Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда для функционала 1(х( )) = ! В !В имеем о ! ! ! 1(й+)з)-1(й) = ~(й+)з)'гй- ~й' и=2~О)згй+~Р и > 2~Ъйгй, о о о о о Интегрируя лважды по частям с учетом условий на функцию )з и условия трансверсальности й(1) = О, получим 1(й+Ь)-1(У) > 2/ й й = 2хй! -2)йо)Ь Л = -2йр)д! +2/ й< )й,й О о о Таким образом разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолютный минимум. Ь) трансверсальность по х для терминанта ! = Лзх!(0) + Лгхг(0) + Лз(х!(1) — 1) 1о,(0) = 1„!щ, 1о,(1) = — 1,,1!) е=ь р(0) = Л„ р(1) = — Лз, Ггч(0) = 1аз!о)1 1о,(1) = — 1,з1!) е=." 2Лохг(0) = Лг, 2Ло*'г(1) = 0; с) неотрицательность "о >О.
Если Ло = О, то из а) следует, что р = О, а из Ь) Л! — — Лг = Л = Р— все мнолпггеви Лагранжа — нули. Зтого не может быть. з = Положим Ло — — -'. Тогда нз а) хг = 0 о» х1") = О. Обшее решение: ! ! ! охи = ~й ггг = /( — 31+3) йг = 9 ~(1г — 21+1)зн — 31з 91г+91 ! 3 о Найдем абсолютный максимум в задаче. Возьмем последовательность допустимых функций х„(!) = й(1) + пз~(з — 1); тогда 1(хв(')) = /(х(!)+н(6! — 2)) зй- +оз прин- +со, о т.е. В =+со. 8 6. Заввча Лагранжа 180 Глава 3. Вариациоиное исчисление 6.4. Вывод уравнения Эйлера — Пуассона иэ теоремы Эйлера — Лаграиаса Вернемся к задаче со старшими производными: г(х(.)) = / Х(1,х(!),х(!),х(1),...,х (1)) (И вЂ” ! ехгг; х (!!) =х»1, У»=0,1,...,п — 1, ! =0,1.
Теорема. Пусть х Е ш!осех!гР, функции Тч2», Ь»,...,Ь !.! — ненргрывны в некоторой окрестности расширенного графика Г»»»гн Тогда Х т Е С ((1е, 1!1), х = 1,...,и, и вынолнгно уравнение Эйлера — Пуассона и» ~ (-!)' —,Х»в!(!) =О !У1Е'1!е,1!]. »=о Доквавтельотво. Приведем задачу со старшими производными к задаче Лагранжа, сделав замену переменных х» = х!" '1, к = !,..., и, $, » (1, х !, хг, х„, х„) гй — ехгг; Е» = х»в!, 6 = 1,...,п — 1, х»(1!) — х»- ! гп !с = 1,..., п, у = О, 1.
Здесь переменной является вектор-функция (х!,...,х„). Поскольку функция х доставляет локальный экстремум в задаче со старшими производными (Р), то вектор-функция (х!,...,х„) доставляет локальный экстремум в задаче Лагранжа (Р'). Выпишем согла~но теореме Эйлера — Лагранжа необходимые условия стационарности для лагранжи» вЂ” ! ана Х = Ле»(1,х!,хз,...,х„,х„) + 2„р»(х» — х»+!). Терминальную часть »=! функции Лагранжа, а также остальные необходимые условия экстремума, не играющие существенной роли в задаче с закрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования, не выписываем. Система уравнений Эйлера: — р, +ЛеХ„ с» — р»+ЛеХ*, Н вЂ” — ЛеХ»„+ !и =О, — р» ! — — О, 6=2,...,п — 1, д —" — — Ьв„+ Ьа„т — О, !с = 1,...,п Л»Х».
— р„, = О. Если Ле = О, то из системы уравнений Эйлера следует, что р„, = ... = р! — — О. Все множители Лагранжа — нули. Пусть Ле Р О. Положим Ле = 1. Выразим р„! из последнего уравнения и подставим в предпоследнее; провод~ эту процедуру для р„э,...,р!, придем в итоге к уравнению ЭКлера — Пуассона. 6.5. Задачи Лагранжа 6Л, / х~!й- ехгг; /1х!И=О, х(0) =1. о о т т 6.2, / Еэ!й — ехй; /хд! = 1, х(0) = 3. о о т т ! 6.3. / х'!й — ех!г; / хгй = —, х(Т) =1.
3' а о т » 6А. / х~д1- ехгг; / хз!п1 1=1, х(0) =О. о о ! ! 6.5. / хгй — ехгг; / й'1+ я 4И = — х(!) = О 2' о » ! /х~ сй — ехгг; х(0) = х(1) = О, х(0) = !. о е 6Л, /!'х~д!- ехгг; х(1) = — 1, а(е) =х(1) = е. ! 6.8. /(хэ — х ) гй -! ехгг; х(0) = й(а') = О, х(!г) = !. а 6.о. /(в»+ай~)!й — ехгг; х(0) =О, х(1) =э!!1, х(1) =с!!1. а »/2 640.
