Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если о Р г= 1, то вместо Е'(6) будем писать просто Ер(6), 1== ( р(+со. Если р= 2, то пространство Е;(6) является гильбертовым пространством со скалярным произведением / (и, о)с,= ~ (и ((), а (!)) ° й-~( ~Х, 'и'(1) о'(1),'д(; а а '~'=! тогда ~ и )г, = (и, и)ьп Пространство Е;, (6) прн 1 < р < <оо является рефлексивным, а при р=1 и р=со оно нерефлексивно. Сопряженным для Е' (6), 1 < р < оо, является пространство 1.,',(6), где 1 < д< со, р-'+а-'= 1, для 7,' (6) сопряженным является пространство Е",- (6); описание сопряженного пространства для Е' (6) см. в (87, 110;.
Через С (6) будем обозначать банахово пространство непрерывных на замкнутом множестве б функций с нормой )и)с=янах, 'и(1) и это пространство нерефлексивно; ива описание сопряженного к нему пространства см. в 187, 1101. Пусть множество 6 из Е" имеет цепустую внутренность. Через С (6) будем обозначать множество функций, бесконечно дифференцируемых на множестве 6. Говорят, что функция 1" (в)=7" (в„..., в„) впЕ,(б) имеет абабп)енную производную д1 (з))дв;=),.(з) по переменной в; в 6, если 1,. (в) ~ Ц (6) н '1 р (в) ~, (в) дз = — ~ гр., (в) 1' (в) дз а а для любой функции ф(з) ~ С" (6), обращающейся в нуль в некоторой приграничной полосе множества 6; здесь ср,, (в) — частная производная функции ~р(в) по переменной вп Через Н'(6) (или ЯГ,'(6)) принято обозначать гиль.
бертово пространство функций 1"(в) ен Ез(6), обладающих обобщенными производными ), (з) ен Е,(6) по всем переменным в„ ..., в„, причем скалярное произведение в этом пространстве определяется так: а норма имеет вид У)н =((7", ))н)ц'. 14 Через Н" (С) [или )(7, (6)) обозначают гильбертово пространство функций [(з) е= Е! (6), обладающих всеми обобщенными частными производными до порядка л! включительно, принадлежащими Е! (6); скалярное произведение в Н (6) определяется равенством (1 И)и'"=- д ! "' !1(!) !) ! ' "' ! пд(!) !1з, !!3 !!! !!!! т!! а !!(е,„'-...ч-е (т да! ... дзл д! ...
дз„ а ноРма имеет вид [[[и — — [(1, [)!! )!!'. Ниже нам понадобятся пространства Н, (6), т~1, представляющие собой обобщение пространств Н" (6) на случай г-мерных вектор-функций. Приведем соответствующие определения для случая, когда 6=-[а, Ь)= [(ен Е'. а~((Ь[, а(Ь. Через Н, [а, Ь[ обозначим гильбертово пространство вектор-функций и= и(() =(и!((), ..., и'(1)) ен ы (, '[а, Ь[, обладающих обобщенными производными !!!и (!) Я!и! (!) и!и'(0 '! — ! =1, т, при!:адлежащими Л! !и' !и! Е! [а, Ь[; скалярное произведение в этом пространстве определяется равенством ь| !!! а норма равна / ь/ [и) „=[(и, и) „)!!'= ~ ~п(()р.+ ~ ) — () ( !(1 а ! =! Удобно считать, что Н,"[а, Ь[=Е,'[а, Ь~).
Можно показать [35, 169, 204[, что если и(!) ен Н, [а, Ь[, т== 1, то и((), !!и (0 !!!!! Чи (!) — представляют собой абсолютно непрерывныг вектор-функции на отрезке [а, Ь[. Пусть Я=6к[0=1~Т), 6 ~ Е", Т вЂ” заданное положительное число. Через Н"''Я) будем обозначать пространство функций ((з, !) ~ Е!(6), обладающих обобщен! ! е " '~ УЧ (а ными частными производными — —, —,' ен Е, (Я); д'!!" д'л" !5 0(1,-)-...+(„~т, ' е-=1,,(9, 1=1, д; это прод'1(ь 1) ди странство является гильбертовым со скалярным произведением ® Ын,е= т Ю = ~ ()(, 1), (, 1)) ., (1+ ~ ~ ) "' " "" 0 бз (1 'О "о и нормой )/~„„ь,=я, д)„,)п'.
При постановках краевых задач для уравнений с частными производными и связанных с ними задач оптимального управления важное значение имеет понятие следа функции, обобщающее понятие значения функции для классов разрывных функций. Мы здесь ограничимся следующим определением (более общие определения см.
