Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. А*= А, то )'(и) == Аи — Ь. П р и м е р 3. Пусть  — банахово пространство, Н— гильбертово пространство, Л я Х (В - Н), Ь ея Н. Рассмотрим функцию з' (и) =,', Аи — Ь "и, и е= В. Имеем .((и+ Ь) — 2 (и) = 2 (Аи — Ь, ЛЬ)и+! АЬ (й = = (2Л*(Аа — Ь), Еа+(А "Ай, Ь.,'а, где А* сна(Н- Вб) — оператор, сопряженный к опера- тору А. Отсюда следует, что У(и) ~ С'(В), причем з" (и) = 2А" (Аи — Ь).
Пример 4. Пусть 4 /б ,7(и) =~ ДА(а, () и (() Ж вЂ” Ь(а),'г(а, с а гд Ь() (.,,'с, 1, А)э, 1) —.(,(Е, гг=)(а, () Вб: о-=ам й, а(((Ь). Пользуясь теоремой Фубини [11, 1571, 30 имеем ,) (и -(- й) — ) (и) = 2 с) 1 с) А (з, О и (О ссс— а а ,с 1с — Ь(з)) $ А (з, Е) й Я) с($с(з+ $~$ А (з, ~)й (() сУ) с(з= а 'а э 1 /Ь 1(а1аа, сс(1са, а чан-см)а!сасс-~ а с а а а /а + ~ ~ ~ ~ А (з, () А (з, с) с(а ) й (1) й (а) сс( И$. Отсюда следует, что ) (и) непрерывно дифференцируема на Ь,(а, Ь], причем с( )=21Ас, а(1Аа, а сай — с(а1сц, с а Предлагаем читателю вывести эту формулу, пользуясь результатом примера Ь. и Пример б. Пусть У(и)=~Е(и(())Ж, где Р(и) — иеа прерывно дифференцнруемая функция одной переменной и енЕ', а и= и(1) я С(а, Ь).
Тогда 1(и+й) — у(и) =$Р'(и(1))й(1) г((+ о(й, и), а где о(й, и) =) (г"'(и (()-)-а (()й (()) — Г (и(1)))й(1) й. Так а как Р' (и) непрерывна, то при й",с-э О будем иметь Р' (и (1) + а (() й(()) — Е' (и(()) — О равномерно по(~(а, Ь1. Тогда о (й, и)/~ й 1с ~ ~ , 'г"' (и (() + 0 (1) й (1) ) — Р' (и (1)) , 'й -а- О а прн, й с — «О, Таким образом, У(и) дифференцируема на С(а, Ь). Другие содержательные примеры дифференцируемых функций, связанных с задачами оптимального управле- ния процессами, описываемыми обыкновенными диффе- ренциальными уравнениями, разностными уравнениями и уравнениями с частными производными, будут рассмот- рены ниже, 21 2.
При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах могут быть использованы также и вторые производные. 0 п р е де л е н и е 3. Пусть  — банахово пространство и пусть функция 1(и) определена в некоторой у-окрестности 0(и, у) точки и ев В. Говорят, что функция 1(и) двтйды дифференцируема в точке и, если приращение Л1(и) = 1(и+й) — 1(и) можно представить в виде б1=<1'( ) й>+2 (1" ( )й, й)+а(К ), (2) где 1'(и) — градиент функции 1(и) в точке и; оператор 1" (и) ~ Х( — В"), порождающий симметричную билинейную функцию (1" (и) и, г), и, г е= В, называют второй производной функции 1(и) в точке и; квадратичную форму де1 (и) = (1" (и) и, й) называют вторым дифференциалом этой функции в точке и; а(п, и)/(й)е-~-0 при ~й) — О.
Функция 1(и) называется дважды непрерывно дифференцируемой на множестве (1~ В, если она дважды дифференцируема во всех точках и~(1 и 11" (и+й)— — 1" (и)1- 0 при (й)-нО при всех и, и+и ~ К Множество всех функций, непрерывно дифференцпруемых на У, будем обозначать через С'((1). Нетрудно видеть, что функции из примеров 1 — 4 дважды непрерывно дифференцируемы на рассматриваемых пространствах, причем вторая производная функции из примера 1 имеет вид 1"(и) = 2Е, где Š— единичный (тождественный) оператор на Н; в примере 2 1" (и) = = (А+А*)12 в примере 3 1" (и) =2А*А, в примере 4 1" (и) = 2~ А (в, () А (в, $) йв, с 3.
