Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доказательство этих теорем, а также другие теоремы такого тяпа можно найти в [1, 91, 100, 137, 138, 140, !44, 188, 189, 207, 209, 232] 9. Напомним, что прн доказательстве теорем нэ Я 4.8, 4.9 [4] были существенно использованы теоремы отделимости 4.6.1 — 4.6.3 [4]. Аналогнчные теоремы отделнмостн играют важную роль прн нсследованнн условий оптимальности в задаче (36) н во многих других вопросах выпуклого анализа в банаховых пространствах. Приведем одну нз танях теорем. Сначала напомним определенна отделяющей н опорной гнперплоскостей. О и р е де л е н н е 10 Пусть М н Н вЂ” два мно кества нз банахова пространства В. Говорят, что гиперплосьость (с, и)=7 отделяет 89 множесяюа М и Л), если (с, а) «у при всех а я М и (с, Ь) <Т при всех Ь ш Л', нли, иначе говоря, выполняются неравенства энр (с, Ь) (у< 3п! (с, а).
ьын гым Если ьнр (с, Ь) < !и! (с. а), то говорят, что инолкгства М и Л! ьшн аши сююно отделена. Если (с, Ь) < (с, а) при всех и ги М, Ь ш Л1, то говорят о с!прогал! отделении этих множеств. О и р е д е л е н и е 11, Пусть Х вЂ” »шожество из банахова пространства В, точка у ш Л вЂ” замыкание Х в метрике В Гнперплоскость (с, и) =у вазывают торной к множеству Х в точке у, если (с, к) «у при всех к си Х и (с, у)=-у Иначе говоря, опорная гнперплоскость отделяет множество Х и то !ку у. Теорем а !1. Пусть Л1, )1 — выпуклою множества из блана!ова пространства В, причем ий М вЂ” л!ножгство гнутрснник точек множества М непусто и 1п1 М П 1«'= ф Тогда с!лиусгпв!лет гипсрплоскость (с, и) =у, разделяющая эти два множества, а также ик замыкания М и ЛГ, т.
е. (с, и) «.Т=-(с, о) при осек и ен Л1, о я Л! При этом, если М, лч' имеют общню граничную точку у, то у = = (с, у) [11, 200[. В теореме 11 в отличие от аналогичной конечномерной теопечы 4.5.2 из [4[ требуется условие !п1 М Ф Ук Приведем примеры, пока. зывающне существенность этого условия для справедливости тео. ремы !1. ! Пример 6. Пусть У=~и=(ил, .„, и", ...)гз!»! [ия,< —, и' и=1, 2, ...~ — «гильбертов кирпич» Г!окажем, что это множество не имеет внутренних точек. Возьмем произвольную точку и = =(и', ..., и", ...) я У. Положим е=(е', ..., е", ...), где е" = = з!цп ия)па, п=!, 2, ...; 1!2 < а < 1. Так как [[е [г= ~ ! е" !з = .=! О» п з" <со, го ели!. Возьмем точку и+ее, где е)0 Для и=! каждого в)0 найдется номер Л!=Лг(е) такой, что [и"+ее"!= =[и'»[+ел а«вп-и)п ' прн всех п)Л1.
Это значит, что и+ + ее Ф У при всех в ) О. Таким образом, 1п1 У= ф, т. е. У состоит лишь нз граничных точек. Далее, множество у выпукло. В самом деле, если [ин [<а.г, [о" [<и ", и=!, 2, ..., то [аи" +(! — а) оа !<и ! при всех и=!, 2, ..., 0<и<1. Отсюда следует, что если и, ошУ, то пи+ +(1 — а) о !и У при всех а, 0<я<1. Выпуклость У доказана. Геометрические представления о выпуклых множествах «нодсказывают» нам гипотезу о том, что через любую граничную точку выпуклого множества, по.видимому, можно провести опорную гиперплоскость. В евклидовом пространстве Еа эта гипотеза подтвердилась †[4[ была доказана теорема 4.5.1.
Посмотрим, справедлива ли зта гипотеза для «гильбертова иирпича» Возьмем любую точку о=(ол, ..., о", ...) гж У такую, что [о" [<п ', п=1, 2, ... (например, о=-0). Предположим, что через агу точку можно провести опорную гнперплоскость к множеству У, ЯЭ т. е существуют вектор с=(с>, ..., с", ...) ~0, с гы 1», и число у такие, что (с, и) гву при всех и ш(«и (с, о)=у.
Так как с~О, то со чь 0 для некоторого л — 1. Возьмем вектор е=(0, ..., О, еп = = — з!йпсо«л — о", О, ...) я 1, Так как [оп-[-еп! =л >, то о-[-е гы У, и поэтому должно выполняться неравенство (с, о-1-е) си у. Однако (С, о+Е) =у+(с, е) = у+спЕп= у — [сп [ л-> — сноп(у — [оп [ л->+ .1- [ сп ! , 'оп [ = у — [ оп [(л ' — [ оп )) ( у. Противоречие. Следовательно, множество (« и ее граничная точка о неотделимы Это значит, что ие через всякую граничную точку рассматриваемого множества !/ можно провести опорную гиперплоскость Таким образом, высказанная выше гипотеза в банаховых пространствах, вообще говоря, неверна. Для ее справедливости согласно теореме 1! нужно еще потребовать, чтобы выпуклое множество имело непусту>о внутренность.