в 135, 157)). Определен не 2. Пусть Я=((з, 1): 0(з(1, 0( -.=1~Т) и пусть функция ге а(з, 1) ~=),ф), Функция д(з) е-=).,(0, Л называется следом функции г(з, 1) при 1=-т, если для любого е) 0 найдется число б,.ъ 0 такое, что для почти всех 1еи(0, Т"), для которых ~1 — т, <6, имеет место неравенство 1 )(з(з, 1) — а(з) ~ (з(' о Если след функции г(з, 1) при 1=т существует, то его будем обозначать через г(з, т), 0(з —.-1, или г(, т).
Аналогично определяется след г (з, ) е- а (з, 1), 0-=1( Т, при каждом фиксированном з еи(0, 1). Можно показать, что если след функции существует, то он определяется единственным образом. Если функция г (з, 1) непрерывна на 1',>, то след г(, 1) этой функции при каждом 1е-=(0, Т*) совпадает со значением этой функции, представляющим собой функцию г (з, 1) переменной з ~ (О, 1) при фиксированном 1.
Пусть ге а(з, 1) ен1.,(Я). Напоминаем, что под элементом из А,(1)) понимается не одна функция, а класс эквивалентных функций, т. е. функций, отличающихся друг от друга на множестве нулевой меры. Поскольку мера множества (l,=((з, 1): 0(з(1, 1=т) равна нулю, то эквивалентные функции на этом множестве могут прн- 16 нимать произвольные значения или даже могут быть ие определены. Поэтому говорить о значениях функции г(з, 1) ~ Е~ (11) при фикснрованном 1 или з не имеет смысла, а введенное выше понятие следа функции естественным образом обобщает понятие значения функции для функций из У~Я) Однако в общем случае нельзя ожидать, что функция из Е,(Щ будет иметь след при всех значениях 1~[0, Т] или з е= [О, Пример 2.
Пусть г(з, 1)=0 при 0(э~1, Т1(2й)( <1~Т1(2(г — !), А= 1, 2, ..., г(з, 1) = ! при О==а(1; Т)(2И+ !) (1-Т((2И), й= ), 2, ... Эта функция принадлежит Е,(!)), но при 1=0 не имеет следа. Для того чтобы функция г=г(э, 1) ен Е,Я) имела след при всех 1ен [О, Т], на нее нужно наложить дополнительные ограничения. Например, функция г(з, 1) ~ Е,(Щ, обладающая обобщенной производной г, (з, 1) ен 1., (1г), имеет след при каждом 1~[0, Т], и ее можно изменить на множестве двумерной меры нуль так, что она при всех 1~ [О, Т] будет иметь значения, совпадающие со следом почти всюду на отрезке О==.э(1.
Замечательно то, что в этом случае справедлива формула, обобщающая формулу Ньютона — Лейбница: ~ г~(з, 1) й =г(з, Ь) — г(з, а), я где г(з, Ь), г(з, а), О~э(1, — следы функции г(з, 1) прн 1= Ь и 1= а соответственно; а, Ь вЂ” любые числа из отрезка 0~1(Т, причем в формуле равенство имеет место для почти всех ген[О, 1]. Если дополнительно известно, что г(з, 1), г,(з, 1) ~ Е,(9), ! -= р(оо, то следы такой функции принадлежат Ер[0, 1] и непрерывны по 1 в метрике Е [0,1],т.е. ! пп ~ ~ г (э, 1) — г (з, т) )г г(з = 0 'о при всех т ~ [О, Т). В частности, если г(з, 1) ен Н'(ф, то такая функция имеет следы г(, 1) ен1.,[0, 1] при всех 1я[0, Т] и г(з, .) енЕ,[0, Т] при всех з я [О, 1], причем указанные следы непрерывно зависят в метрике Е,[0, 1] и Е,[0, Т! соответственно.
!У Если для функции г(з, <) яЕоЯ) существует после.довательность [го(в, <)) он С (<1) такая, что !пп езззнр ~',го(з, 1) — г(з, 1) <оде=О, о <~<о, г<о' то г(з, 1) также имеет след г(, <) ен Ее[0, 1) при каждом <ен[0, Т), причем существует эквивалентная функция, значения которой совпадают со следом г(, 1) при всех 1~[0, Т) [35).
