Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать, что функции й(п)=, и — и" иа любом выпуклом замкнутом множестве (Г рефлексивного банахова пространства достигает своей нижней грави (иначе говоря, существует проекция любой точки и аа В на мвоткество (Г илн элемент наилучшего 'приближения из (г для заданного элемента й ш В).
!О. В пространстве ь' (6), ! ( р < со, рассыотрим два множества Р (I = !!и =и (!) =(и (?), ..., иг (!)) ш 1.' (6); и1(!) и (иг(!) ( 61(!) для почти всех ге О, 1= 1, г), (г = ~и=и (г) ш !.„'(6): ! ! и (!) — и (!)," й! к??"~, и где функции й=й (!) а ь~~(6), сг (!), [)1(!) ш е (6), 1=1, г, и число )? ) 0 заданы. Доказать, что эти множества слабо компактны в Ь'(6), 1(р<со, но не компактны в метрике этого пространства. Будут ли зти множества слабо компактными в 1.'(6) или Ь' (6)? 1!. Доказать, что «гильбертов кирпич» (см. пример 2.6) компактен н метрике 1,.
1 12 Доказать, что функция й(и)=~ иэ(!) йг не является непрерывной в метрике Ьз[0, 1[. Будет ли она полунепрерывной снизу в метрике йз[0, 1[? 1 13. Доказать, что функция й(и)=~ [й(г),зж, определенная на о Нт [О, 1[, разрывна в метрике С [О, 1[. Будет ли она полунепрерывной снизу н этой метрике? 14. Пусчь Р— линейное нормированное пространство всех алгебраических многочленов на отрезке [О, 1) с нормой,", и(!) !,'= 1пах [и(1),. О<1<! и и положим 1(н)= ~, 'аг , 'для и=и (г)= ~ пг!1 гм Р.
Доказать, что 1=0 1=О з (и) выпукла на Р, но не является непрерывной па Р. Указа"" в: РассмотРеть последовательность па =иэ (!) =!э — !эгь, 0(1( 1, Будет лн /(и) полунепрерывной снизу на Р? -' Ь. П Пьсииие„ бБ 15 Пусть У вЂ” открытое выпуклое множество из банахава пространства В, а функция l (и) конечна, полунепрерывиа снизу и выпукла на У. Доназать, что 7 (и) имеет субградиент во всех точках и ю У и слабо полунепрерывна снизу на У [79[.
16. Пусть 7 (и) — выпуклая функция иа открытом выпуклом множестве У банахова пространства В. Доказать, что следующие четыре утверждения зививалентны: 1) 7(и) полунепрерывна сверху в точке о щ У в метрике В; 2) l (и) непрерывна в точке о в метрике В; 3) 7 (о) ограничена в некоторой окрестности точки о; 4) 7 (и) ограничена сверху в некоторой окрестности точки о [79[, 17.
Пусть У в множество из топологического пространства (Х, т), а функция l (и) определена и конечна на У, Доказать, что для того чтобы 7 (и) была т.полунепрерывной снизу (см. определение !6) на У, необходимо и достаточно, чтобы множество Л( (с) =(и ю У: 7 (и)(с) было замкнутым в (Х, т) при любом вещественном с. !8.
Пусть У вЂ” множество из топологического пространства (Х, т), а функция l (и) определена и конечна на У. Назовем фуннцию l (и) т-счетно лолунепрсрыанод снизу на множестве У, если в любой точке и ~ У и для любой последовательности (не) ю У, для которой точка и является т-предельной (см, определение 11), справедливо неравенство 1пп 7 (иа) — / (и). Доказать, что множество т-счетно а оз полунепрерывных снизу на У функций исчерпывается функциями ,1(и)=сопи, иезУ Указание: пусть и, ощУ, и о, /(н)р ~ 7 (о). Рассмотреть последовательность (иа): из а — — и, намет — — о, го = О, 1,..., и полу'чить противоречие.
5 4. Методы минимизации Здесь мы будем предполагать, что читатель знаком с большинством из рассмотренных в [41 методов минимизации. Заметим, что из этих методов лишь некоторые являются сугубо конечномерными, т. е. приспособленными для решения задач минимизации лишь в конечномерных пространствах — это симплекс-метод, метод покоординатного спуска и некоторые другие методы. Большинство же описанных в [41 методов минимизации вполне могут быть применены для минимизации функций на множествах из бесконечномерных банаховых и гильбертовых пространств — это градиентный метод, методы проекции градиента, условного градиента, возможных направлений„сопряженных градиентов, штрафных функций, Ньютона и др.
