Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда для любой функции Л Е Со([го, 1~[) по условию леммы должно выполняться равенство ь (а~(1)Ь(1) + ао(!)Л(Ф)) дг = / а~(Ф)Л(1) де+ / Ь(1) др(1) = а ь ь ц ь ь =/а~(1)Л(1) Ж+Л(1)Р(Ф)[ — Р(1)Л(1)дг =/ (а~(1) — р(1))Л(1) гй = О. (2) ь л ц ц Возьмем функцию Л(1) = [ (а,(т) — р(т)) дт. Тогда Лл = а, — р и ц Л Е Со([Фо, Ф~ )). Действительно, равенство Л(го) = О следует нз определения функции Ь, равенство Л(1~) = О вытекает в силу выбора функции р: ь Л(1,) = /(а!(1) — р(ь)) гй = О.
Значит для функции Л должно выполь няться равенство (2), то есть /(а1 — р) <М = О. Отсюда следует, что ь д а!(Ф) = р(1). Таким образом а~ Е С'([го, 1<)) н — — а~(Ф) + ао(1) = О. <И Лемма Дюбуа-реймона, а вместе с ней и теорема доказаны. Мы сформулировали теорему для одномерной простейшей задачей кяасснчсского варнационного исчисления. Аналогично ставится векторнао задача и формулируются необходимые условия экстремума. Пусть х(!) = (х~(1),...,х„(1)) — и-мерная вектор-функция, инте- грант Е = Цг,хо...,х„,хн...,х„) — функция 2п+ 1 переменного.
Рассмотрим задачу Е(1, х~ ... х„хо... х„) гй — ехгп гь х,(1;) = хб, 1 = 1,..., и, у = О, !. Необходимые условия экстремума в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйлера Доказательство теоремы в векторном случае тривиально редуцируется к одномерному случаю. 1.5. Иитегралы уравнения Эйлера Если интегрант Е = Щ х, х) не зависит явно от одной из переменных, то уравнение Эйлера сводится к более простым уравнениям.
!. Если интегрант Ь = Щх) не зависит явно от х, то имеет место интеграл цинульса л ь(1) = сопок 2. Если ннтегрант Е = Е(х,х) не зависит явно от 1, то имеет место интеграл энергии (оба названия интегралов взяты из классической механики) х(1)Хл(1) — Х(1) = сот|о!. Для доказательства интеграла энергии достаточно продифференцировать последнее равенство по 1 и воспользоваться уравнением Эйлера: д ЕЬл+Š— Ть — Д.Š— Е,Е=О л=ь -хь! — — Ьл+Е,~ =О. Заиечаиие.
Отметим, что при выводе интеграла энергии мы использовали дополнительное предположение о существовании второй производной х. Интеграл энергии имеет также лишнюю экстремаль й(1) = соим. П стоящая задача КВИ 150 Глава 3. Вариацнонное исчисление 1 Т.
Задачи 1.б. Примерьо ! Пример Г. Х(х(.)) = ( фз зи — пцп; х(О) = О, х(1) = 1. о Уравнение Эйлера: х = О. Общее решение: х = С!1+ Сз. Из начальных условий находим единственную допустимую зкстремалгк х = 1. Докажем, что она доставляет абсолютный минимум в задаче, г.е, и = 1 Е а!иш!и. Для этого надо показать, что Х(х( )) > Х(х(.)) лля любо» допустимой функции х, или Х(х+ Л) > Х(й) для любого Л Е Со([0, 1!), Действительно, ! ! ! Х(0+Л) -Х(й) = /(й+Л)'а- / й'!и = 2~ й И+~Лза > о о о о ! ! ! > 2/ хЛ зи = 2 ~ййЛ = 2хЛ~ — 2 ! Ж ги = О, о о о о Таким образом разность всегда неотрицательна, то есть имеем абсолют- ный минимум.
Пример й з!з Х(х()) = / (й — х )ги пз!и; х(0) =х( — ) =О. 2 о Уравнение Эйлера: и+х = О. Общее решение: а = С! ьйпг+ Сзсоо1. Из начальных условий находим единственную допустимую экстремалгк й = О. Покажем, что она не доставляет локального минимума, т. е. й К и1оспип. Рассмотрим последовательность функций х,(1) = — „о!и —.
Очевидно, ! ° з! что х, — лопустимые функции и х„- х в метрике йросгранства С'((О, 1)), но при этом з~гз 1 Г 4 з21 з21 1Зя 4 Х(х„()) = — ~ (- оз — — о!по — ) и = — — (- — 1) < 0 = Х(х()). о Получили„что значение функционала на х„меньше„чем на х, значит х не доставляет слабого локального минимума. Из этого примера видно, что уравнение Эйлера — необходимое, но не достаточное условие экстремума. х з,и - ех~г; х(0) = 1, х(1) = ' о ! 12. (хз — х) !и -+ ек!г, х(0) ы х(1) = о ! 1.3. Х *' 3 !(аз+!я)ег- ехгг; х(0) =х(1) = о ! гзх) о!1 — ек!г; х(0) = х(1) = о 1.5. 1хз лг — ек!г; х(1) = О, х( ж 1.
