Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 30
Текст из файла (страница 30)
А так как элемент 1 доставляет локальный минимум в задаче(Р),таточка л Е йоспилР в Значит, к задаче(Р.») применим принцип Существование и единственность решения уравнения ( ) ра я (а) с к евым условием (Ь|) следует из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейных систем [АТФ, с. !91[. Из определений функции р и определения Функции Й следует, что — (рй) = рй+ рй = ~ Й вЂ” РГо Й+ РДЙ = / Й. дй йю йь,! йг Й дй й 'й ( 42) дй — р(й,)Й(й",) — р(йо)Й(Ц) =' -йтй(й!) — Р(йо) (*) г дй й Распишем условия стацнонарности функции Лагранжа нжа А в точке л, учитывая лемму о приращении функционала и формулы из леммы об игольчатой вариации (см. ниже $2): 192 Глава 4. Задачи оптимального управления л (в) = У(тд,к(т)),е)) — У(тз) — Р(тд)(чг(ггпу(тд),ед) — («(т )) — Р = О-- 1(т,й(т ), е.) — 1(т ) — р(т )(уг(тз., й(тз), ез) — чг(тз)) = р.
> О, Лаа(а) = ~1«(1)*аа(К(о,йово)д(+(т+1«сева((|ПО,йо,о) = (г) 1. = Е У.йд(+1'.,+Е.,й(Е,) = Га = — („й(Е!) — р(ЕО) + Е„+ Е„ПЯ = — р(Е,) + Е„= о; ЛФО(а) = 1(ЕО) + а( Уа(()ага(1;ЕО,ЮО,О) де+(Ф, + (а,яг,(Е!',Ее,ав,О) = (з) -. 1 ° = -1((О) — ~ У.(1)й(1)ц4О) дг+ 1„— Е„й(Е!)Ф(ЕО) = (а (') = — У(ЕО) + Е„й(Е!)!р(ЕО) + р(ЕО)уг(ЕО) + Ег„— Етй(Е!)р(ЕО) = (ьа) = -1(ЕО) + р(ЕО)й(ЕО) + Еь т — У(Е ) + Еь + (та!(ЕО) = о; (дв) л„(й) = У(Е!) + Е„+ 1«ч й(Е!) = о, Очевидно, что Л ~ О, ибо иначе из определений 1,1 и р следовало бы, что р Ов О, а из соотношений (с,„) тогда следовало бы, что р = О. А множитель Лагранжа (Л,р) ~ О.
Умножением на положительную константу нормируем вектор Л так, чтобы )Л) = 1. Итак, получили: для точек т„..., тн Е Т, управлений е(,..., ин Е ((, существует вектор Л = (ЛО,Л!,...,Л ), 1Л! = 1, такой, что выполняются соотношения а)-Г) принципа максимума Понтрягина с условием оптимальности с) для конечного числа точек т; и управлений о;. Е) Окончание доказательства.
Рассмотрим в пространстве К«а"' подмножества К(т, э), т б Т, е б е(, сферы К = (Л б К +' ! (Л( = 1), состоящие из тех векторов Л, для которых выполняются утвержденна а)-() теоремы о принципе максимума Понтрягина, причем в п.с) взято 1 = т, я = е. Сфера К является компактом, множества К(т,е) С К замкнуты, конечное пересечение П Кп., ~ (д. у=!, „и $1.
Прининп максимума Понтрягина в общем случае 193 Лемма о цеитрироаанной системе. Пусть К вЂ” компакт, (К ),е,— система замкнутых подмножеств К, любая конечная подсистема которой имеет непустов пересечение (иентрированная система). Тогда пересечение всех множеств системы (К„) е,! непусто ( П К ~ !о) «ЕА Доказательство. Обозначим О, — дополнение к К в К (О«д = К !(К ). Тогда О открыто в К. Если Д К, = о, то Ц О, = аеА аЕА () (К ! К,) = К ! П К, = К, т.е. (О,),е,! есть открытое покрытие аЕА «ЕА компакта К. По определению компакта из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, т.
