Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В самом деле, левая и правая части этого равенства, как нетрудно видеть, представляют собой решение одной и той же задачи Коши (8), (9), соответствующее управлению аи+(1 — а)о. Отсюда и из единственности решения задачи (8), (9) следует равенство (25). Далее, с учетом выпуклости функции д(х) =,' х — у ~с переменной х ен Е" и равенства (25) имеем ,7 (аи + (1 — а) о) = ! х(Т, сси + (1 — а) о) — у," =- =)а(х(Т, и) — у)+(1 — а) (х(Т, о) — у) /с( (а /х(Т, и) — у!с+(! — а) 'х(Т, о) — у/с= =а/Ь)+(1 — а) 7(сс), асв10, >', и, о~Ус((о Т~. Выпуклость функции ) (и) усгановлена. 34 Согласно теореме 6 тогда условие (24) является и до- статочным для оптимальности управления и= и, (1) в за- даче (7) — (10). Условие (24) перепишем в виде т ппп $ (В (1))р(1, и„,), и(1)) ..с(1 = исс)ь и с, т = ~ (В (1) ф (1, и.„), и„(1)) г, с)1.
(26) со Если ввести функцию Гамильтона — Понтрягина Н (х, и, 1, )р) = (ср, А (1) х+ В (1) и+ ) (1) ), то условие (26) можно записать в так называемой форме интегрального принципа минимума: т ппп ~ Н(х(1, и ), и(1), 1, )р(1, и )) с(1= исосви с т =~ Н(х(1, ич), и, (1), 1, ф(1, ич))с(1. с Если множество (1 имеет вид и=(и=и(1) ен1,'(1)ь Т]: и(1) ~ У почти всюду на 11)ь ТЯ, (27) где У вЂ” выпуклое множество из В', то из (26) имеем ппп (В (1)ф(1, и„), и) =,(В (1))Р(1 и„), и„(1)), и~т 1, ~1== Т.
Взяв здесь вместо ф(1, и„) функцию ( — )Р(1, и„)), получим принцип максимума Понтрягина для задачи (7) — (10), (27). Заметим, что в теореме 6.3.1 из [4) принцип максимума был доказан для более общей задачи оптимального управления без предположения выпуклости множества У. С другой стороны, условие (26) справедливо для всех выпуклых множеств (1 из 1.',(1„Т), необязательно имеющих вид (27).
Отметим, что формула приращения (22) на самом деле означает, что функция (7) дважды дифференцируема на 1.с '11ь, Т) так как ) Лх (Т) )~ = )схх (Т, и, ))) )' является квадратичной функцией переменной Ь, порожденной сима* Л5 метричной ограниченной билинейной функцией (Лх(Т, и, й,), Лх(Т, и, й,)) переменных й„й,. При необходимости можно выписать и явную формулу для оператора Г(и)еп е= ~(1- [1о Т) И[та Т]), порождающего квадратичную функцию ~ Лх(1, и, й) !'. Для этого нужно воспользоваться формулой Коши х(1, и)=Ф(1, 1,) ха+~ Ф(1, т)[В(т)и(т)+)(т)]ит (28) для решения задачи (8), (9), где Ф(1, т) — матрица порядка лхп, определяемая условиями — — =А(1)Ф(1, т), 1е(У, т~Т, Ф(т, т)=Е, (29) Š— единичная матрица порядка их л.
Из (28) следует Лх(1, и, й) =] Ф(1, т)В(т)й(т) г(т. Тогда !Лх(Т, и, й),а=- э т =~ ~ (В (т)Ф (Т, т)Ф(Т, (с)ВЯ) йЯ), й(т)).,гРйт, так что Г'(л) =-l" (и; т, $) = =В'(т)Ф'(Т, т)Ф(Т, РВ(Р, 1, 1, .Т. (3О) Кстати, с помощью матрицы Ф(1, т) можно получить следующее представление для решения задачи (13), (!4): ф(1, и) =2Фт (1, Т)(х(Т, и) — у), 1,(1-=Т. (31) Заметим, что формулы (28), (30), (31) весьма полезны для теоретических исследований задач оптимального управления, связанных с системой (8), но при численном решения таких задач они применяются крайне редко из-за трудностей в определении явного выражения ма~рицы Ф(1, т) из (29).
