулли !696 года «Новая задача, к решению которой приглашаются математикиа, в которой поставлена задача о брахистохроне. В вертикальной плоскости даны две точки А и В.
Определить путь АМВ, спускаясь по которому под действием собственной твжести тело М, начав двигаться иэ точки А, дойдет до точки В за кратчайшее время. Вводя в плоскости систему координат так, чтобы ось 1 была горизонтальна, а ось х вертикальна, и пользуясь законом Галилея о скорости тела, падаюшего вниз под действием силы тяжести, нетрудно выписать формализованную постановку задачи: >-:-ыв «а: *н=* (>а= «О Здесь и далее точка над функцией (хз(!)) означает производную этой функции по !. Эта задача была решена самим И.
Бернулли, а также Я. Бернулли, Лейбницем, Лопиталем и Ньютоном. Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых ломаными. Развитая затем в работах Эйлера, эта идея заложила основы прямых методов в вариационном исчислении. Выписанная выше задача об экстремуме интегрального функционала при заданных условиях на концах, является простейшей задачей вариационного исчисления, к рассмотрению которых мы сейчас н перейдем.
В третьей главе приволятся также и другие элементарные эалачи вариационного исчисления: задача Больца, изопериметрическая задача. Все они являются частными случаями более обшей задачи Лагранжа. Как частные случаи задачи Лазранжа рассматриваются задача с подвижными концами и задача со старшими производными. Глава 3. Вариационное исчисление 4 1. Простейшая задача классического Варианнонного исчисления 1.1. Постановка задачи и ется след юшая растейшей задачей классического вари р ацианнаго исчисления называся следуюшая экстремальная задача в пространсг С ([г, ь Х(х(.)) = / Х(х,х($),х(1)) дб — ехгг; 144 х(хй) = хгн х(1~) = хн (р) Здесь Х = Х(Г,х,х) — ф к ия грантом.
Отрезок 8ь, Г п п 3 =,, ') — функция трех переменных, называемая инт1о < 1ы Эк м м в [ ь, ~] предполагается фиксированным и коне нтестре у в задаче рассматривается среди непрерывно дн конечным, ференцируемых функций х б С'([1, 8 ] К), у на концах, илн нраевым условиям: х(8ь) = хб, х(8>) = хн такие Введем норму в пространстве С>([гй, 1>]): ЦуПсц>ьл,1>: = п>ах(ПуПсйял,1> ПуПс11ььь1>) где ЦУЦсбг„м>. — — гпах(!У(х)! ! 1 б [гб Й~]). Для краткости введем следующие обозначения ПуПо: = ПуПс11ь,г,>> ПуП~ = ЦуПс'<1ьньй которыми будем пользоваться в дальнейшем. Оп ределение. Говорим, что допустимая фу х ункция доставляет слабый локальный минимум в задаче (Р), , и пишем х ь ш!осш>п" Р, если сушествует б ) О такое, что Х(х( )) > Х(х(.)) для любой допустимой функции х (х б Р(Р)), для которой Цх(.) — 2( )Ц~ < б.
числении Наряду со слабым экстремумом в классическом ва также изучается сильный экстремум. П и э риационном искласс ф кций, с ри этом расширяется мум ишетс фун, среди которых рассматривается задача. С й ача. ильный миниу шатоя в более шир ком пространстве, чем С!([80, 8 1), а , чем ([Хб, 8~]), а именростр стае кусочно-дифференцируемых функций РС'([>е, 1,]). Строгое определение сильного экстремума будет 5 удет дано в главе 5 п. 1. Однако, как правило, ф , функции доставляюшне абсолютный (глобальный) экстремум в С или РС', доставляют абсолютный эк м м и среди более широкого класса функций— ны экстремум функций, на которых функционал Х определен. и — всех абсолютно непрерывных ' чнль — слабый 145 Простейшая задача КВИ Вывод уравнения Эйлера с помощью основной леммы варнаиионного исчисления Л~ ть функция х доставляет слабый локальный экстремум ~ г ч>осехггР), функции Ы„, Х, — непрерывны как функции нных, Х, б С'([Ггн 1,]).
Тогда выполнено уравнение Эйлера д Ж вЂ” — Х.(1)+Х,(1) =О У1б [1„1,]. д д Здесь Хв(1):= — Ь(>,х,х)[ „,, аналогично Х,(ь):= — Х(1,х,х)~, „„. ° =нь Выписанное дифференциальное уравнение второго порядка было впервые в 1744 голу выведено Эйлером. Он, аппроксимируя кривые ломаными, вывел уравнение, которому были должны удовлетворять экстремали. Впоследствии Лагранж назвал его уравнением Эйлера. Сам Лагранж выводил это уравнение (в 1759 гаду) вариируя кривую, подозреваемую на экстремум. Выделил из прирашения функционала главные линейные части, которые называл вариациями, и воспользовался тем, что в точке экстремума вариация должна обращаться в нуль.
Метод вариации Лагранжа стал обшепринятым. Этим методом мы и выведем далее уравнение Эйлера Функции, удовлетворяюшие уравнению Эйлера задачи (Р), называются экстреиалями. Множество экстремалей обозначаем Е(Р). Допустимые функции (класса С с заданными граничными условиями), удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются допустимыми зкстремагями. Множество допустимых экстремалей обозначаем РЕ(Р). Доказательство.
Возьмем произвольную, но фиксированную функцию >ь б Сй([хй, 11]). Здесь мы пользуемся следующим обозначением: С ([т г,]) — (>ь(.) б С'([>ь, 1,]) ! >ь(1 ) = >ь(1 ) = О). Поскольку х б чг>осехгг Р, то функция одного переменного у(л): = х(й()+ лй(.)) = [ х(1,й(1)+ лл(1),е(1)+ лщ) дг имеет экстремум при Л = О.
Положим Р(1,Л) = Х,(1,й(1)+ Л>ь(1),хх(1) + Л>ь(г)). Из условна гладкости, наложенных на Х,х,>ь, следует, что Функция х лифференцируема в нуле. (Действительно, функции Р и Рх непрерывны в некотором прямоугольнике [1ь, Х>] х [ — Ль, Лй], и, значит по известной теореме из анализа можно дифференцировать пол знаком интеграла.) Но тогда по теореме Ферма р'(О) = О. Дифференцируя функцию >в н полагая Л = О, получаем 148 Глава 3. Вариациеяаее исчислеаие 149 41.Пр й д ° КВИ !А.
Векторный случай ь ц р(1) = ао(1), / р(Ф) Й = / а1(1) М. гй — — Хл,(1) + Х,,(1) = О, $ = 1,..., п. Лемма Дюбуа-Реймона. Пусть функции ао, а, Е С([1о, й[) и (а~(1)Л(1) + ао(1)Л($)) 4й = О тг Ь Е Со([1о, 1~)). Тогда функция а1 Е С~([Фо, 1~)) и вмналняетсл дифференциальное уравнение д — — а~(1) + ао(1) = О т 1 Е [1о, 1~ [ (аналог уравнения Эйлера). Из леммы Дюбуа-Реймона н соотношения (1) следует утверждение теоремы. Дохахапаньство леммы. Возьмем функцихз р Е С'([!о,1!]) такую, что Она существует, так как р(1) = ао(1) — дифференциальное уравнение 1-го порядка, решение которого определено с точностью до константы„ а выбором константы можно удовлетворить второе условие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