е. можно найти а„... „ан, Ф Ф н и такие, что () О,, = К. Но тогпа (1 Ка = ( ) (К ') Оа,) = К ) () Оеч = О з=! з=! з=! з=! — противоречие с центрированностью системы. Значит, пересечение всех множеств системы П К, зе !Е). аЕА По лемме о центрированной системе все множества К(т,о) имеют непустое пересечение.
Значит, существуют ненулевой вектор Л = (ЛО,...,Л ) и функция р 6 РС((Ь,К") такие, что выполняются утверждения теоремы а)-Г) с условием оптимальности, выполняющимся для любых т ЕТ, об(Т. Замечание. Принцип максимума доказан нами в пространстве РС!(дь, К") х РС(гЛ, К') х Кг. Небольшие изменения доказательства позволяют обосновать его в пространстве И~' (ьь, К") х Еч«(дг, К') х К 194 ИнтегРиРуя, получаем Х 4. Пример -!+С, О<!<2 ! — — 2!+С2, 2<!<4 0<!<2, !2 — — 21+ 1, 2 ~ (! < 4. Функция Лагранжа: 4( — — В + Х, = О с=о -р + Ло = О; с) оптимальность по а пнп (Лоа — ра) = Лоб — РО; ио(-1Л! 4() неотрицательность Ло > 0 в задаче на минимум, Ло < 0 в задаче на максимум. в(й+ ь) — в(б» / ь м > о, о 0 — все множители иза) р=! иизЬ) О<!<2, 2 < ! < 4.
Глава 4. Задачи оптималыиие управления 4 В(х(')) > (х + х) 4(! е; [х[ < 1, х(0) — О о Решение. Приведем задачу к виду задач оптимального управления, введя управление а; (а +х)4Ы- ексг; х =а, об [-1, 1], х(0) =О. о Ь = / (Ло(аз + х) + р(х — а)) вй + Л,х(0). о Необходимые условия: а) уравнение Эйлера для лагранжиана Х = Ло(аз + х) + р(х — а) Ь) трансверсальность по * для терминанта ! = Л1х(0) Х,в(0) = !МО>, Ва(4) = — !в(4> 4=Ь Р(0) = Л1, Р(4) = 0; Если Ло = О, то из а) р = 0 и из Ь) р = Л1 = Лагранжа оказались нулями. В залаче на минимум положим Ло = 1. Тогда р = ! — 4.
Из условия с) следует, что 41. Приияив максимума Паитряпща в общем случае 195 Из начального условия х(0) = 0 выводим, что С1 = О, а из условия непрерывности в точке ! = 2 имеем -2 = 1 — 4+ С2 со С2 — — 1. Таким образом, Докажем с помощью непосредственной проверки, что функция х поставляет абсолютный минимум в задаче. Возьмем функцию Ь б РС'([О, 4[) такую, чтобы х+ Ь была допустимой в задаче. Для зтого иапо взять функцию Ь, дпя которой [х + Ь[ < 1, Ь(0) = О. Имеем 4 в(й+ь) — в(й) = /((й+ь)'+ь+ь) и — /(й'+й) и= о о 4 4 4 4 4 = 2 / хЬ М + / Ь 4(! + / Ь2 М > 2 / хг(Ь + „( Ь ей о о о о о Интегрируя по частям в первом интеграле с учетом условий Ь(0) = О, й(4) = О, получим о о Пшютавпяя в последний интеграл найденную функцию х и разбивая отрезок интегрирования на два, имеем вбо Ь(!) > 0 при ! б [О, 2[, так как Ь(0) = О, и Ь > 0 при ! б [О, 2[ (т е функция Ь возрастает на отрезке [О, 2[ и, следовательно, неотрица- тельна) Итак, й б аьогп!и.
