Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Эта теорема доказывается так же, как аналогичная теорема 2.1.1 из [4]. Для применения теоремы ! к конкретным задачам минимизации полезно иметь критерии компактности в наиболее часто встречающихся в приложениях функциональных пространствах. Например, в пространствах С (6), 1,р(6), 1 ( р ( со, где 6 — ограниченное замкнутое множество из Е", критерий компактности может быть сформулирован так: замкнутое множество У в этих пространствах компактно тогда и только тогда, когда 1)множество (1 равномерно ограничено, т. е. зцр!,'и, '( со; и 2) множество (1 равностепенно непрерывно, т. е.
для любого е)О найдется число 6)О такое, что зцр [и(Е+ Ы) — и(!)[(е идти для всех (, (+й(~6, (й(! 6; здесь ]и[ означает норму пространства С(6) или Т.р(6), 1 = р(оо. Доказательство этого утверждения, а также критерии компактности в различных других функциональных пространствах читатель может найти в [!1, 35, 67, 169, 204), некоторые критерии компактности будут обсуждаться ниже и ч 2.2.
4У В евклидовом пространстве Е' множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Доказательство этого факта существенно опирается на известную теорему Больпано-- Вейерштрасса, согласно которой из любой ограниченной последовательности (иь) ен е= Е" можно выбрать хотя бы одну сходящуюся подпоследовательность.
Однако, как показывает пример !.1, такая теорема е метрических пространствах, вообще говоря, неверна. По этой причине, оказывается, в метрических пространства.. замкнутости и ограниченности множества, вообще говоря, недостаточно для его компактности. Покажем это на примерах, П р и м с р 1. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, Н = (и ~ Н: (ьЦ ( Ц вЂ” единичный шар в Н, пусть (е„)— некоторая бесконечная ортонормировапная система н Н. Из последошыельности (е„) е:- У нельзя выбрать подпоследовательность, сходящуюся к какой-нибудь точке в метрике Н.
В самом деле, в примере 1.! было установлено, что (е„) сходится к нулю слабо в Н. Поэтому, если бы из (е,) удалось выбрать подпоследовательность (е, ), сходящуюся к точке е в метрике Н, то обязательно имели бы е=О и !!ш !еи 1=[е)=0. Однако это невозможно, т- со так как [е„)=-1 при всех й=1, 2, ... Таким образом, шар в любом Гесконечномерном гильбертовом пространстве Н не может быть компактным в метрике Н. Пример 2. Пусть У=(и= и(() = — У „[О, Ц: !и(!) !~ ! почти всюду на [О, Ц). Это множество не является компактным в метрике 1,[0, Ц. В самом деле, возьмем последовательность иь = ьш пМ, 0 < ! ( 1, А = 1, 2, В примере 1.1 было замечено, что (иэ) — э-0 слабо в У.,[0, Ц.
Но,', ил(= !/!Г2, 2=1, 2,..., поэтому из (и,) нельзя выбрать последовательно.ть, которая по норме Е,[0, Ц сходилась бы к нулю. Следовательно, Н некомпактно в метрике ь',!О, Ц. П р и м е р 3. Множество Н = ! и — и (!) ~ С [О, Ц;,' и (!) ~ ~=. 1, 0= 1*== Ц вЂ” шар в С[0, Ц вЂ” некомпактно в метрике С[0, Ц. Это может быть доказано с помощью тех же рассуждений, которые проводились в предыдущем примере, с учетом того, что из сходнмости в метрике С [О, Ц следует сходимость в метрике 7.,[0, Ц. 2.
Заметим, что множества, подобные рассмотренным в примерах 1 — 3, часто встречаются в прикладных задачах оптимального управления. Отсутствие свойства компакт- ности этих множеств пе позволяет применять теорему 1 для доказательства существования оптимального управления в таких задачах. Поэтому желательно иметь такие теоремы Вейерштрасса в бапаховых и гильбертовых пространствах, которые не требуют компактности множества в метриках этих пространств. Для формулировки таких теорем введем несколько понятий, связанных с понятием слабой сходимости в банаховом пространстве. О и р е д е л е н и е 4.
Множество 1/ из банахова пространства В называется сл<ьбо компактным, если из любой последовательности (ил) в- =(/ можно выбрать хотя бы одну подпоследовательность (иь„), которая слабо в В сходится к некоторой точке о ен (/. Определение 5. Функцию,/(и), определенную на некотором множестве (/ из баиахова пространства В, называют слабо полунепрерывной снизу (сверху) в точке и =- (/, если для любой последовательности (ььь) ен (/, которая слабо в В сходится к точке и, имеет место неравенство 1!пь /(и,)==/(и) (!пп У(иь) =/(и)). Функция / (и) называется слабо полунепрерывной снизу (сверху) на множестве (/, если опа слабо полунепрерывна снизу (сверху) в каждой точке и ~ (/. Функция У(и) называется слабо непрерывной в точке и ен (/ (на множестве (/), если она слабо полунспрерывна снизу и сверху в точке и (на множестве (/).