/(хэ — хэ)!й — ! ех!г; х(0) =х(0) = О, х -1 = !. х2г о 6.11. 2' — ех»г; /х гй = 1, х(0) = х(0) = О, х(Т) = 1. е ! ФТ 6,12. х(1) — ехгг; / Уэюй = 4, х(0) = х(0) = х(1) = О. о 182 Глава 3. Вариациониое исчисление Ответы к задачам главы 3 1.1. 1 — ! б аЬягнп; Я = 1; Я =+ос. 12 г 1.2. — — + — Е аЬв1п!п; Я = +оо. 4 4 Гз — 1 ! 1.3. — Е аЬып!п; Я = — —; Я =+оо. !2 !80' г — 14 1.4. — б аЬвщ!и; Я = +оо. впв» 1.5. !и ! б аЬяп!и; Я и = 1; Я = +оо. !п(1 + 1) 1.6. Е аЬып!и; Я,п = 1; Я =+со.
1п2 ЗР-1! 1.7. з Е аЬвпяа; Я = +оо. г!+1! !О1 1.8. тв'4+ ! Е аЬяп!и; Я =+со. (г — 2) 1.9. 4 Е вгг!Осгл!и; Я;и = -со; Я =+оо, (1 — 1) Е !Осехзг. 1.10. 2!и(!+ !) Е аЬвппп; Я =+оо. 1.11. 12 — Г Е аЬвппп; Я =+оо. 1.12. 1~ Е аЬвппп; Япвп = 3; Я „=+оо. сЬ! 1.13. — Е аЬвпип; Я,„,„= +со.
сЬ ! 1.14. (1 — !)ОЬ! Е аЬвппп; Я =+ос. 3 — вЬ2 1.15. (1 — !)вЬГ Е аЬвппп; Я и —— , Я „= +ос. 4 1.16, сов!6 аЬяп!п„'Я и — — 0; Я =+оо. 1.17, (! — — япв Е аЬяп!п; Я;и = — —; Я,„=+со. 2) 4' 1.18. !сов! б аЬяп!и; Я = +оо. 1.19. 4Г! 1 7Е аЬып!п; Я,„,„= +оо. 1.20. ъГ21 — Р б аЬЯп1п; Я = +оо. 1.21. Допустимые экстремали — цепные линни аида СсЬ вЂ” ', где конс сганта С отыскивается из условия на конце Сей с = с. Причем при тв в- > а имеются дее допустимые экстремали, при в. = а имеется одна зв ДОПУСтнМаа ЗКСтРЕМаЛЬ, ПРИ ь- ( а ДОПУСтиМЫХ ЭКС2РЕМапсй Нст, ГДЕ т, а определяется из системы уравнений а = вйт, т = сгЬт, Я = +оо.
Полробное исследование задачи содержится а книге (ИТ, с. 427). 1.22. Экстремаль записывается а параметрической форме следующим рп1етм к задачам глалы 3 !83 и'(! ) 1 и'(т — ыпт) + с. Константы а и с од- НОЗНачНО ОГ ыскиааются из начальных условий. Допустимая зкстремаль л оставляет а пип, Ьв ', Я = +Ос. Исследование задачи содержится в книге (АТФ, с.
1!3). 123 Экстремали, удовлетворяющие начальному условию ( ) = имеют аил х(, ) = (1,С) =С1+ 4 12. Константа С отыскивается из гранич- ного условия х(Тв) = С. Уравнение огибающей этого семейства имеет аид х = — ' — Л (а баллистике зта кривая носит наименование кривой безо- 4Ь наснасти!.
ричем при ). П ичем при 1 > -в — Л имеются дае допустимые экстремали, з' -4 — Л ПРН С = 4Ь р С = 4в — Л имеется одна допУстимая зкстремаль, при ( < 44— допустимых зкстремалей нет. В случае двух экстремалей верхняя (а осях г, — х), носящая название навесной, не дает локального экстремума, нижняя (настильная) дает сильный минимум. Я = +со.
2.1. — '— +з й !осехгг; Яы. = -оо (х«(!) = — и); Яыв = +оо. 4 2.2, ОЬ! Е аЬягип; Я = +ос. 2.3. е + в!и! Е аЬвппп; Я,„в= +ос. 2.4. ял1+ СОВ! й !ОСЕХГГ; Яп«п = — ОО (Хп(1) «в а П); Ядав« = +ОО. 2.5. СОВ! — ! К !ОСЕХгГ; Я„„п пп — ОО (Хп(!) = Н); Я = +СО. 2.6. (0,0) б !осехгг; Япап — — оо (хп(1) = (и, -и)); Я„,в„—— +со (х (1) = (и, п)). 2.7.
