Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 10
Текст из файла (страница 10)
П р и м е р 5. Пусть (/ = (и = и (() = (и' (/), ..., и' (/)) ~ яЦ(6): ои(() ==.и'(/) Я(/) почти всюду на б, /=1, г), где сс;(() (р;(/), /=1, г, — задаяные функции из Е.,(6). Покажем, что (/ замкнуто в метрике /,'(6). Пусть последовательность (и„(/)) е-=(/ сходится к и=и(/) по норме Ь,"(6). Тогда найдется !11, стр. 388) подпоследовательность (и„(()), сходящаяся к и (/) почти всюду на б.
Но а;(/) ~ ил~ (/) ( р; (/) почти всюду на б, ! = 1, г, т = 1, 2, ... Отсюда при т- со получим сс;(()(и'(/)(р;(/) почти всюду на 6 для всех /=1, г. Следовательно, и(() ен(/, т. е. И замкнуто в метрике /в(6). Нетрудно видеть, что (/ выпукло и замкнуто.
Согласно теореме 4 (/ слабо компактно. Из примера 2 видно, что множество (/ при а, (/) ~ 'р;(/) не является компактным в метрике /',(6). Приведем один критерий слабой полунепрерывности снизу функции. Теорема 5. Пусть (/ — вьтуклое множество из банахова пространства В.
Выпуклая функция У(и) слабо полу- непрерывна снизу на (/ тогда и только пюгда, когда /(и) полунепрерывна снизу на (/. Доказательство. Необходимость. Пусть /(и) слабо полунепрерывна снизу на (/. Возьмем произвольные точку ия(/ и последовательность и,еи(/, сходящуюся к точке и в метрике В. Тогда (и,) сходится к и слабо в В, и !!гп./(и,).=--/(и). Полунепрерывность снизу на (/ функции /(и) в метрике В доказана.
Заметим, что выпуклость /(и) здесь не использовалась. Даст аточ ность. Пусть /(и) полуиепрерывна снизу на (/. Возьмем произвольную последовательность (иь) ~(/, слабо в В сходящуюся к точке и ~ (/. Выбирая при необходимости подпоследовательность, можем считать, что !пп /(сси) = Игп /(ил). Как и при доказательстве теоремы 4, ь ~о ь со нетрудно установить, что точка и принадлежит замыканию выпуклой оболочки точек (иь, и„„, ... ), где й — любое фиксированное натуральное число. Это значит, что для каждого номера /г=1, 2, ...
найдутся целое число т~/г и вещественные числа а„;~0, /=/г, /г-!-1, ..., т, Ш ы ал„в = 1 такие, что последовательность о„= ~~ ал;и; г=в ~л будет сходиться к точке и в метрике В, т. е. „ол — и(-«О 52 при (г- со. Тогда в силу полунепрерывности снизу 1(ил в точке и имеем 1!в 1(ой) ) 1(и). Из выпуклости 1(и) й ю следует г ьл - г !г Х "-,.) = Х;.,г ~.г г=й г>й или 1(о„) «зцр 1(и,) при всех й=-1, 2, ... Однако г-. й !пп зцр 1(иг) = 1пп 1(ий) й гог)й й со поэтому, переходя к пределу в предыдущем неравенстве, получим 1 (и) =- 1! в 1 (ой) «1пп зцр 1 (и) = ! (в 1 (и„) = ! пп 1(и„). й ы й ,-к,г)й й й Слабая полунепрерывиость снизу на У функции 1(и) доказана. Пример 6.
Пусть 1(и)=)и,.'! — норма в банаховом пространстве В. Так как ]иг + (1 — а) о ,'! а ! и !! + -!-(1 — сс)!о! при всех и, о я=.В, О=се 1, то 1(и) выпукла на В. Далее, из неравенства !!!ий,! — ! и,'!! «!!и — ий ] следует, что 1(и) =! и',! непрерывна в метрике В во всех точках и ~ В. Согласно теореме 5 тогда 1 (и) = ! и',! слабо полунепрерывна снизу на В, т.
е. !пп ! и„(!- ! и ] для любой последовательности (и„], слабо сходящейся к точке и. Полезно заметить, что норма в В, вообще говоря, не будет слабо непрерывной функцией. Например, если В=г'.й10, !], то последовательность ий=з!ппМ, О«!« ==1, )с=1, 2, ..., слабо сходится к нулю, но 1(и„) =- =]и„]=!г]/2тс 1(0) =(01=0, так что !!гп 1(ий)) 1(0).
