Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(х~+4х )бМ вЂ” !ехсг; х(0)= — 1, х(0)=0, 5.5. о х(зг) = сСс к, х(к) = асз зг. кд -з 5.6. /(х~ — й )бс- ехсг; х(0) =х(0) =1, х!с — ) = — хсс — г! = О. о ! (х~+х )бМ- ехсг; х(0) = 1, х(0) =О, 5.7. о х(!) =с!с!, х(!) =асс!. ! 5.8. / е 'х 41- ехсг; х(0) =О, х(0) = 1, х(1) = е, х(!) = 2е. о е 5.9. /(М+1)Мх гд- ексг; х(1) =О, х(1) =1, х(е) = е, х(е) = 2. ! (х! !) 6М вЂ” ексг; х(0) = й(0) = й(0) = О, 5.10.
о х(1) = 1, х(1) = 3, й(1) = 6. ! ((хСз!) + х~) !ММ вЂ” ехсг; х(0) = й(0) = О, х(0) = 1. 5Л1. о х(1) = с1! 1, х(1) = й(!) = асс 1. Все залачи, изученные нами в предылущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении «Аналитическая механика» в 1788 году. Для ее решения Лагранж использовал метод неопределенных множителей, который впоследствии стали называть методом множителей Лагранжа. Впрочем этот мотов не был им аккуратно обоснован, и понадобилось более ста лет доя того, чтобы придать рассуждениям Лагранжа внд строго доказанной теоремы.
б.1. Постановка задачи Задачей Лагралхса называется слелуюшая экстремальная задача Во(б) — пнп; Вс(б) < О, з = 1,...,ш', Вз(б) = О, з = пз' + 1,..., ш, ха(М) — уз(М,х(М)) = 0 У М Е МЗ, где б = (х(.),Мо,с!), х(.) б С'(Ь,К"), Мо,М! Е Мс, Мо < М!, Мь — заланньсй конечный отрезок, В; Я = / Д (М, х(М), х(М)) с™М + ф (Мо, х(за), М ! ! х(М ! )), з = О, 1,..., пз. Условие (!), называемое дифференциальной связью, может быть наложено не на все координаты вектор-функции х() = (х!(') ° .. хь(')) а только на некоторые, для определенности на первые й ксюрдинат: хс(М) — Слс(М,х(М)) = О, з = 1,...,й. Обозначим далее х = (х,хз), где х, = (х„...,хь), хр = (хьь!,...,х„). Если дифференциальная связь отсутствует, то й = 0 и х = яр.
Поскольку вместо х в функции уз(с,х,х) можно подставить из (1) равное ему выражение Со(М,х), то в дальнейшем считаем, что,у! = мз(М, х, вр). Частным случаем задачи (Р) является задача, в которой один из концов Мо или М! — подвижный, а другой закреплен или оба конца отрезка интегрирования (Мо, М !] фиксированы. Элемент б, для которого выполнены все указанные условия и ограничения задачи, называется долустимым, Определение. Говорим, что допустимый элемент б = (Х(),Мо,М!) поставляет слабый локальлмй микимум в задаче Лагранжа (Р) „и пишем б Е со!осш!и Р, если сушествует б > 0 такое, что Во(1) > Во(с) лля любого лопустимого элемента б = (х( ), мо, м!), лля которого !К вЂ” сПс сд!ка! < б оо !!х(.) й()Пс'сд! < б !Мо — Мо! < б, !М! — М!! < б. 5 6. Задача Лагранл«а 174 Глава 3.