Остальные обозначения, определения и факты из функционального анализа будем приводить ниже по мере надобности. 5 2. Градиент. Условия оптимальности 1. При исследовании экстремальных задач в банаховых пространствах, как и в случае и-мерного пространства Е", большую роль играет понятие градиента функции. О п р е д е л е н и е 1. Пусть  — некоторое банахово пространство, пусть функция 1(и) определена в некоторой у-окрестности 0(и, у) =(о: о он В, <<о — и((у) точки и. Говорят, что функция 1(и) дифференцируема в точке и, если существует элемент 1'(и) ен В* такой, что приращение функции можно представить в виде Л1 (и) = 1 (и + И) — 1 (и) = (1' (и), И)в+ о (И, и), (1) где )И)в(у, <о(И, и) ЯИ<<в- 0 при )И!в-о-О.
Величина о(1(и) = (1' (и), И)в представляет собой главную линейную часть приращения (1) н называется дифференциалом функции 1(и) в точке и, а элемент,/'(и) из В" — первой производной пли градиентом этой функции в точке и. Если градиент существует, то он определяется однозначно. В самом деле, если 1[(и) и 11(и) — два градиента функции в точке и, то из (1) имеем (1< (и) — 1;(и), И) =о<(И, и) — оо(И, и) при всех И, ~ И ) ( у.
Возьмем произвольный элемент е ~ В, еФО, и положим И= ге, 0(1(<о=у/<~е'. Тогда (1[(и)— — 1о(и), е)<=о(<), где 1!<п о(<)<-'=О. Поделив на < н о -ьо устремив < к +О, отсюда получим (1< (и) — 1о(и), е) =О при всех е ~ В, т. е. 1< (и) = 1[(и). 1В Нетрудно видеть, что если функции l (и), 6(и) дифференцируемы в точке и, то функция д(и) =аl (и)+()6(и) прп лю: ых действительных я, р также дифференцируема в этой точке, причем д' (и] = ц/'(и) + ()6' (и), далее, если функция,/ (и) дифференцируема в точке а с= В, а функция /(1) одной переменной дифференцируема в точке 1=/(и), то сложная функция д(и) = — 1(/ (и)) дифференцнруеча в точке и, причем справедлива формула д' (и) =1' (/ (и)) Г (ц). В самом деле, если /(1+Л1) — /(1) =/' (1) Л1+о, (Л1, 1), той(и+Ь) — й(и) =-/(/(и+Ь)) — /'(/(и)) =1'(/(и))Л/(и)+ -(-о,(Л/(и), /(и)) =/" (3(и))(/'(и), Й) +/'(/(и))о(й, и) + + о, (Л/(и), У (и)) = (Г (/(и)) Г (и), й,'+о, (Ь, и), где о,(6, и)1,,'Ь(- 0 при,',Ь) — ~-0.
Очевидно, если функция дифференцируема в точке и, то она непрерывна в этой точке в метрике пространства В. Определение 2. Функция /(и) называется непрерывно диффгрснцирусной на множестве У из банахова пространства В, если оиа дифференцируема во всех точках и~(/ и ~ Г(п+й) — Г(и))в*-~О при )п)а- 0 для всех и, и+Ь ~ (/. Множество всех функций, непрерывно дифференцируемых на (/, будем обозначать через С'((/). Заметим, что определение 1 предполагает, что если функция У(и) дпффсренцируема в точке и~(/, то она определена в некоторой окрестности этой точки.
Поэтому, говоря о принадлежности функции l (и) множеству С'((/), обычно подразумевают существование некоторого открытого множества )Р' из В, которое содержит (/ и на котором определена эта функция. Приведем несколько примеров дифференцируемых функций в банаховых и гильбертовых пространствах. П р и м е р П Пусть Н вЂ” гильбертово пространство.
Тогда функция /(и) =) и () = (и, ~)и дифференцируема во всех точках и еп Н, так как /(и+Ь) — I(и)=(2и, й)н+(й, Ь)н. Отсюда следует, что /'(и) = 2и и /(и) е=-С'(Н). П р и м е р 2. Пусть оператор А ен Х(Н вЂ” Н), где Н— гильбертово пространство, Ь вЂ” фиксированный элемент из (9 Н.
Рассмотрим функцию у(и)= -(Аи, и) — (Ь, и), и ~Н. 1 Приращение этой функции представимо в виде , г (и+Ь) — 3 (и) = 2((А и, Ь) + (и, АЬ)) — гЬ, Ь) + -2- (А/г, 6) = -2. (А+ А*) и — Ь, Ь + -2 (АЬ, Ь), )2 где А* — оператор, сопряженный к оператору А. Отсюда следует, что У (и) дифференцируема во всех точках и ен Н, причем ее градиент равен 7'(а) =, (А+А*) — Ь Нетрудно видеть, что У (и) ен С'(Н). В частности, если А — самосопряжеиный оператор, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
