Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 17
Текст из файла (страница 17)
0 п р еде лен не 5. Последовательность функций (Рь(и), й=1, 2, ...), определенных и неотрицательных на множестве Н,, содержащем множество У, называют штрафом или штрафной функцией множества У на мно- жестве Ум если 0 при и ен У, 1пп Ра(и)= к- ( +ос при и Ио .13. Примером штрафной функции множества (44) на множе- стве Уа является функция Р, (и) = А„Р (и), и я Ум (45) ЗУ где Р(и) = ~ (шах(8~(и); 0))д+ ~Ч,' !д;(и) )д, ие:-Уд, (46) г и -~--1 числа Ад, называемые штрафными коэффициентами, таковы, что Ад)0, у=1, 2, ...; 1!ш Ад=+со, р=1; д сю другие примеры штрафных функций см. в Ч 5.12 из 141. Функцию (46) также часто называют штрафной функцией множества (44), подразумевая при этом, что после умножения на штрафные коэффициенты она превращается в штрафную функцию в смысле определения 5. Метод штрафных функций для задачи (43), (44) заключается в том, что вводят функции Фд (и) = У(и)+Рд(и), и е= Уд, й= 1, 2,, (47) и определяют последовательность (ид) условиями ид е= Уд, Фд (ид) =.
Фд, + ед, (48) где Рд(и) — штрафная функция множества У (например, функция (45), (46)), Фд„=-!п1Ф, (и), ед)0, й=!, 2, ... ио ..., 1!гп ед= О. Если существует точка ид ен У„для которой Фд (ид) = Фд„, то в (48) допускается возможность ед = О. Заметим, что точка им удовлетворяющая условию (48), вообще говоря, не принадлежит множеству У.
При описании метода штрафной функции (47), (48) подразумевается, что Ф,„) — оо при всех й=!, 2, ... Приведем две теоремы о сходимости метода штрафных функций. Теорема 7. Пусть функции Х(и), д;(и), 1=1, в, определены на множестве Б„а последовательность (ид) определена из условий (45) — (48). Тогда ! пп У (ид) ч=! нп Фд (ид) = 1нп Фд, (,) . (49) д са д со д ж Если, кроме того, / = 1п12 (и) - — со, то и, Рд(и)=0(Ад'), )г=1, 2, ..., (50) ПшУ;(ид)~0, ~'=), т! 1ппуй(ид)=0, (=т+1,в. (51) д ж д оэ Доказательство атой теоремы проводится дословно так же, как и теоремы 5.12.! из !41. В у 5.12 !41 приведен пример, показывающий, что в (49) неравенства могут быль строгими.
Теорема 8. Пусть Уь — выпуклое замкнутое множество из рефлексивного банахова пространства В, функции г'(и), д,(и), ..., д (и), !д,т(и)!, ..., !д,(и)! слабо полу- непрерывны снизу на Уь (например, эти функции выпуклы и полунепрерывны снизу в метрике В), Х =ьп( г' (и)'- — со; и. множеспмо ()(6)=!иеп Уь' д;(и)«6, 1=1, т; !д,(и)) «6, (=т+.1, з) еьтукло и ограничено при некогпором 6) О. Тогда последовательность (иь), определенная условиями (45) — (48), слабо в В сходится к У.„, и, кроме того, 1!ш /(и,) = ),.
ь со Д о к а з а т е л ь с т в о. При сделанных предположениях для (и,) соотношения (49) — (51) сохраняют силу. Из (5!) следует, что иь ~ У(б) при всех )г)йп Однако согласно теореме 3.4 множество () (6) слабо компактно. Тогда существует хотя бы одна точка о„~ У (б), к которой слабо сходится некоторая подпоследовательпость (иь ). В силу слабой полунепрерывности снизу указанных в теореме функпий и соотношений (51) имеем рд(о„) «1ип ©(и, )«!пп рд(иь)«О, 1=1, т', ь са !дс(о,) ! «1пп !рд(иь„) / «=.11ш !дс(иь)' ,=О, К=т1-1, з.
Г ОР Это значит, что о„спи. Тогда с учетом (49) получаем /„«г' (о „) =.!(ш г (иь ) «1пп ) (иь) «У„,, г и ь сю так что У(о,)=1пп У(иь)=У, или о, епУ,, =о Таким образом, показано, что любая точка о.„являющаяся слабым пределом какой-либо подпоследовательности (иь ), принадлежит У, и!!ш У(иь )= У„. Отсюда следует, г Ю что (и„) сходится к множеству (), слабо в В и )пп г' (и„) = У„,. ь со Доказанная теорема является аналогом теоремы 5.12,2 из (4). Читателю предлагаем самостоятельно исследовать возможность обобщения других теорем из 9 5.12 14) на случай банаховых пространств.