Если функция 1(и) ен С'(У) или С'((1) и точка и+(й принадлежит У при всех (, О ((( 1, то функция ~ (О = 1 (и + Й) переменной ( принадлежит С'(О, 11 или С'(О, 1) соответственно, причем ~'Я=(1'(и+1й), Ы, )" (()=(1" (и+Я)Ь, й), 0==.(==. 1, и, кроме того, справедливы следующие формулы конечных 22 приращений: ./(и + Ь) — l (и) = 1 = ~ (1' (и+1Ь), Ь) с(1 =(/'(и+9,Ь), Ь) о = (/' (и), Ь) + 2 (/" (и+ 9аЬ) Ь, Ь), (/'(и+и) — У'(и), Ь) =(ам(и+8аЬ) Ь, Ь), где 0(9о 9ь, 8а(1.
Эти формулы вытекают из опре- делений 1 — 3 и доказываются дословно так же, как аналогичные формулы (2.3.1) — (2.3.4) из !'4). В частности, если 1/ — выпуклое множество, то эти формулы верны для любых и, и+Ь ен 1/, Определение 4. Множество (/ из линейного про- странства называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя своими точками и и о и отрезок (и, с] = (и,„= ао+ (1 — а) и, 0 = а ~ 1), соединяющий эти точки. Определение 5. Пусть 1/:-'В и функция У(и) принадлежит С' ((/). Скажем, что градиент Г (и) этой функции удовлетворяет условию Липшицп на множестве 1/ с константой 1.~0, если 1/'(и) — /'(о) )в*=1,(и — о)в при всех и, вен(/. Класс таких функций будем обозна- чать через С' '((/).
Функции из примеров 1 — 4 принадлежат классу С" на рассматриваемых пространствах, причем в примере 1 1.=2, в примере 2 1,=(А 1, в примере 3 1.=2(АаА)== (2(А)Р, в примере 4 /ь ь/л ~ 1/э 1.=2 ~ $ $ Д А (з, 1) А (э, 5) с(э~ й$с(/) !а а с ьв ~2~ ~ А'(в, 1) ь(вс(1. ас Лемма 1. Пусть (/ — выпуклое множество из В, 1(и) в= Сьл ((/).
Тогда ( У (и) — У (о) — (/' (о), и — о) ~ ( 1, ~ и — о (ь/2 при всех и, о ~(/. Показательство проводится дословно так же, как доказательство аналогичной леммы 2.3.1 из 141. 229 4. При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах важную роль играют такие понятия, как выпуклая и вогнутая функция, строго выпуклая, сильно выпуклая функция. Определение 6. Функция У(и), определенная на выпуклом множестве У, называется выпуклой на этом множестве, если У (ии+ (1 — а) о) еь У (и) + (! — а) ) (о) при всех и, оенУ и всех ага(0, !). Если в последнем неравенстве равенство возможно только при а=О и а= 1, то функция У (и) на:ывается строго выпуклой на У. Функцию / (и) называют вогнутой (строго вогнутой) на выпуклом множестве У, если ( — г'(и)) выпукла (строго выпукла) иа У. Примерами выпуклой функции на баиаховом пространстве В являются аффинная функция У(и) =-(с, и)+сь, где се=В', и=сопз1, и норма У(и)=~!и!в.
Определение 7. Функция г(и), определенная на выпуклом множестве () из гильбертова пространства И, называется сильно вььчуклой на У, если существует постоянная х ) 0 такая, что .7 (аи + ( ! — а) о) ==. аз (и) + (1 — сс) У (о) — а (1 — а) и)и — о ф при всех и, о ~ (/ и и ен(0, 1). Постоянную и называют константой сильной выпуклости функции У (и) на множестве У. Очевидно, сильно выпуклая на У функция будет выпуклой и даже строго выпуклой на (/.
Примером сильно выпуклой функции на Н может служить функция .'(и)=) и)й=(и, и)н, и енН; для этой функции перавенство из определения 7'превращается в тождественное равенство с константой и= 1. Приведем несколько критериев выпуклости и сильной выпуклости гладких функций. Теорема 1. Пусть У вЂ” выпуклое мнохсество из банахова пространства В. Тогда для того чтобы функция л' (и) из С'(У) бьсла выпукла на (/, необходимо и достапючно, чтобы при ссех и, о е= (3 выполнялось одно из следующих двух неравенств. у (и),/(о)+(у (о), и — о) 24 или (1'(и) — 1'(о), и — о))0.