4 2 .=в1в1=11ввв1а-11~-цв~Х ((--в) + — -м+1) а- / [,~2 о о 2 19б 197 пнп ( — и — ри) = — й — рй з з ьо! — Ь 1! следует, что р(С) !. С.(С) — р(С)фь(С) = О Ч С б Т (2) с краевым условием В(к+Сг) — В(й) < О, р(С,) = — ф'(й(С,)). (3) т. е. х = С Е аЬошах: ][ й(С), С Д [т — а,т), (о, СЕ [т — а,т), Глава 4. Задачи оптимального управления Сз = (С- 2)] + /[ — — 4!+3) дС=2-2+( — — 2С'+3С)! =-4-. В задаче на максимум положим Ло = — 1.
Тогда из а) р = — 1 и нз Ь) р = 4 — С. Из условия с) й = й = огйп р = о!8п (4 — С) = 1, 0 < С < 4. Интегрируя, получаем х = С+ С. Из начального условия х(0) = 0 вьггекает, что С = О. Таким образом, х = С. докажем с помошью непосредственной проверки, что функция х доставляет абсолютный максимум в задаче. Возьмем функцию й Е РС'([О, 4]) такую, чтобы х+Сг была допустимой в задаче.
Для этого надо взять функцию Сг, для которой [к+Ц < 1 (оо ]! + Ь] < 1 оо — 2 < Сз < 0), Сг(0) = О. Как и при проверке экстремали на минимум имеем 4 о 4 о 4 В(й+ Л) — В(х) = 2 [ йСьйС+ [ Сг~ дС+ / ДдС = /(2+ Сь)СгйС+ / СгйС о о о о о Оба интеграла неположительны, поскольку в первом интегСхзле Сг < О, а 2+ й > О, а во втором интеграле Ь < О, так как й(0) = 0 и Сг < 0 (т.е. функция Сь убывает). Следовательно, Ячпч —— В(й()) = /(х +х)дС = ~(! -! С)дС = [С-1- — ) ~ = 4+ 8 = 12 2 о То, что й = С Е абзшах можно было бы получить и без непосредственной проверки из условия самой задачи. Разобьем исходный функционал на два интеграла.
Максимум ] х~ дС при ]х! < 1 достигается о 4 на [х[ = 1, а максимум / хой при ]х] < 1, х(0) = О, досппвется при о наибольшем возрастании функции х, т. е, при й = ! (оо й = С). $2. Принялв максимума в частном случае ф 2. Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принпипа максимума !3онтрягина для следуюшего частного случая задачи оптимальною управления — задачи со свободным концом и закрепленным временем: В(х(.) и()) = / Т(С х(С) и(С)) йС+ ф(х(С,)) — ппп (Р) й(С) - уг(С,х(С) и(С)) =0 Ъ С б Т, в(С) б П Ч С Е [Со, С~], х(Со) =хм де гг С К" — произвольное множество, Т С [Со С~] — множество точек непрерывности управления и( ).
Теорема. Пусть (й(),й(.)) — оптимальный процесс в задаче оптимального управления (Р). Функции у,Оз и их частные производные но х непрерывны в некоторой окрестности мнозкества ((С, й(С)) ] С Е [Со, С~]), декартово умнозкенного на П, а функция ф непрерывно дифференцируема в некоторои окрестности точки х(С~) (условие гладкости). Тогда выполняется условие оптимальности ио и: Т(С,х(С),и) — р(С)~р(С,х(С),п) > г(С) — р(С)ф(С) У С 6 Т, У и Е П, (1) где р — единственное решение дифференциального уравнения Отметим, что принцип оптимальности (!) с условиями (2)-(3) может быть выведен из необходимых условий оптимальности в обшей задаче оптимального управления, множитель Лагранжа Ло при функционале В оказывается равным единице, а условие трансверсальности по х(Со) не существенно. Доказательство.
Единственность решения уравнения (2) с краевым Условием (3) следует из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейных систем [АТФ, с. 191]. А) Игольчатые вариации. Зафиксируем точку т й Т, элемент е Е П и такое малое число а > О, что отрезок [т — а, т[ С Т. Управление 198 у(1) = фа(1)у(г)» 1 Е [т, 11] О Т (4) с начальным условием у(т) = (р(т, й(т), ») — ф(т) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