Идеи и описание упомянутых методов минимизации в бесконечномерных пространствах по форме ничем не отличаются от их описания в конечномерном случае. Поэтому здесь мы можем ограничиться лишь кратким описанием этих методов, отсылая читателя за подробностями к главе 5 из [4]. Далее, формулировки и доказательства теорем сходимости для большинства упомянутых методов в беско- нечномерном случае могут быть получены путем неболь- шой корректировки соответствующих конечномерных тео- рем н их доказательства из [4!.
Для того чтобы показать, как это делается, мы ниже приведем несколько таких теорем. Кроме того, некоторые из излагаемых методов проиллюстрнруем на примере следующей задачи оптималь- ного управления, рассмотренной в Я 2, 3: ,/ (и) = ! х (Т, и) — у," ->- !п1; (1) х(1) = А (1) х(1)+В(1) и(г)+1(1), гд(1(Т; х(10) = хд' (2) и=и(1) Ииа(.,'(Г„Т) (3) (обозначения см. в ф 2); примеры других задач оптималь- ного управления см.
ниже в Я 5 — 10. !. Градиентный метод может применяться для прибли- женного решения задачи У (и) — !п1; и ен Н, где Н вЂ” гильбертово пространство, г' (и) ен С' (Н), Этот метод заключается в построении последовательности (ид) по правилу идм=ид — адГ(ид), А=О, 1, (4) где и, — некоторая заданная начальная точка, яд — положительная величина. Если У (и,)ФО, то яд можно выбрать так, чтобы 1 (и„„) ( у (ид). В самом деле, из равенства (2.1) имеем /(ид,,) — У (ид) = яд ( — ,'~ г" (ид) !д+ о (яд)/ад) ( 0 при всех достаточно малых ад)0.
Если 1'(и,) ФО, то процесс (4) прекращается и при необходимости проводится дополнительное исследование поведения функции в окрестности точки ид для выяснения того, будет ли ид принадлежать У„или нет. В частности, если ((и)— выпуклая функция на Н, то согласно теореме 2.5 ид ~ Уд. Существуют различные способы выбора величины ад в методе (4), Перечислим некоторые из них: 1) яд выбирается из условия >д(ад) = 1п1 10(а) = гдд, 'гд(а) = У(и, — а1' (ид)) (5) а)0 — этот вариант градиентного метода принято на>ывать метоуом скорейшего спуска.
Точное определение вели- 3* 67 чины ал из (5) не всегда возможно, поэтому на практике вместо (5) пользуются условием 1л,()л(ал) =~лл+бл, бл)0, '5', 6л(со, с =- а или )л л = 7л (ал) ~ (1 — М Ь (0) + Мл „ 0(й~йл=-.!; величины 6„, ).л здесь характеризуют погрешность выполнения условия (5). 2) а, выбирают из условия монотонности: У(и„,) ( ( ) (ил). Для этого задают какую-либо постоянную а) 0 и в методе (4) на каждой итерации берут а„=а.
Затем проверяют условие монотонности, и в случае его нарушения величину ал=а дробят до тех пор, пока не выполнится условие монотонности. 3) Если ) (и) ~С" (Н) (см. определение 2.5) и постоянная Е,) 0 из неравенства )з'(и) — Г(о)1(У.(и — о), и, о изН, известна, то величину а, в (4) можно взять из условий 0 ( е, ==. а, ( 2)(й + 2е), где е, е„— положительные числа, являющиеся параметрами метода. 4) Возможен выбор ал из условия ,) (ил) — У (ил — ал,)' (ил)) ~зал' У' (ил) )л е) 0; для определения такого ал обычно задают а,=а и затем дробят а до тех пор, пока не выполнится выписанное неравенство.
5) Возможно априорное задание величин а, из условий СО сал)0, и=О, 1..., ~~ ал=ос, ~~ ал(со. Лев л=О Например, можно принять а„=с(й+1)-", с=сопз1) О, 1)2(а 1. Такой выбор а, прост для реализации, но не гарантирует выполнения условия монотонности ((илл,) (/(и„) и, вообще говоря, сходится медленно.
