Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 5
Текст из файла (страница 5)
26 Последовательность (ил) ен У называют минимизирую- и(ей (максим лируюи(ей) для функции ( (и) на множестве У, если 1!гп У(и,)=Х ('!!гп г(ил)= У"). Ь со 'се со Пусть У вЂ” множество из метрического (например, банахова) пространства, р (и, о) — расстояние между точками и и о в этом пространстве.
Точку о„ен 0 называют точкой локального минимума (макспмума) функции 7 (и) на множестве У, если существует число а) О такое, что г'(о„) « «у(и) [у(о„) )((и)) для всех и ~(7 П (и: р(и, о*)(а)= = Оо(о„а). Если при некотором а)0 справедливо неравенство )(о„) ( У(и) (У(о,)) ((и)) для всех ив= в=Оо(о, а), и~=о, то о„называют точкой строгого локального минимума (максимума). Точки ио е= У, часто называют точками глобального минимума функции ) (и) на множестве У. Выпуклая функция на выпуклом множестве не может иметь локальных минимумов, отличных от точек глобального минимума.
Точнее, верна Теорема 3. Пусть У вЂ” выпуклое множество избанахова пространства В, а функция 7 (и) определена и выпукла на У. Тогда всякая п1очка локального минимума / (и) одновременно является точкой ее глобального минимума на У, приче,ч множество У выпукло. Если Х(и) строго выпукла на У, то У, содержит не более одной тики. Доказательство проводится дословно так же, как доказательство аналогичной теоремы 4.2.1 из [41. 6. Как и в конечномерных экстремальных задачах, с помощью первых и вторых производных смогут быть сформулированы необходимые и достаточные условия экстремума функций на множествах из банаховых пространств.
Теорема 4. Пусть функция 3(и) задана набанаховом просгпрансп|ве В и пусть /(и„)=г'„=(п(й(и). Если в ,)(и) дифференцируема в точке и, то необходилю выполняется равенство ,7' (и„,) = О, (4) а если ((и) дважды дифференцируелса в точке и„, пю необходимо ,/'(и ) =- О, ((" (и,) е, е) ) О, е ен В. (5) 227 До к а з а т е л ь с та о. Возьмем произвольный элемент в~В и в (!) положим и=и„, 5=Ге, — со(!(+со. Так как в точке миним)ма Ь,((и„) = 1(и„+(е) — 1(и„)- — О, то из (!) следует 0( (Г(и,) е) (+о(0 прп всех 1, где )ни о (()!( = О. Поделив это неравенство сначала на с-о ()О, затем на ((О н устремив г к нулю, получим (У(и,), е)=0 для всех еенВ, что равносильно условию (4).
Если )(и) дважды дифференцируема в точке и„ то из (2) при и=и„й=(е " учетом уже доказанного равенства (4) будем иметь 0==. М (и„)=(Г'(и„) е, е) Р!2+ +о(гэ). Отсюда, деля на (~0 и устремляя (- О, придем к второму из условий (5). Как видим, условия (4), (5) представляют собой обобщение известных необходимых условий минимума функций конечного числа переменных. Нетрудно видеть, что эти условия необходимы не только для глобального, -о и локального минимума функций на банаховом пространстве.
Любопытно заметить, что, в отличие от конечно- мерных задач в банаховых пространствах, условия Л (и„) =О, (у" (и„) е, е) )О, е~О не являются достаточными для локального минимума (см. ниже упражнения б, 7). Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия минимума гладких выпуклых функций на выпуклом множестве. Те о р ем а 5.