Варнаинонное исчисление б.2. Необходимые условия экстремума Теорема Эйлера — Лагранжа. Пусть элемент Е = (х(.), 1о, Е, ) доставляет слабый локальный минимум в задаче Лагранжа (Р) (Е б н!оспйп Р), функции Е«,Дзо Е«ненргрывны в некоторой окрестности расширвннага гРафика Го". = ((Й,Х(1),Х(1)) ! 1 б «з) (Л,Е„,Е«ь б С(О(Гоо))), ь = О, 1,..., гв, функции ю, !ол непрерывны в некоторой окрестности графика Го. '= ((1, х(1)) ! 1 б с«) («р, «р, б С(О(Го))), функции ф«нглрерывно диффергнциругмы в некоторой окрестности точки (Ео, х(Ео), Е«, й(Е«)) (ф«б С'(Ео,й((о),Е„й(Е«))), ь = О, 1,...,гв (условие глвлкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа (Л,р) б К +' х С«(й«,Кь), (Л, р(.)) эь О, такие, что для функции Лагранжа Л = ~(Е(1,х,хр) + рЯ(х — Го(1,х))) 61+1(го,х(1о),т„х(1«)), ы ы где Е(1, х, хр) = 2', Л«Е«(1, х,хр), 1 = 2 Л«ф«(йо, х(го),1«, х(1«)) — тгрми«=о «=о нант, выловлены условия: а) стацианарнасти ло х() — уравнение Эйлера для лагранэниана В(о,х,х) = Е(1,х,хр)+р(х — «р(г,х)) — — Хо(1) + Хь(1) = 0 ч Ф б «ь сь 6 . Ж * ' '(-дгу.,(1)-р(гу.,(1)+Т„(1) =о; Ь) трансверсальнасти ла х 1 р(Ео) = 1*.««,1, ел(Ео) = Еыв! е=ь ~ . (Е) = Е,,; э ьл о — *„«ь! ( ~.„(Е«) = -Еьл!«,1, с) стацианарнасти ло ладвихгным концам (выпнсывается только лля подвижных концов отрезка интегрирования) л.(Ео) =о е=ь -у(Е,)+Еь+Е.,„!й(Е,) =о, ль(Е,) =о е у(Е,)+Еь+Е,«ь!й(Е,) =о; 6) далалняюи«вй нежестнасти Л«В«(Е) = О, ь = 1,...,гв'; е) нготрицаглгльнасти Л; 3~ О, ь = О, 1,...,гв . Доказательство теоремы основано на правиле множителей Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств в нормированных пространствах (глава 1, п.
8.2). Покажем, что все условия теоремы о правиле множителей Лагранжа выполняются. Поскольку равенство В, = 0 можно заменить двумя неравенствами В«< О, — В; < О, то в дальнейшем для простоты записи считаем, что у нас имеются только ограничения типа неравенств и пь' = пь. Пусть Х = С'(сь, К") х К', У = С(сь, К ). Это банаховы пространства условие банаховости выполняется. Из непрерывной дифференцируемости функций в теореме Эйлера— Лагранжа следует, что функционалы В;:Х вЂ” К, 1= 0,1,...,«в, и отображение Р: Х У, Р(х(),1««,1 ) = х (1) — у (г,хЯ), строго дифференцируемы в точке Š— условие гладкости выполняется.
Ослабленное условие регулярности — условие замкнутости образа оператора Р'(Е) выполняется, так как 1шР'(Е) = У = С(«ь, Кь) замкнутое пространство. Действительно, г' (Е)(«ь(),то, т«) = гь(1) — угр,ЯдЯ, а система линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами Ь(1) — Р,. (1)й(1) = дЯ (1) имеет решение для любого р() б С(«з,К"), определенное на всем отрезке «ь, с любым граничным условием в форме Коши Л(Ео) = у. Все условия теоремы главы 1 и.
8.2 выполняются. Согласно этой теореме сушествуют вектор Л = (Лм Л«,..., Л ) б К ь' и функционал р Е У' не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа Л(Е) =,'1.Л«В;(О+(р',Р(О) = Л(*(),1.,1) = «=о = / У(1 х хр) 61+ (р',х' (1) — р(1 х(1))) +1(1, х(1,) 1, х(1,)) ь выполняются условия: а') стационарности Лг = 0 «=ь Л, = 0 ( л =о,л =о),л«,=о,лц=о; Ь') дополняюшей нежесткосги: Л;В;(Е ) = О, « = 1,..., гв; с') неотрицательности: Л; > О, Е = 0,1,...,гв. Покажем, что нз уравнения Л, = 0 следует сушествование функции «( р б С'(йь, Кь) такой, что (р',у()) = 2 р(1)р(1) «и Ч р к С(«А, К ) и для «ь которой выполняются условия а)-Ь) теоремы Эйлера — Лагранжа. Тогда 176 бб. Задача Лагранжа Глава 3.
Вариациоииое исчисление 177 6.3. Примеры Отсюда в силу соотношения (1) Определим функпию р из условий; Л = Л и теорема будет доказана. Уравнения Эйлера и условия трансверсальности по хл булут вытекать из условия стационарности функции Лагранжа й по хд. Они выводятся как и для задачи Больна. Распишем условие стационарносги Л по х„: Л,. = 0 с=о Л .[Ь) = 0 о Ь б С (гз, Ко) о=ь 1~ 7, (1)Ь(1) !11+ 1, !!,!Ь(то) + 1,,!!,!Ь(Е!) + (у, Ь(1) — !р,. (1)!г(1)) = О.