! ! (1+ 1)х~ 41 ехгг; х(0) = х( ) о з / (1з 1)хз 41 - ехгг; х(2) = О, х( ) з ! 1.8. / хзхз,и — ехгг; х(0) = 1 х( ) о 4/3 1 зи - екгг; х(0) = 1 ./ хз о ! 1,10 / е'хз зи — ехгг; х(0) = О, 1 =1п4. о ! 1 И ~(хз+ хх+ 121х) и екгг. х,,— хо =х1)=0. о ! /(1з з+12х)!и- ехгг; х( з= з О =О х(1)=1. о Глава 3. Варнаанонное исчисление 152 1.13. /(х + х ) дг — «ехгг; х( — 1) ш х(1) — 1 — « 1 1.14.
/(х +х +4хзЬГ)йт-«ехгг; х(0) = — 1 х(1) = 0 о 1 1.15. ~ (и + х + 4х сй 1) га — ехгг; х(0) = х(1) = О. / .з о »/з 1.1б. 1 (й — х )йà — ехог; х(0) = 1, хг — 1 = О. »/з 1.17. /(х — х + 4хсоаг) дй — ехгг; х(0) = хгà — ) = О. о »/2 1.18. /(х~ — хз — 4хип1)га - ехГП х(0) = х( — 1 = О. о нз о 1 1.20. ~ тгг~+ И- Н т, 1.2!. / хт«Т[+ хздт - ехог; х( — То) = х(То) = С (задача о минимальной поверхности врашения).
1« т/1+ хз 1.22. дг- ехгг; х(1о) =хо, х(1~) =х~ (хо > О, х~ >0) (задача о брахистохроне). т, .23. / ъ/х+ л~/ч +х м — ехгг; х(0) =О, х(то) = г (ь > 0) о (задача о стрельбе). 52. Задача Вольна %2. Задача Больца 153 2.1. Постановка задачи Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве С'([1о, 1~]): В(х(.)) = / Б(1, х(1),х(1)) дГ +! (х(го), х(1«)) ехгг. (Р) Здесь 1 = Б(г,х,х) — функция трех, а1 =1(х(1о),х(1«)) — функция двух переменных.
Задача Больна — элементарная задача классического варнационного исчисления. Функционал В называется фун~ционалом Больна, функция 1 — термииантом. Любые Функции класса С'([го, 1,)) являются допустимыми в задаче. 2.2. Необходимое условие экстремума Теорема. Пуста функция У доставляет слабый локаяьный экстремум в задаче (Р) (й Е ч»1осехггР), функции Х «Б, Б» — непрерывны в некоторой окрестности расширенного графика Гл: = ((1,2(1),й(1)) [1 Е [1о, 8~]) (Ы,», Ь» Е С(О(ГеД)), функция 1 — непрерывно дифференцируема в окрестности точки (У(го),У(1~)) (1 Е С'(О(х(го),й(1,)))). Тогда Х» непрерывно дифференцируемая функция (Хь Е С ([го, 11))) и выполнены а) уравнение Эйлера — — Х»(1) + Х»(1) = 0 ~ 1 Е [1о, 1~]; Ь) условия трансверсальности Х.(го) = 1ыьь Хл(1,) = -С.(ць Доказательство.
Возьмем произвольную, но фиксированную функцию И 6 С'([1о, 11]). Поскольку х Е 1осехггР, то функция одного переменного «р(Л): = В(й() + ЛА()) = г« = [ Б(1,й(1) + лл(1),й(1)+ лл(1)) и+1(й(г,)+ лл(г,),й(1,)+ лл(1,)) Определение. Говорим, что допустимая Функция й доставляет слабый локальный минимум в задаче (Р), и пишем х Е «н1осгп! и Р, если сушествует б > 0 такое, что В(х()) > В(х()) для любой допустимой функции х, для которой [[х(.) — У()[[~ < 6. !54 Глава 3.
Вариациоияее исчисление Р'(О) = „~(Хо(1)л(1) + Х,(1)л(1)) б1 +1,ь>и(1о) + 1.ООИ(1,) = О 'Ф И Е С ([1о, 1~ ]). (!) Раяенство (!) выполи олняется для любой функции Л Е С> п1, 1 и для функций И Е Со([1о 1~]). Сле ([ о, 1~]), а значит о о, ~]). Слеловательно, из (!) вытекает, что ь (Ьо(1)и(1) + Ь~(1)и(1)) й = О У Л Е Со|([1о, 1Д).