б) В тех случаях, когда заранее известна величина ,)„== (п1) (и)) — со, в (4) можно принять и ал = () (ил) — У,.),'1 )' (ил) ~л 66 На практике итерации (4) продолжают до тех пор, пока не выполннтся какой-либо критерий окончания счета. Здесь возможно использование таких критериев: )и„— иоо,"(е, или У(ио) — У(и, 1) ~.(6, или ~ 7'(ио)1- у, где е, 6, у — заданные числа; иногда заранее задают число итераций. Разумеется, к этим критериям окончания счета надо относиться критически, поскольку они могут выполняться и вдали от искомой точки минимума.
Посмотрим, как выглядит градиентный метод для задачи (1) — (3) при У=(,;(1о, Т~!. Согласно формуле (2.12) градиент функции (1) равен Г(и)=В' (()ф((, и), (о(((Т, где ф((, и) — решение задачи (2.13), (2.14). Тогда метод (4) для задачи (1) — (3) можно записать в следующем виде: иоо, (!) = ио (() — аоВг (() ф ((, ио), („~(~Т, й=о, 1, ... (6) Покажем, что в рассматриваемой задаче для параметра ах, определяемого из условия (о), можно получить явное выражение. С этой целью вспомним формулу (2.25): х ((, ми + (1 — я) и) = ях ((, о) + (1 — а) х ((, и), (о((~Т, справедливую для всех и, о ен).о))„Т1 и всех вещественных а. Полагая здесь о = и+ й, ( = Т, получим х(Т, и+ай) =х(Т, и)+я(х(Т, и+й) — х(Т, и)), — со ( а (+ со.
Отсюда с учетом равенства (2.20) имеем .( (и + яй) = ( х (Т, и + яй) — у !о = ='х(Т, и)+а(х(Т, и+6) — х(Т, и)) — у(о = = У(и)+2а(х(Т, и) — у, х(Т, и+А) — х(Т, и))+ +аз/х(Т, и+6) — х(Т, и) /о= /(и)+ г +а$ (В' (~)4'((, и), й (!)) с(!+аз ~ х(Т, и+А) — х(Т, и) /о, и — со я(+со; и, Й е=Ео((о, Т'1. (7) 69 Из этой формулы при и=им й= — Г(и„) получим явное выражение для функции (5): Т»(а)= 1(и»)+2а(х(Т, и,) — у, х(Т, и» вЂ” Г (и„))— — х(Т, и,))+а'(х(Т, и» вЂ” Х'(и»)) — х(Т, и„) Р= т =и (и») — юхт)!Вт(!) ф(ю, и») !'дю+сюи!х(Т, и» вЂ”,ю" (и»))— — х(Т, и„)!», — со(а<+оо.
(8) Может случиться, что х(Т, и» вЂ” У'(и»)) — х(Т, и») =-О. Тогда нз (8) следует 1»(сю)= l(и»)=сопз1 при всех а. Поэтому ю»(а)=(Г(и» вЂ” сюд'(и»)), — Г(и»))=0 при всех сю. В частности, при юх=О имеем)»(0)= — (,ю" (и») 1'=О, т. е. Г(юю»)=0. В силу теоремью 2.5 тогда ив=и»=и»(Ю)— оптимальное управление, задача (1) — (3) при Сю =1»[(ь, Т! решена.
Рассмотрим случай х(Т, и„— Г(и„)) — х(Т, и»)~0. Тогда функция (8) представляет собой квадратный трех- член и достигает своей нижней грани на числовой оси при (х(Т и»! — у, х(Т, и» вЂ” Г(и»)) — х(Т, и»)) ! х (Т, и» вЂ”.Ю' (и»)) — х(Т, и») 1» т ) !Вт(Ю)Ч:(Ю и»1!»аЮ 1 )О. 2 ! х(Т, и» вЂ” 3'(и»!) — х(Т, и»),» Если сю» = О, то Г (и,) = О и и, = и» (ю) — оптимальное управление; задача решена. Если а») О, тосю»=а»» удовлетворяет условию (5) и в (6) остается принять сю»=а».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