)7усть (7 — выпуклое множество из банахова пространства В, / (и) ~ С' ((э) и пусть (/„= = ~и е= (I:,) (и) = .),„= (и(,) (и)~ — множество решений заи дачи (3). Тогда в любой точке и„~ У„необходимовыполняется неравенство (Г(и„), и — и„) гьО при всех и ен(7, (6) которое в случае и, ~ )п! В эквивалентно равенству ,)'(и„)=0. Если, кроме пи~го, Х(и) выпукла на (/, то условие (6) является достаточным для того, чтобы и в=У,, Доказательство этой теоремы проводится так же, как доказательство аналогичной теоремы 4.2.3 из [4]. Если А — самосопряженный неотрицательный оператор, то для функции )(и) из примера 2 условие (6), которое здесь имеет вид (Аи„— Ь, и — и,) )0 при всех иен(/, является необходимым и достаточным для того, чтобы 2 (и) 28 достигала в точке и, своей нижней грани на выпуклом множестве (l к Н; если (1 = Н, то это условие равносильно условию Аи,=Ь.
Пусть в примере 3 В =Н вЂ” гильбертово пространство. Тогда согласно теореме 5 условие (А*(Аио — Ь), и — ио) )О, и еи(l, необходимо и достаточно для того, чтобы функция из примера 3 достигала своей нижней грани па выпуклом множестве О ы Н в точке и; если (/=Н, то это условие эквивалентно равенству А" Аи, = А*Ь. Далее, из теоремы 5 и результатов примера 4 следует, что о |о !2 l (и) = ~ ( ) А (з, 1) и (1) |11 — Ь (з)) г(э с 'а достигает своей нижней грани на множестве У=(.о(а, Ь) в точке и = и, (1) ен Ло(а, Ь] тогда и только тогда, когда и,(1) является решением следующего интегрального уравнения Фредгольх а первого рода Ь || ~ ~ ~ А (э, $) А (э, 1) о(з ) и (1) с(1 = ~ А (з, 2) 1 (э) о(э, а !с с а($(Ь.
7. Как увидим ниже, условие оптимальности (6) применимо к широкому классу задач оптимального управления. Здесь мы для иллюстрации ограничимся рассмотрением следующей простейшей задачи оптимального управления: минимизировать функцию ,((и) = ! х(Т, и) — у!аа (7) при условиях х(1)=А(1)х(1)+В(1)и(1)+~(1), 1о(1 =Т, (8) х (1о) хо (9) и = и (1) еи () ~ ('о (1о' Т) (10) где А (1) = (ау (1)) — матрица порядка и ма, В (1) =(Ьг| (1))— матрица порядка п хг,,с(1) =(1|(1)) — матрица порядка и х 1, т.
е. и-мерный вектор-столбец; моменты времени 1„Т, а также точки х„у ен Еа заданы; У вЂ” заданное множество 29 из !.'о[(„Т]; х(1, и)=х(!)=(х'(!), ..., х" (!)) — решение (траектория) задачи (8), (9), соответствующее управлению и=и(!) =(и'(!), ..., и'(!)) ~ !.;[(„Т]. Будем предполагать, что элементы ау(!), Ьу(!), !)(!) матриц А (!), В (!) и соответственно ! (!) кусочно непрерывны на отрезке [(„Т] (или принадлежат !., [(,, Т]). Тогда согласно теореме 6.1.2 из [4) прп каждом и = и (!) ен ~1.;[(„Т] существует, и притом единственное, решение х(1, и) задачи (8), (9). Напоминаем (см. определение 6.1.1 в [4]), что п)раекторией — решением задачи (8), (9), соответствующим управлению и= и(!) е= 1.с ,[р„Т], называется непрерывная функция х((, и), !о(! Т, удовлетворяющая интегральному уравнению х(1, и)=)(А(т)х(т, и)+В(т) и(т)+р(т))от+хо.
(11) !, Согласно теореме 6.1.2 из [4] функция х(1, и) абсолютно непрерывна и почти всюду иа [(„Т] удовлетворяет уравнению (8), ее производная х((, и) принадлежит !..",[1,, Т], а также справедливо равенство (9). Таким образом, функция (7) определена при всех и= и(!) он !о[1„Т]. Задача (7) — (10) имеет простой физический смысл; среди всех траекторий задачи (8), (9), соответствующих всевозможным управлением сс ~!/, ищется такая, правый конец которой удален от заданной точки у иа возможно меньшее расстояние. Эта задача тесно связана с так называемой проблемой управляемости, заключающейся в выяснении того, существует ли хотя бы одно управление и=и ~(l, для которого правый конец траектории х(Т, и„) совпадает с данной точкой у.