Для иллюстрации метода штрафных функций рассмотрим зэдачу (1) — (3) при дополнительных фазовых ограничениях вида !о---.(=Т, 1=1, ~п; т=-п, (52) а; х'(1, и) =-Ь;, или х'(Т, и)=х~, 1=1, э', з(п, (53) где аь Ь;, х, '— заданные числа. Для учета ограничений (52) можно взять штрафную функцию !и 7 Р»(и) =А» '», '~ !(шах )х'((, и) — Ь;; 01)'+ ~=! и +(шах (а; — х'((, и); 0)!" а!1, где А») О, !пп А»= +ос; ограничения (53) можно учесть с помощью штрафной функции Р» (и) = А» ~х~ ~(х' (Т, и) — х|), й = 1, 2, ... Тогда задача (1) — (3), (52) или (53) сведется к решению последовательности задач минимизации функции ср»(и)=)х(Т, и) — у!»+Р»(и), Ь=1, 2,, (54) при условиях (2), (3). Вопрос о том, как определить градиент функции (54) при условиях (2), (3) и как минимизировать функцию (54), будет обсужден в следующем параграфе.
9. Предлагаем читателю самостоятельно дать обобщения методов множителей Лагранжа, барьерных и нагруженных функций из Я 5,11, 5.13, 5.!4 (4) на случай задач минимизации на множествах из гильбертовых или банаховых пространств, исследовать сходимость этих методов. Заметим, что в ряде приведенных выше теорем о сходимости методов (см., например, теоремы 1 — 3) сильная (по норме) сходпчость указанных в них минимнзируюгцих последоьигсльностей гараитирустся лишь для сильно 90 выпуклых функций; если же минимизируемая функция не является сильно выпуклой, то эти последовательности будут сходиться к множеству точек минимума, вообще говоря, лишь слабо.
О том, как нужно видоизменять методы минимизации для получения сильно сходящихся минимизирующих последовательностей, речь пойдет в следующей главе. У п р аж не н и я. 1. Пусть У=(и(!)=(ит(!), ..., и'(!)) ы ~н ь'~!ы т): и (!) )О почти всюду нв отрезке 1в(1~ т, 1=1, г!). Найти проекцию любой точки из 5'1'Гв, Тт на множество У. Описать метод проекции градиента для задачи (!) — (3) с этим множеством. 2. Описать метод сопряженных градиентов для задачи (!) — (3) при У =!.г(!в, Т1 3. Описать градиентный метод, методы проекции градиента, условного градиента, сопряженных направлений для задач минимиаации функций т ,!(в)=~я(Т, и) — у,'-"+а) (и(1),'об а=сопя!)О, ь т У(и)=( ~х(б и) — уб) Рж, у(!) ~й,в(1„, т( т Х(и) = ~ ~ х(1, и) — у (!),'э и!+а ~ ~ и (!),' от, а = сопэ1 ) О при условиях (1) — (3).
Исследовать сходимость методов. 4. Описать метод возможных направлений для задачи (31) в предпологкении, что и ~ Н вЂ гильберто пространство, взяв во вспомогательной задаче (32) поиска возможного направления убывания условие нормировки (е (= 1. 5. Описать градиентны метод, методы проекции градиента, условного градиента, сопряженных направлений для задач минимизации функций из примеров 2.! — 2.4, счнтая, что и ы Н, Н вЂ гильбертово пространство (в случае примера 2.4 Н р- йэ(а, Ь)). Рассмотреть случаи, когда У = Н, или У вЂ ш или гиперплоскость в Н.
6. Сформулировать и доказать теоремы сходимости методов барьерных, нагруженных функций иэ 45 5.13 — 5.14 (4) для множества из гильбертовых пространств. 9 5. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функцию т .I(и)= ~)о(х(!), и(!), !)+!Э(х(Т)) (1) 91 при условиях х(1)=)(х(1), и(1), 1), 1о(Р =.Т; х((а)=х„(2) и= и(л') е=Н ы Ел[1», Т), (3) где х = (х', х', ..., х"), и = (и', ..., и'), функции Г"'(х, и, 1), [(х, и, 1) = (Р (х, и, 1), ..., Г'" (х, и, 1)), Ф (х) переменных (х, и,() енЕ»хЕ'м[(„Т) считаются известными, У вЂ” заданное множество из Е;[(„Т), моменты времени („Т и начальная точка хл заданы. Определение решения (пли траектории) х=х(1) =х(1, и), 1,~Л(Т, задачи Коши (2), соответствующего управлению и=-и(1) ~1,'л[1„Т), а также условия его существования обсуждались в гл.
6 из [4) (см. теорему 6.1.1 [4)); там же был доказан принцип максимума для задачи (1) — (3) (ель 5 6.3 из [4)). 1. Ниже будут сформулированы достаточные условия дифференцируемости функции (1) на Ц[1„Т) и получена формула для ее градиента. Примем обозначения х (!», )» [»= ! г 1=0,п; Ф»= дР Здесь ),, = — — частная производная функции /' по дхУ переменной х), Т вЂ” знак транспонирования матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