Поэтому для приближенного решения задач Коши (8), (9) и (!3), (14) на практике обычно используют разностные методы. 8. Кра1ко остановимся на задаче (3), когда множество У задается ограничениями типа равенств или неравенств. Зч (33) где и енУ„а переменные )ь=().„..., Х,), называемые множителями Лагранжа, принадлежат множеству Л =(Л=()ч, ..., Л~) еБЕ: Эя)0, ..., ) 0). Определен не 8. Точку (и„„Л*) ен УьхЛь называют седловой пгочкой функции Лаграйжа (34), если 1,(и„, ))«Е(и„, Х*) =.1,(и, Ль), ив=(/м ХенЛь. Л е м м а 3.
Для того чтобы точка (и„Л') ен 1>ьхЛв была седловой точкой функции Лагранжа (34), необходимо и достаточно, чтобы вььяолн>!лись следуоьцие условия: 1. (и, Э.ь) «Е(и, )*) ьгри всех и ~ Уь', Хвд;(и,) =О, ь'=1, в; и, ~(l. Доказательство этой леммы проводится дословно так же, как и доказательство аналогичной леммы 4.8.1 из !4]. В следующей теореме дается достаточное условие оптимальности в задаче (32). Т е о р е м а 7. Пусть (и„„Х') ен (/ь х Ль — седловая точка функции Лагранжа задачи (32).
Тогда ,/л =Ь(ьь„, ),')=У(и„), и, е=()ь, т. е. печка ич гаь,г>!гася,оеиьнием задачи (32). Докаьатсльсьво проводятся дословно так >ке, как и доказательство аналогичной теоремы 4.8.1 из 14]. Сначала рассмотрим задачу У(и)- ьп1; и~У, (I = (и ен (/;. уь (и) = О, ь' = 1, т; дь (и) = О, ь = т+ 1, в), где (7,— заданное множество из банахова пространства В, фУнкции г'(и), дг(и), ..., йь,(и) опРеделены на Уь. БУдем предполагать, что у.„=(п1 У(и)) — со; и (l, = (и ен У: ./ (и) = У„) ~ ((>. Для формулировки необходимых и достаточных условий оптимальности введем функцию Лагранжа задачи (32): Я Б (и, )ь) = 7(и) + 'Я )чиь(и), (34) ь=! Как известно (см.
пример 4.8.1 нз «4«), даже в конечномерных задачах выпуклого программирования функция Лагранжа может не иметь седловой точки. В следующей теореме приводятся условия существования седловой точки для случая, когда в (32) отсутствуют ограничения типа равенств. Теорема 8. Пусть множество (/е выпукло, функции /(и), дг, (и), (=1, т, выпуклы на (/а, множество (/=«ивн(/,: дгг(и)(0, (=1, т) (35) /(и)-+(п(; игн Г/=(и~в(/ьг уг(и)~0, г'=1, пц Р(и) О), (36) где (/а †заданн множество вз банахова пространства В, фуннцин Л (и), гг(и), ...
гы (и) определены нз Уь, à †отображен, дейст. вующее нз просгранства В в некоторое банахово пространство 1' Заметим, что задача (32) являешься частным случаем задачи (36), когда г =В' ", Р(и)=(атю(и), ..., дг(и)). Будем предполагать, что для задачи (36) выполненй условия (ЗЗ) Введем функцию Лагранжа задачи (36): Х(и, Ла, Л, с)=Ль/(и)+Лгут(и)+...+Лтум(и)+(с, Г(и)), где и гп(гь', Лг — вещественные числа, 1=0, и; с~ Уь. Теорема 9. Пусть функции л (и), дг(и), ..., Вы(и) выпуклы на В, Ц,— выпуклое множество из В, а отображение Рг В-г-)г является аффинным, т. в.