155 б 2. Задача Больца 2.3. Многомерньой случай Мы сформулировали теорему лля одномерной задачи Больца классического вариациониого исчисления. Совершенно аналогично ставится векторная задача Больца и формулируются необходимые условия экстремума. Пусть х(1) = (х1(1),...,х„(1)) — и-мерная вектор-функция, инте>рант Ь = Ь(1,хп...,х„,хн...,х„) — функция 2п+ 1 переменного, терминант 1 = 1(х~(1о), х„(1о), хю(1~),..., х„(1~)) — функция 2п переменных. Рассмотрим задачу г,(1 х, .,х„,хп...,х ) бт+ ( (1 ) „(1 ),х,(1,),...,х„(1~)) ехгг. Отсюда по лемме Дюбуа-Реймона функция Х, Е С'([1о 1 и в ется дифференциальное уравнение ([1о, 1~]) и выполня- ббг о()+Х~(1) =О т16 [1о 1~1 — уравнение Эйлера. Для завершения доказательства тео мы остал енин (оно стало возможным в силу доказанно Хо(1) Е С ([1 А ])): у доказанного включения l — * ~"-,~ — о() .
ь и (1)Л(1)бо = ~ Хо(1)аи(1) — Хо(1)л(1)]ь /Л ь ь Подставляя пол е уч нное выражение в соотношение (>) и доказанное уравнение Эйлера, ера, получим ( ) и учитывая уже ь р'(О) = ~ ( — — Х (1) + Х,(1)) и(1) а + ь +(Хо(1,)+1.В>)л(1,)+ (-Хо(И)+1МЬ>)л(1,) = = (Х(1ь)+1.>ь>)Л(11)+(-Хо(>е)+1з<в>)л(1о) = О у Л Е С'([го,,!). о, 1~]) (2) Подставляя в (2) последовательно Л(1) = ! — 1~ и Л(1) = 1 — 1, п е По о = — ~ и Л(1) =1 — 1о придем ма ~~~~~ ~ж~на о — 1 В > и.бо(1~) [ Укажем на необходимые изменения при формулировке условий экстремума для векторного случая.
Необходимые условия экстремума в векторной задаче Больца состоят из системы и уравнений Эйлера б1 — — Хи(1) + Х,,(1) = О, 1 = 1,..., и, и системы 2п условий трансверсальности Х,.(1о) = [~,сц>, Хо,(1~) = — [ бь>, 1 = >,...,п. Доказательство теоремы в векторном случае тривиально редуцируется к одномерному случаю. Действительно, фиксируем у вектор-функции *(.) = ((х,( ),...,х„()) компоненты кроме х;(). Тогда функционал Больца будет зависеть только от одной функции х;(): В(х,(.)) = В((й~('), „,,о;+,(),х;(),И; 1(),...,х„()).
А для одномерного случая необходимые условия экстремума — уравнение Эйлера и условия трансверсальности по х;( ) уже доказаны. Кшкдое уравнение Эйлера — дифференциальное уравнение второго порядка — содержит при интегрировании две константы. Всего — 2п констант интегрирования.
Для их нахождения у нас есть 2п уравнений— условий трансверсальности. В таком случае, когда количество неизвестных совпадает с количеством уравнений лля их нахождения, мы говорим о лоляоте набора условий лля нахождения экстремали. Как правило, во всех наших задачах мы имеем полный набор условий лля определения неизвестных. 157 42. Задача Болыга 156 Глава 3. Вариаииоииое исчисление 2.5.
Задачи Б пд 2А. Прнаеер ! В(х(.)) = [(х~ — х) 4!+ хз(1) — ехгг. а Необходимые условия: а) уравнение Эйлера 4 — — Т . + б . = 0»=ь 2х + 1 = 0; Ж Ь) условия трансверсальности А«(О) = 1«я, Ь (!) = — ! О! е«««х(0) = 0 х(1) = х(1). р Общее решение уравнения Эйлера: х = — -„+ С~1+ С2. Из условий трансверсальности находим, что С~ — — О, С2 = 2. Таким образом, имеется единственная допустимая экстремаль х = =.
Покажем, что э-р она доставляет абсолютный минимум в задаче. Действительно, если Ь Е С ([О, 1[), то ) 1 ! В(й+ Ь) — В(х) = / 2йЬ 41+ / Ь2 41 — / Ь 41 + 28(1)Ь(1) + Ь (1). е о о Интегрируя по частям и учитывая, что х удовлетворяет уравнению Эйлера 2х + 1 = 0 и условиям трансверсальности х(0) = О, 8(1) = — х(1), ! а также отбрасывая неотрицательные члены / Ь2 Ж! н Ь2(1), получим е В(й( ) + Ь(.)) — В (й( )) ш 28(!)Ь(1) ~ — /(2Й(!) + 1) Ь(!) 4! + е ! + „~ Ь'(1) 41 +2х(!)Ь(1) + Ь (1) > г(й(!) + й(1)) Ь(!) — 28(О)Ь(О) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