Аналогично устанавливается слабая полунепрерывность снизу иа В функции 1(и) =-~ и!П при всех у- 1. Из теорем 2 — 6 следует Теорема 6. Оусгпь У вЂ” вьтуклое замкнутог огрпниченное множество из ре рлексивного бпнпхова прсспгрпнсгпвп В, функция 1 (и) выпуклп и полунепрерывна снизу на У. Тогда 1 .л. — со, (l„нспуспго, выггукло, залггснуто, огрпничено и лгобая лсининизирующая последовательность (иг..) слабо сходигпся к Уч.
Приведем несколько примеров задач минимизации, показывающих, что условия доказанных выше теорейл не могут быть существенно ослаблены. 53 Пр имер 7. Рассмотрим задачу минимизации функции ! ,7 (и) = ~ (х~ (!) — и' (!)) Ш о при условиях х (!) = и (!), О ( ! ( 1; х (0) = О, и е и (!) я0 = =(и(!) ~Ь,[0, Ц: !и(!)! ц:1 почти всюду на [О, Ц).
Как было показано в примере 7.4.2 из [4], в этой задаче функция У(и) не достигает иа У своей нижней грани ,)„= — 1 Заметим, что здесь множество слабо компактно (см. примеры 2 и 5). Функция 1(и) непрерывна на () в метрике Г.,[0, Ц, но она не является слабо полунепрерывной снизу. В самом деле, возьмем последовательность ил=э!и пл1, 0~!(1, и=1, 2, ..., слабо сходящуюся к нулю. Нетрудно проверить, что 1)гп ) (из) = — 1!2 ( (,)(0)=0, т. е.
слабой полунепрерывности снизу нет. Пример 8. Рассмотрим задачу минимизации функции 1 ,7(и) = ~ з)дп (1/2 — 1) и (!) Ш о при и=и(!) е:- И=(и(!) а= С[0, Ц: ~ и(!) / =1, О((:~1]; (! — единичный шар в С[0, 1]. Нетрудно видеть, что .! (и) > — ! при всех и ев О, н о 1пп /(иь) = — 1, где и„= = и, (!) =- л (! — 1!2) при ! ! — 1!2 ! ~ 1/)г, и, (!) = з)яп (! — 1/2) при ~ ! — 1)2 ~ ) 1(й, )г= 1, 2, ... Следовательно, у = — 1, но нижняя грань 1(и) на У не достигается. Заметим, что здесь У(и) выпукла и непрерывна в метрике С[0, Ц и согласно теореме 5 она слабо полунепрерывна снизу на С[0, Ц (точнее говоря, она даже линейна и слабо непрерывна на С[0, Ц).
Кроме того, множество У выпукло, замкнуто и ограничено в С!О, Ц. Однако пространство С[0, Ц не является рефлексивным и множество У не будет слабо компактным. Любопытно, что на более широком множестве кусочно непрерывных функций, удовлетворяющих условию ~ и(!)!(1, рассматриваемая функция достигает своей нижней грани при и„= з):п (! — 1(2), О~! =1. 4. Теоремы 2 и б отличаются от теоремы ! тем, что требования к множеству У в теоремах 2, 6 несколько ослаблены по сравнению с теоремой 1, ио зато на минимизируемую функцию накладываются более жесткие ограничения. Действуя в этом же направлении, в част- 54 ности, отказываясь от требования ограниченности множества У, можно получить другие теоремы Вейерштрасса.
Приведем несколько таких теорем. Теорема 7. Пусть У вЂ” выпуклое замкнутое множество из рефлексивного банахова пространства В, функция У (и) вьтукла, полунепрерывна снизу на У и для некоторой фиксированной точки о ен У множество Лебега М (о) = (и ен (I: й (и) ( й (о) ) ограничено. Тогда,1„) — оо, 0„чь ф, (7,„— выпукло, замкнуто, ограничено и, кроме того, любая минимизирующая последовательность (иь) ~ М (о) слабо в В сходится к (7,. Доказательство проводится так же, как и доказательство аналогичной теоремы 2.1.2 нз [4!.
А именно, сначала устанавливаем, что нижняя грань г'(и) на (7 может достигаться лишь в точках множества М(о). Затем доказываем, что М (о) выпукло и замкнуто в метрике В. Кроме того, М (о) ограничено по условию. Применяя теорему 6 к функции l(и) на множестве М(о), получаем все утверждения теоремы 7.