И если в задаче (7) — (10) окажется, что существует управление и„= и„(!) ен ен У такое, что У(и ) = 1п17(и) = е', =О, то такое управ. и ление решает проблему управляемости. Покажем, что функция (7) при условиях (8), (9) диффереицируема на 7.; [(„Т]. Для этого нам понадобится следующая Лем м а 2. Пусть функции ср (!), Ь (!) неотрица)пельны и непрерывны на отрезке 1,( !(Т, а=сонэ(. Пусть ср (!) ( а ~ ср (т) йт+ Ь (!) (о < ! = Т. 30 Тогда 0 ~ р (1) < а с) Ь (т) е'<'-"' Нт+ Ь (1), 1, ( 1 ~ Т. В частности, если Ь(1)=Ь=сопз1)0, то 0 =.<р(1)~ ~Ье'и ">, 1,"=1(Т. Если же т 0 ==.
ор (1) = а ) ор (т) о(т+ Ь (1), 1о ( 1 ( Т, 1 т О ( ор (1) == а ~ Ь (т) го<'-'~ о(т+ Ь (1), 1о (1( Т, и при Ь(1) =Ь =сонг()0 имеем Оа р(1) Ь~т- >, 1, 1 Т. (13) (14) (здесь Ат, Вт — транспонированные матрицы А, В). Функция (7) при условиях (8), (9) принадлежит классу Со 'на Е~[1о Т[, т. е. [/ (и) — Г(о),с, (Е" и — о[с„ (15 где А,„= знр (А(1)(, В,„= знр )В(1)[. и<~~т и<с<т Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные управления и, и+6 енЦ[1м Т) н соответствующие им решения х(1, и), х(1, и+Ь), 1,(1( Т, задачи (8), (9). Обозначим Ьх(1)=х(1, и+Ь) — х(1, и), 1о(1~Т.
Из (8), (9) сле- 31 Локазательство приведено в [4), см. лемму 6.3.1 из [41. Теорема б. Пусть матрицы А(1), В(1),7(1) кусочно непрерывньл на отрезке [1о, Т). Тогда функция (7) дифференцируема во всех точках и е= Е'„[1о, Т) и ее градиент имеет вид .1' (и) = /' (1, и) = Вт (1) ор (1, и), 1о(1-== Т (12) где ~р=ор(1, и)=(~р,(1), ..., ор„(1)), 1о==1(Т, является решением задачи от (1, и ) = — А т (1) зр (1, и), 1о ( 1 ( Т, ЯТ, и) = 2 (х (Т, и) — у) дует, что Лх(!) является решением задачи Коши Лх (!) = А (!) Лх (Г) + В (!) Ь (!), )о( )~Т, Лх((о) =О, (16) или с учетом (11) ! Лх (!) = ~ (А (т) Лх (т) + В (т) й (т)) о(т, ь оооо ~ Т Тогда , 'Лх (г) ' ==" А „~ ' Лх (т) ! от + В,„~ ~ й (т),' о(т. Отсюда с помощью леммы 2 получим т ~ Лх(!) ~ В е тох( о) ~!)г(т) ~ Дт (о ~ ! ~ Т. (17) т т ~,1/2 Так как ~ ,'Й!!),'иг((Т вЂ” (о)'~'~~ ,')г(!),"й), то из (!7) и ь следует оценка ! Лх(!) ! ~ Сг(й х„ )о «! ~ Т (18) где С,=(Т вЂ” го)итВ,„е~ ""(т ').