Р(и)=Аи+уь, АтХ(В-ь)г), уеду Тогда для любой точки и, гп (/ь суигвствуют нв равные одновременно нулю мно. жители Лаграйжа Лв)0, Лв)0, ...,Ль ~0, с' гв 'г'* такие, ято Х(иь, Лв, Л', с') ппп о(и, Ль, Л', с'); аыи, Лгуг(иь)=0, г=1, т. (зу) удовлетворяет следуюи(ему условию регулярности: существует точка йен(/, пгакая, что рд(и)(0 при всех (= = 1, т. Кролге того, пусть для множества (35) выполнены условия (33).
Тогда для каждой точки ив е=(/ необходимо существуют множители Лагранжа Л* = (Л;, Л') ~Ло — «Лен Еы: Лт=»О, ..., Л ) О) такие, что пара (и„, Лв) образует седловую точку функции Е(и, Л) = т = г (и)+, 'Лткг(и) в смысле определения 8. с=г Доказательство этой теоремы ничем не отличается от доказательства аналогичной теоремы 4.8.2 из «4«.
Приведем формулировки двух теорем, дагоших необходимые условия оптимальности для задачи Если, кроме того, образ множества (]г при отображении и -ьР(и) содержит окрестность нуля пространства У и существуе]п точки й т (7 такая, что Р(и)=0, дг(б) < О, 1=1, т, то Лв) О (можно принять Л,*=1). В последнем случае условия (37) являются также и достаточнйми для того, чтобы и щ (I . Примером эадачн вида (36) является рассмотренная выше задача оптимального управления (7) — (!0]: в ней ограничения типа дг (и) ей О отсУтствУют (т=О), отобРажение Р; Л'[(ь, Т]- Нл[]ы Т) описывается задачей Коши (8), (9) нлк (11]. Прнмеяяя теорему 9 к задаче П) — (10), можно получить условия (24). Для формулировки следующей теоремы нам понадобятся понятне днфференпнруемого отображения, обобщающего определение 1. Оп р еде ленке 9.
Пусть В, 1' — банаховы пространства, пусть отображение Р:  — У определено в окрестности 0 (и, у]= (о: о ш В, ]с — и]<у) точки и Говорят, что отображение Р дифференцируемо в точке и, если существует оператор Р'(и) щ Х(В -ь 1') такой, что Р (и+ И) — Р (и) = Р' (и) И+ о (И, и), где !!о(И, и)]г/]И]л-ьО прн ]И[в-ьО. Оператор Р'(и) называют производной отображения Р в точке и. Простейшим примером днфференцнруемого отображения может служить аффннный оператор Р(и)=Аи+у, А гм Х(В-ь У), у чн У.
Теорема 1О. Пусть в задаче (36) (го=В, функции г'(и), уг(и), ..., д (и) и опюбражения Р(и) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности елочки иг гн (]г, причем производная Р'(и) отображения Р непрерывна в точке и, и образ пространспма В лри отображении и- Р' (и,) и замкнут. Тогда существуют не ровные одновременно нулю множители Лагранжа Лгч)0, Ц)0, ..., Л* )О, с' гм У' такие, что Х„(и~, Лвг, Л", с")=Л*у' (и )-]- ~ Лгу~(и )+(Р' (и ))'се=О, г=! Лгйг(и,)=0, г=1, т. Если, кроме того, образ значений оператора Р'(и,) совпадает с У (т. е. для любого у щ У найдется точки и щ В, удовлетворяющая условию Р' (и,) и=у) и сущгствует такая точка й щ В, ипо Р'(й,) й= = О, (йг (и ), й) < 0 для пых г, 1 ~ 1 ( т, для которых уг (и ) = О, то Л," ) 0 (можно принять Л,*=1), Теоремы 9, !0 представляют собой обобщение аналогичных конечномерных теорем нз Я 4.8, 4.9 [4].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