!п(Г+ !) — ! Е аЬяп!п; Я =+оо. 2.8. !1 + 21 б вьете!и; я. =+ . 2.9. !п1+ ! 6 аЬвпип; Я„„=+оо. — 4 /йв 2.10. Допустимые зкстремали: У1+ 1, т! з ' Я =+оо 2.!!. 2!п(1+ !) б аЬяп!и; Я„= +оо. 2 12. — -г- Е аЬвгп!п; Я,„= +оо. в! в+! 3.1. 0 й !Осехгг; Я м пп -со (хп(Г) = пв); Я =+со.
3.2. '=! Е а!жпип; Я =+оо. 4 З.З. (0 = — 21, Т = !) Е аЬвпип; Я«,1« — — 4; Я =+оо. 3 4, (0 = х41, Т = 1) б аЬвппп; Яым — — 8; Япп„= +со. 3 5. (й = О, Т = !) й !Осехгг; Я м —— -оо; Я„= +со. З.б. ~~0 = '- — 1+ 1, Т = 2) Е !Осехзг, Я„,п, — — — оо (х„(1) = ! — Г, Тп = и), 4 Я = +со. 3 7. в!п1+ сов! Е аЬяп!и; Я,„= +со. 185 О аегм к задачам главы 3 184 Глава 3. Вариаииоииое исчисление 3.8. (С вЂ” » — !) в!и! Е аЬяп!и; Ям,„= +со. 3.9. е' О аЬяпвп; Я„„» = +оо. 3.10. х = 2 ей Тей С, где Т единственное решение уравнения вЬ 2Т+ Т = 1. »В!- '! а! — ! а ав а:4 а.!2.
а= '\ а! — !,»=2: а 3.13. Допустимые экстремали — цепные линии вила Сей -', где кон- станта С отыскивается из условия на конце Сей -в = б. Причем при т с з- > а имеются две допустимые экстремали, при С- = а имеется одна т, допустимая экстремаль, при з- < а допустимых экстремалей нет, где а та определяется из системы уравнений а = айт, т = сей т; Я,» = +сю. 4.1. 322 — 42+1 Е аЬяпвп; Я и =4; Я,»=+ос. 4.2.
'2 ' Е аЬЯп!и' Ям!» = б; Яа!4» =+со 4.3. 601' — 962'+ 362 б аЬяп!п; Я„м — — 192; Я,» =+со. 4.4. сов! Е аЬяп!п; Ямм —— — ', Я,„,» = +со. 4.5. ' 2в"' 6 аЬятпи; Я„= +со. 4.6. 2е' ' — С + ! О аЬЯпвп; Я ;„ = 2е' + 2е — 3; Я = +со. 4.7. Се' 6 аЬвппп; Я,„,» = +со. 4.8. С Е аЬвпцп; Я,„= -; Я„,„=+со. 4.9, ха»25!иСвяС, Св Е !41; хЛв!пхС О аЬяп!и; Я„„„= вг; Ям,» а»+со. 4.10. С!сов!; Я,» =+ос. 4.11.
Допустимые экстремали — цепные линии вида хС(сЬ вЂ” — сЬ -~), 4 т ! где константа С > О отыскивается из условия 2СзЬ Га = !. Причем при с ! > 2Те имеются две допустимые экстремали, при ! = 2Тв имеется одна допустимая экстремаль 0 = О, при ! < 2Те допустимых экстремалей нет, , = +оо. 4 12.
(ЗС'-22, ЗС' — бС),(-ЗС'+4С, — ЗС') !2 !осехгг, Ям!» »вЂ” а -оо! Яма» = +оо. 5.1. — 22'+ЗС2 б аЬвпцп; Я и = !32; Я =+оо. 5.2. Са — 423+622 — 41+ ! Е аЬзппп; Я,» а»+со. 5.4. 5ЬС Е аЬяп!и; Я =+со. 5.5. — сЬСсовС О аЬвпни; Я, =+со. 5.6. С+ сов! б аЬзппп; Яма» = +ос. 5.7. сЬС 6 аЬвги!и; Я „=+ос. 58 Се' Е аЬяпвп; Я» =+со. 5,9. С !и С Е аЬяп!и; Я„;„= е; Я„= +со. 510.
13 баЬяпап. я . = Зб 9 =+со. Пз, 5 11. В!31 б аЬвш!п ' Яа!!а = 2 ' Я!»а» = +'-"3. 5!'-!5! !-В 6.1. — '' 'ы 0 аЬвппп; Я = +со. в 6,2, У = 3 Т = 1 Е аЬяп!п; Я ,„ = О, (х = ЗС~ — 61 + 3, Т = !) к " ('= =-) 1/ !осехвг; Я .„= +сю. 6.3. 0=1,Т=С) баЬвппп; Ям=О, (У=С,Т=1)б!1осехгг; " ('=' =-)" -"' - = 3/ Я»!໠— + СО. 6.4. — (С+яиС) Е аЬяп!и; Я „=+со. 3» 2 6.5. — а/! — С б аЬЯпш; Яы„— — 4! »Г! — С Е аЬЯпах; Яа!»» 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