Примеры слабо компактных множеств и слабо полунепрерывных функций будут приведены ниже. О и р е д е л е н и е 6. Пусть  — банахово пространствс. Скажем, что последовательность <ил) ~ В сходится к множеству (/ слабо в В, если (иль< имеет хотя бы одну слабо сходящуюся подпоследовательность, причем все точки о, являющиеся слабым пределом какой-либо подпоследовательности последовательности (ил), принадлежат (/. Теорема 2. //усть (/ — слабо колтактное множество из банахова пространства В, функция /(и) определена, конечна и слабо полУнепРеРывна сниэУ на (.ь.
Тогда /э = = ьп(/(и) — оо, множество (/ =(и св (/: /(и) =,/э) и непусто, слабо компактно и любая минимпз ьрующая последовательность (и„) слабо сходится к (/ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную минимизирующую последовательность (и„): ил ~ У, юг=1, 2, ... ...,1пп У(и,) = У„.
Так как (l — слабо компактное мног оо жество, то (иг) имеет хотя бы одну подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой точке из 1/. Пусть и, ~ (7 †од из таких точек и пусть подпоследовательность (иг )слабо сходится к ил. Пользуясь определением нижней грани и слабая полун;прерывностью функци;, имеем ,7„( г' (и,) 1пп,( (иг ))= Игп /(и„) =,),„, т.
е. ((и,) = 7,„. Отсюда следует, что 7,„) — со, С~ Кроме того, показано, что любая точка и„являющаяся слабым пределом какой-либо подпоследовательности последовательности (иг), принадлежит 1/ч. Это значит, что (иг) слабо сходится к Сl„,. Остается доказать, что У слабо компак1но. Возьмем произвольную последовательность (о,) ~ У,. Так как (о„) ен У вЂ” компактное множество, то существует подпоследовательность (о„), слабо сходящаяся к некоторой точке о, ен У. Но У(о,) = 7„, й=1, 2, ..., поэтому (о~) — минимизирующая последовательность.
По доказанному (о„) слабо сходится к У„, поэтому о ~ (l„. Это значит, что множество У слабо компактно. Теорема 2 доказана. 3. Для удобства пользования теоремой 2 желательно иметь набор сравнительно легко проверяемых достаточных условий слабой компактности множеств и слабой полуиепрерывности снизу функций в банаховых пространствах. Приведем несколько таких условий. Определение 7. Множество (1 из банахова пространства называется слабо замкнутым, если оно содержит любую точку, явля1ощуюся слабым пределом какой-либо последовательности (и,) ен У.
Т е о р е м а 3, Всяког ограничгнног слабо замкнутое лгножгспко из рефлексивного банахова просгпранства слабо компактно. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в 12001, стр. 34. Поскольку проверка слабой замкнутости множества не всегда проста, то на практике вместо теоремы 3 может оказаться более удобной следующая 60 Теорем а 4. Всякое ограниченное замкнутое выпуклое множество У иэ рефлексивного банахова пространства В слабо компактно, (Подчеркнем, что в этой теореме замкнутость множества понимается в сильном смысле, т. е. в смысле метрики В, — это обстоятельство часто облегчает проверку условий теоремы 4 в приложениях.) Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (ие) ен У, слабо сходящуюся к некоторой точке и. Покажем, что иенУ.
Через М обозначим множество всевозможных конечных выпуклых комбинаций точек и„и„..., им ... Согласно теоремам 4.1.7 и 4.1.2 из [4), которые сохраняют силу и в банаховых пространствах, множество М и его сильное (в метрике В) замы. канне Л также выпуклы. Так как (/ выпукло и замкнуто, то М а Л: — У. Покажем, что и ен Л. Допустим, что и ф М. Согласно теореме 2.12 тогда множество Л и ~очка и сильно отделимы. Это значит, что найдется элемент сенВ', сэьО, такой, что (с, и)<у= |п( (с, о)((с, о) е~М для всех о ~ Л.
В частности, поскольку ие ен Л, то (с, и) ( у ( (с, и„) при всех й = 1, 2, ..., что противоречит слабой сходимости последовательности (и,) к точке и. Следовательно, и ~ Л с= У. Тем самым установлена слабая замкнутость множества У. Кроме того, У ограничено по условию. Согласно теореме 3 тогда (/ слабо компактно. Приведем примеры слабо компактных множеств в пространстве /.,'(6). При мер 4. Пусть У=(и=и(/) =(и'(/), ..., и'(/)) ен ~/.э(6): ((и — и(ы=(~(и(/) — й(/)('й/)"(/г) — шар радиуса )х' с центром в заданной точке и=и(/).
Возьмем произвольную последовательность (и„) ен У, сходящуюся к точке о=о(/) по норме /.,'(6). Тогда )о — й)(.'о — ил(+ +(и,— й(((о — ил((+/х, /г=1, 2, ... Отсюда при й со получим, что ,'(о — й((/с, т. е. о~У. Замкнутость множества У в метрике /.;(6) установлена. Нетрудно видеть, что У выпукло и ограничено. Согласно теореме 4 множество У слабо компактно. Аналогично доказывается, что в любом гильбертовом пространстве шар слабо компактен. Пример 1 показывает, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве шар не может быть сильно компактным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