Достаточным для ограниченности множества М (о) является условие 1пп Х(и„) = +со, которое должно выполняться для любой последовательности (иь) ен У, 1пп (и,(= =+со (ср. с теоремой 2.!.3 из 141). К функциям, удовлетворяющим последнему условию, относятся сильно выпуклые функцни — см. определение 2.6. Для таких функций справедлива Теорема 8. Пусть У вЂ” еьтуклос замкнутое множество из гильбертова пространства Н, а функция г'(и) сильно выпукла и полунепрерывна снизу на У. Тогда 1) множество Лебега М (о) = (и ~ У: г' (и) ( У (о)) выпукло, замкнуто и ограничено при всех о ен 0; 2) й ) — со, У„, Ф (В, причем У„, состоит из единственной точки и,„; 3) любая минимизирующая последовательность (иь) сходится к точке и„по норме Н, причем к1и,— и,!'(г(и,) — У(и„), я=1, 2, ...
Доказательство ограниченности множества М (о) проводится дословно так же, как в теореме 4.3.1 из 14!. Отсюда и из теоремы 7 следует, что 7, ) — со, У, ~ ф. Так как г'(и) строго выпукла, то У состоит из единст- бь венной точки и„.
Справедливо неравенство и, и — и !е - /(и) — у(и„), и — у, которое доказывается так же, как это было сделано прн доказательстве теоремы 4.3.1 из [4). Отсюда следует утверждение 3) теоремы. Утверждение, аналогичное теореме 8, справедливо также и для класса равномерно выпуклых функций, более широкого, чем класс сильно выпуклых функций. Определение 8. Функцию 7(и), определенную на выпуклом множестве (7 из банахова пространства В, называют равномерно выпуклой на (/, если существует неотрицательная функция 6(!), определенная прн всех (, 0( ~ ((г(!аш(7= зцр [и — о!, 6(0) =О, 6((о))0 при неко- и. ояц тором („0((о(61аш(7, и такая, что ,7 (аи+ (1 — а) о) ( а.( (и)+(1 — а) 7 (о) — а(1 — а) 6([и — о [) при всех и, оса(7, аен[0, !!.
Функцию 6(() называют модулем выпуклости функции 7(и) на (У, а функцию р (() = !п! ш! а/ (и)+ (1 — а) .Г (о) — ! (а и+(! — а) о) Ока к! Ди — о!=! а (! — а! и, оаэи — точным модулем выпуклости Х(и) на (7. Если 6(() >О при всех (, 0(((д!ап!(7, то такую функцию называют строго равномерно вьтуклои на (7.
Если функция ((и) строго равномерно выпукла на (7, то существует модуль выпуклости (например, можно взять 6(() =(о(!)), который строго монотонно растет при возрастании ! н стремится к нулю тогда и только тогда, когда (-+-+О (см. лемму 4.7.2 из [4!). Всякая сильно выпуклая функция является строго равномерно выпуклой с модулем выпуклости 6 (() = и(е. Заметим, что в любом гпльбертовом пространстве Н существуют равномерно выпуклые функции.
Например, функция г (и)=[и!тн строго равномерно выпукла на Н при всех у» 2 с модулем выпуклости б(!) = (1/2)т-Чт [69!. В пространствах В'(6) и (р функция ((и)=)и!т строго равномерно выпукла на всем пространстве при всех у»р 2 с модулем выпуклости 6(!)= — (1/2)т-Чт, а при 1(р(2 эта функция строго равномерно выпукла при всех у)! на любом выпуклом ограниченн<м множестве из рассматриваемого пространства Ь' (6) или (р(891, 56 Доказательство ограниченности множества М (о) про- водится так же, как в теореме 4.7.1 из (4). Отсюда и из теоремы ? следуют утверждения !), 2) теоремы.
Строго равномерно выпуклая функция строго выпукла, значит, (/, состоит из единственной точки и„. Неравенство 6 (1 и — и, ~) «л' (и) — У (и,), и ен (/, доказывается так же, как в теореме 4.7.1 из !41. Отсюда следует утверждение 3) теоремы. Теоремы 1, 2, 6 — 9 широко используются в различ- ных приложениях: при доказательстве существования элемента наилучшего приближения в теории приближе- ния функций, существования решения в задачах опти- мального управления и т. д. Некоторые из таких прило- жений будут рассмотрены ниже. Более тонкие теоремы существования, учитывающие специфику конкретных клас- сов экстремальных задач, можно найти в 11, 49, 71, 109, 122, 144, 220) и др.
5. Для иллюстрации приведенных выше теорем Вейер- штрасса рассмотрим задачу л (и)=~х(Т, и) — у!'-л-!п1, х (1) = 4 (1) х (1) + В (1) и (() +) (1), (ь «1«Т, х ((ь) = хь, и = и (1) ен (/ ы Щ„Т1л (1) (2) (3) (4) И Так как сумма любой выпуклой функции и равномерно выпуклой функции является равномерно выпуклой, то классы равномерно выпуклых функций в упомянутых пространствах достаточно богаты. Теорема 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