(у',у()) = — ~ у..йд1 — 1. !е!7 — Е, 1„!Ь(Е) У у б С(й), У 7 Е К" (2) -р(!) — р(1)Р.„(1)+ У..(1) = О, р(Е,) = -Е. !и!. (3) По теореме существования и единственности решения задачи Коши для линейной неоднородной системы (АТФ, с.!91) функция р Е С!(Л,К ) определяется нашими условиями однозначно. Тогда в силу (1) и (3): гт — (рЬ) Д1 = р(1!)Ь(1!) — р(1о)Ь(Ео) = ~(РЬ+ рЬ) Ж = О 1) = / (у,„ь — Р!Р,.ь+РУ+Ро!,.ь) !!1 = з~(Е,.ь+РУ) !11 $! Находя отсюда ) Е,.Ь Ж и подставляя в (2), получим (у',у()) = ~ру!11 — р(Е!)Ь(Е!)+р(Ео)Ь(Ео) — 1. и!7 — Е, !г,!Ь(Е!) Й Е руг!о+7(Р(то) — !ю!в,!) о у Е С(тЛ,К ), У у Е К . Откуда (у',у(.)) = Е р(1)у(1) !!1, р(Ео) = Е, !и!.
Таким образом, Л = Л. ° ! Пример 1. х(х(.)) = 3 х'!!1 — еиг; ) хгтг = О, х(!) =1, а о ! Решение. Функция Лагранжа: й = Е (Лох~ + Л!х) Ж+ Лт(х(1) — 1). о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана Е, = Лох~ + Л,х !1 — — Ь.+Е,.=О Е -гЛох+Л!=О; Ж Ь) трансверсальность по х для терминанта ! = Лз(х(1) — !) Е,(0) = !х!о>, Ьо(1) = — 1,!О ч=ь 2Лох(0) = О, 2Лох(1) = -ЛН Если Ло = О, то из а) Л! — — О, а из Ь) Лз = 0 — все множители Лагранжа — нули.
Этого не мозкет быть. Положим Ло = -. Тогда й = Л! . ! Общее решение: х = С!1~+ с!1+ С!. Неизвестные константы С„СмСз находим из условия трансверсальности х(0) = О, из условия на конце в единице и из изопериметрического условия; й(0) =О=~Со = О, < '(!) = ! ЕГ с, + с, = 1, Ес, / х ет = 0 ( — + С! = О. о Отсюда С! — — —, С! = — —. Таким образом, в задаче имеется един- 3 ! огненная допустимая зкстремаль В =— з!'- ! т Покажем с помощью непосредственной проверки, что функция х доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию Ь Е С'((О,!)) такую, чтобы й+ Ь была допустимой функцией. Для зтого ! надо взять функцию Ь, для которой Ь(!) = О и Е Ь <11 = О. Тогда ! ! ! Е(х+ Ь) — Е(й) = ~(й+ Ь)' г!1 — ~ йь г!1 = 2 / Ы а+ ~ Ь! г!1 > 2 ~ й Ь,11 о ' о о о о Интегрируя по частям с учетом условий на Ь и условия трансверсал ьностн х(0) = О, получим ! ! ! Х(х + Ь) — Е(й) > 2 / МЬ = 2М~ — 2 / хЬ Ж = — б / Ь й! = О.
о 178 Глава 3. Вариаяиаыиое исчисление Таким образом, разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолютный минимум. Очевидно, что Я = +ос. Лействительно, возьмем последовательность допустимых функций х„(!) = х(1) + и ми 2яг, тогла 1(х„( )) — ~ +оз при н - ос. Пример 2. х~ гй -~ ех!г; х(0) = х(0) = О, х(1) = 1. а Решение. Эту задачу можно свести к задаче Лагранжа, вводя вместо функции х вектор-функцию (х!,хг), и обозначения: х, = х, хг = х.
Тогла исходная задача смдется к задаче Лагранжа: Вг! — ех1г; х! — — хг, х!(0) = О, хг(0) = О, хз(1) = 1. о Функция Лагранжа: А = / (Лохг + р(!)(х! — хг)) !В+ Лзх!(0) + Лгхг(0) + Лз(х!(1) — ). о Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера для лагранжиана 1 = Лохгг + р(й! — хг) — — 1„, +1,„=0 о=» -р=О, й й — — 1, + 1, = 0 о=» -2Лохг — р= 0; ю $6.
Задача Лаграюал 179 х = С!1з+ Сгг~+ С!1+ С, Неизвестные константы С!, Сг, Сз, С4 похолим из условия трансверсальностн йг(1) = 0 о» й(1) = 0 и из условий на концах: х(0) = 0 =з Со = О, й(0) =Ою С! =О, (-: — -( х(1)=1, 1С,+С =1, й(1) = 0 збС! +2Сг =0 (с, = —,-', Таким образом, в задаче имеется единственная лопустимая экстре!3 з1 маль х = -- + 3-. г г Покажем с помощью непосредственной проверки, что функция й доставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию )з 6 Сг([0, 1)) такую, побы х+ !з была допустимой функцией. Для этого надо взять функцию Л, для которой Л(0) = !з(!) = )з(0) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