Рассмотрения>й пример таки«е показывает, что условие >п! М = 3 в теореме 1! существенно. Любопытно заметить, что через любую точку ю=(ю>, ..., юп, ...), имеющу>о хотя бы одну координату юп, ! юп [=л >, можно провести опорную гиперплоскость к «гильбертову кирпичу». Достаточно взять с=(0, ..., О, с" = — Мйпюп, О, ...) ~ О, у= — л ', и получим (с, и>) = у, (с, и) = — ип з!йп ю и ) — ! и" ! св у для всех и >ы у.
Пр имер 7. Пусть («= [и=и(1) гп 1» [О, 1[: [и (1) [(1 почти всюду на [О, !)). Покажем, что множество У не имеет внутренних точек в Ег [О, 1). Возьмем любую функцию и=и (1) >м ««. Положим еь (1) й й>14 при 0 (1(1«й, еь(1) =0 при 1«й < «( 1, 1=1, 2, Ясно, что и(1)+ее(1)=и»(1) ~(l при всех й) 16, так как [иь(1)[~ 'е>(1) [ — [иь(1) [)2 — 1=1 при 0~1=1«й, А) 16. В то же ВрЕМя [>из (1) — и (1) [« — — [[ЕЬ (1) [[« —— й 1 -ь О Прн Й-ь Оэ.
Эта ЗНаЧИт, что л>ножество У ие ймеет внутренних точек. Очевидно, множество (« выпукло. Покажем, что не через всякую точку из (> можно провести опорную гиперплоскость. Возьмем, например, о=о (1) =О, Допустим, ! что существует с=-с(1) ш !»[О, !), с(1) ~0, что (с, и)« —— ~с(1) х Х и(1) д« ) (с, о) =0 для всех и ~ У. Возьмем и,=иг(1) = = — з!йпс(1).
Ясно, что и„>к У, поэтому должно быть (с, иг) =.О. 1 Однако (с, иь) = — ~ ! с (1) [ д« ( 0 Противоречие. Следовательно, множество (/ н точка о=-0 не могут быть отделены гиперплоскостью. Приведем формулировку еще одной теоремы об отделимоста выпуклого множества и точки Те о р ем а !2. Пусть М вЂ” выпуклее замкнутое множество из бана. ози пространства В, п>очка у не принадлежит М. Тогда множество М и точка у сильно отделимы. 1О. 1(ак видим, многие на>киме понятия теории экстремальных задач, такие, как понятия градиента, второй производной, выпуклого множества, выпуклой функции, отделяющей гиперплоскости и т, д., представля>от собой естественное обобщение соответствующих понятий, введенных для конечномерных евклидовых пространств Е" Это означает, что многие утверждения, сформулированные и доказанные в [4[ (см главы 2, 4) для пространства Е", остаются верными и в любых банаховых пространствах.
Примерами таких у>вер>кдспий являются приведенные выше формулы конечных приращений для диффереицируемых функций, а также теоремы 1 — 5. В то же время, как показывают теорема 11 и примеры 6, 7, такая аналогия имеет место далеко не всегда: имеется немало утверждений, справедливых в конечномерном пространстве Е", но не имеющих аналога в общих банаховых и гильбертовых пространствах.
Это значит, что теоремами, приведенными в [4) в главах 2, 4, можно пользоваться при исследовании экстремальных задач в конкретных банаховых или гильбертовых пространствах лишь после тщательной проверки того, что они верны и в рассматриваемом пространстве Еще раз возвращаясь к примерам 6, 7, заметим, что в банаховых и гильбертовых пространствах огделимость выпуклых множеств может быть гарантирована при более жестких ограничениях, чем в конечномерном пространстве Е".
Это обстоятельство приводит к тому, что ряд важных результатов теории экстремальных задач, опирающихся на конечномерные теоремы отделимости, не имеет аналога в банаховых и гильбертовых пространствах. В частности, нак свидетельствует следующий пример, в задачах оптимального управ. ленка, у которых фазовое пространство является гильбертовым пространством, принцип максимума, сформулированный в [4) в главе 6 для задач с фазовым пространством Е", в общем случае не имеет аналога. Пример 8. Пусть управляемый процесс описывается системой уравнений [96[ Я1 (1) = иг(1), ! ) О; х' (0) = О, ! = 1, 2, ..., (38) где и! (1) — ограниченные измеримые на каждом конечном отрезке 0(1( Т, 1=1, 2, ..., функции.
Под решением системы (38), соответствующим управлению и=и(1)=(и'(1), ..., и" (1), ...), 1)0, будем понимать функцию х(1, и)=(х'(1), ..., х" (1), ...), 1) О, где с х! (1) =к!(1, и!)=~и'(1) й, 1>0, 1=1, 2, ..., такую, что х(Е и) сы при всех 1) О. Это значит, что фазовым пространством системы (38) является гильбертово пространство 1,. Пусть У=(и=(ах, ..., иа, ...) щ (з: ! и' [(17й-)-!/лз, й=1, 2, ...). Рассмотрим задачу быстродействия: найти управление и=и (1) ~в У, 1) О, такое, чтобы соответствующее ему решение х(1, и) системы (38) удовлетворяло условию х(Т, и) =х1=(1, 172, 1/3.....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