Если 1п! Учи !// и 1(и) ен С'((/), то для выпуклости 1(и) на (/ необходимо и достаточно, чтобы (ьт(и) $, Ц) )0 при всех $ е В, и ен (/. Теорема 2. Пусть (/ — вьтуклое множество из гильбертова пространства Н и пусть функция 1(и) принадлежит С'((/). Тогда для и;ого чтобы,/(и) была сильно выпуклой на (/, необходилю и достаточно выполнение одного из следующих двух условий: 1) существует поспюянная и 0 такая, что 1(и))1(о)+(1'(о), и — о)+и~и — о)н, и, вен(/; 2) существует постоянная р) 0 такая, что (1'(и) — 1'(о), и — о))р,и — о1)о и, о~(/. Если !п!(/Ф О) и 1(и) в=С'((/), то для сильной выпуклости 1(и) на (/ необходимо и достаточно существование постоянной и ) 0 такой, что (1" (и) "„Ц) ~ и Д/й при всех $ е-:Н, и я(/.
Теоремы 1, 2 доказываются совершенно так же, как и аналогичные теоремы 4,2.2, 4,2.4, 4.2.5, 4.3.2 — 4.3.4 из !41. Между константами к и и из теоремы 2 существует простая связь: и=2н. Если 1(и) сильно выпукла н принадлежит С' '((/), то р=2н(Е. Если в примере 2 оператор А — самосопряженный и положительно определенный (неотрицательный), т. е. (А$, $)) и!$1)г, 5енН, р=сопз!)О (ц=О), то согласно теореме 2 (теореме 1) функция 1(и) = 1 = — (Аи, и) — (Ь, и), ие=Н, сильно выпукла (выпукла) на Н. Функция 1(и) = ! Аи — Ь 1'и, и ен В, из примера 3 выпукла на В. Если В = Н и (А* А$, С) = = (А5, А;-) =!А~(ь-= р, '$!', ~ в= Н, и =сонг!)О, то согласно теореме 2 зта функция сильно выпукла на Н.
Аналогично, функция У(и) из примера 4 выпукла на /.,[а, Ь[, а если [а, Ь)=[с, с/1, ь ь /ь ~ ~1 ~ А (в, /) А (в, т) г/в ~ $ (/) ~ (т) йв с(т = аа (а ! ь ь 2 ~ А (в, /) $ (/) с(/ с(в ) р ~ ~ $ (/)," с(/, а ь а И)0, $(/) енц[а, Ь), то она сильно выпукла на Ее[а, Ь). 5. Пусть // — некоторое множество, а У(и) — функция, определенная на этом множестве. Всюду ниже, если не оговорено противное, будем рассматривать лишьфункции, принимающие конечные вещественные значения. Для обозначения задачи минимизации функции / (и) на множестве 1/ часто будем пользоваться следу1ощей краткой стандартной записью: / (и) -+ |п1; и ен (/. (3) Напомним определения некоторых понятий. Функцию /(и) называют ограниченной снизу (сверху) на множестве (/, если существует число М такое, что /(и)~М (/(и)ч-М) для всех и ~ (/. Функция /(и) не ограничена снизу (сверху) на (/, если существует последовательность [и„', ~(/, для которой 1пп /(иь)= — со ['1пп /(иь) = =+ос).
Пусть функция /(и) ограничена снизу (сверху) на (/. Тогда число а называют нижнеи" (верхней) гранью /(и) на (/, если 1) /(и).= а [,/(и) (а) при всех и вн(/; 2) для любого е- 0 найдется точка и, ен(/, для которой /(и,)( <а+и [/(и,))а — е). Если /(и) не ограничена снизу (сверху) на (/, то в качестве нижней (верхней) грани /(и) на (/ принимают а= — со (а=+ со). Нижнюю (верхнюю) грань /(и) на (/ обозначают )п1 / (и) =,/, /ьцр / (и) = /*). и ~ и Точки множества (/ =[и ен(/: /(и)=Х ) (Р=(ия(/: /(и)= /ь)) называют точками минимума (максимума) функции ./(и) на множестве (/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