Приращение функции (7) имеет вид Л,7(и) = 7(и+А) — /(и) =,,'х(Т, и)+Лх(Т) — у!о— —,'х(Т, и) — у,"=2(х(Т, и) — у, Лх(Т)),+ +,' Лх (Т) ~ао (!9) Покажем, что т 2(х(Т, и) — у, Лх(Т),'' ° =~ (Вт(!)ф(), и), й(!))в,г)1, (20) где оР(), и) — решение задачи (13), (!4). Заметим, что под решением задачи (13), (14) в соответствии с определением 6.1.! пз )4) здесь естественно понимать непрерывную функцию ф(Г, и), удовлетворяющую интегральному зв уравненшо т ф(Е, и)=) Аг(т!фгт, в)От+2(х(Т, и) — у), (21) Ев~ Е Существование и единственность решения задачи (13), (14) доказывается так же, как в теоремах 6.1.1, 6.1.2 из 14).
Функция ф(Е, и) абсолютно непрерывна, почти всюду на ~Ем Т! удовлетворяет уравнению (13) и начальному условию (14). Поэтому, учитывая условия (13), (14), (16), имеем 2 (х(Т, и) — у, Лх(Т)) = Еф(Т, и), Лх (Т)) = т г = ~ — (ф(Е, и), Лх(Е))е(Е=~ ((ф, Лх)+(ф, Лх))г(Е= ь ь т = ~ ((ф А Лх+ В)е) — (А гф Лх)) г(Е = т = ~ (В (Е) ф (Е, ), й (Е)> ЕЕ. Равенство (20) доказано. Подставляя (20) в (19), получим т ЛЕ(и) =$ (Вг(Е) ф(Е, сс), 6(Е))в,г(Е+/Лх(Т) >~. (22) Сравнивая формулу (22) с (1) и учитывая оценку (18) при ( =Т, приходим к выводу, что функция (7) дифференцируема на Е,.',(Е„Т) и ее градиент представим в виде (12).
Докажем неравенство (15). С этой целью положим Лф(Е)=ф(Е, и) — у)(Е, о). Оценим /Лф(Е)!. Из равенства (21) имеем т !Лф(Е) ~= ~ А (т) Лф(т)е(т+2Лх(Т))( т : = А,„( ~ Лф(т) )ах+2 ~х(Т, и) — х(Т, о)(. Отсюда с помощью леммы 2 и оценки (18) получим )Лф(Е)! 2е~спах( о) ~х(Т и) х(7' о)!( .- 2„~~пах(' ~ВАС (и о ~ (23) 2 Ф. и, васнл~ев за Из формулы (12) следует, что г т ! Г (и) — 7' (о) ',ь = ~ 1Вг (1) Лф (!) !с с(! ( В ',„~ Лср (!) !с Ж сю !и Подставляя сюда оценку (23), придем к неравенству (15). Теорема 6 доказана. Таким образом, для вычисления градиента функции (7) в некоторой точке и =и(!) ~Е.;()„Т) сначала нужно решить задачу Коши (8), (9) и определить х(1, и), затем подставить найденное значение х(Т, и) в (14) и, решая задачу Коши (13), (14), определить ф(с, и) и, наконец, по ормуле (12) найти ('(и). помощью градиента нетрудно написать условие оптимальности в задаче (7) — (!0) для случая выпуклого множества У.
А именно, если в точке и = и, (!) ен У функция (7) при условиях (8) — (10) достигает своей нижней грани", то согласно условию (6) необходимо выполняется неравенство г $ (В (1) ф ((, и, ), и (!) — и,, (!))а, с(! ) 0 сс при всех и=и(!) ~ (/. (24) Покажем, что функция (7) прп условиях (8) — (9) выпукла на Ь'„(бь Т). С этой целью заметим, что х(У, аи+(1 — а) о) =ах((, и)+(1 — а)х(1, о), (ч ~ ! ( Т> (25) при всех и, о енЕ,''!1„Т! и всех вещественных а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
