Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотреть функцию г 7(ю)=~ )а(х(б ш), ю, 1) о(+го(х(Т, ш)) при условиях х (1) =1 (х (1), и, Г), Ге ( 1 ~ Т; х (Ге) = хе, ю = (шт, ... .„, ш') — управляющие параметры, йе зависящие от времени. Пока- зать, что сели функции )е, й гв непрерывны н имеют непрерывные частные производные по х, ш й ! /(х+Лх, ш, 1) — 1(х, ш, 1) '~Е!Лх! при всех (х+Ьх, ш, Г), (х, ю, 1) шЕ" ХЕ'Х[)„Т), то функция 2(ш) аифференцируема н ее градиент равен г Х' (ш)=) Н, (х(С, ш), ю, й ф(1, ш)) Л, где Н(х, и, 1, ф)=р(х, ш, 1)+([(х, ш, 1), ф), ф (1, и) — ре~иение задачи рр)= — ех(х(0 ш), ш, г,ф(1)), 1,«1 т; ф(т)=гр„(х(т, . )), У к а з а и и е: воспользоваться техникой доказательства теоре- мы 1.
4 Пусть выполнены все условия теорем 3,4 (кроме, быть может, условия (40)) и пусть (7=[и=и(1) ш 1.',(Гш Т) и(1) ~ю)г почти всюду на [гз, Т)~, где г' — выпуклое множество из Е'. Доказать, что тогда принпип чакснмул~а является необходимым и достаточным условием оптимальности в задаче (1) — (3), (34).
103 У к а з а н и е: доказать выпуклость функции Н (х, и, Д ф) по и и воспользоваться неравенством (38) ! 5. Пусть у(и)=[(из(1) — ахз(Г)) с(д где Х(1)=и(1) !иЕ [О, 1), о х(0)=0, а — постоянная. При каких значениях параметра а функцйя У (и) будет выпуклой или сильно выпуклой на Ее [О, Т)7 Показать, что У (и) !нС~'(Ез), и найти градиент. 6.
Пусть функции [е(х, и, 1), [(х, и, (), Ф(х) непрерывны по (х, и, 1) ~юЕлхЕ'х[(е, Т), выполняется условие (5) и )е(х, и ! й, 1)— — [е(х, и, 1) ! (1 ( й,з+, 'и ! !й ), (,=сола!»О, при всех (х, и+й, (), (х, и, () гыЕ" ХЕ" !с[(е, Т[. Локазать, что тогда функция (1) при условиях (2) непрерывна на Е'[(а, Т) в метрике етого пространства. 7.
Пусть функции )е(х, и, 1), Ф(х) непрерывны по (х, и, () см щ Е" !сЕ'Х[Е„Т), [е(х, и, () выпукла по переменной и ~ Е' при каждом фиксированном (х, 1) щ Е" к [(„Т). Локазать, что тогда функция (1) при условиях (34) достигает своей нижвей грани на любом выпуклом замкнутом ограниченном множестве (У щ Е'[(е, Тт. У к а з а н и е: установить, что У (и) слабо полунепрерывна снизу на Е;[(,, Т.( 8. Пусть выполнены все условия теоремы 4 (кроме, быть может, условия (40)), (/ — выпуклое замкнутое ограниченное множество из Езг[(а, Т~, фУнкциЯ а(х, () непРеРывна по (х, () !ы Е" Х[(а, Т) и вы. пукла по хе Е" при каждом фиксированном 1я [1,, Т).
Пусть существует хотя бы одна траектория х ((, ие) задачи (34], и, ен (у, такая, что а(х(1, и„), 1) ( 0 при всех 1 щ [1,, Т). Локазать, что тогда функция (!) при условиях (34) и ограничении д(х(6 и), ()«=.О, (ес( ~ Т, достигает на (У своей нижней грани. 9. Пусть )е (х, и, 1) = а (х, Г) + ( Ь (х, (), и ), [ (х, и, () = А (х, Г) + + В(х, () и и пусть матрицы А(х, 1), В(х, (), Ь(х, 1) — порядков лх1, лхг, лк! соответственно и функции а(х, 1), Ф(х) непрерывны по (х, Г) ен Ели [(„Т), [ А (х, () [! » Се ! х !+ С„ /! В (х, 1) ,'!( =С,, где ффС,— неотрицательные постоянные Пусть (I — выпуклое замкнутое ограниченное множество из ь'[(а, Т1 и существует управление ие ~ (У такое, что соответствующее решение х(1, ие) задачи (2) удовлетворяет условию х(Т, и„)=-х!.
Показать, что тогда функция (!) при условиях (2) и дополнительном условии х(Т, и) = = х, достигает своей нижней грани на (7 У к а з а н и е: установить, что если (игй — минимизирующая последовательность, слабо сходящаяся к точке и, то у (иа)-!- у (и,). й 6. Градиент в одной дискретной задаче оптимального управления 1. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления с дискретным временем: минимизировать функцию к — ! у ([иг)) = ~ Ег!(хь и!)+(Р (хл!) ([) г=е 106 при условиях х.;,!- — -Ро(х!, и!), !'=О, й>-1; хо=а, (2) [и]=(ио ° ° ° их !); и! ен 1'!, !'=О, У вЂ” 1> (3) [Рь) =[Ем!» ° ° ° Е>ил)> (ЕСо) =[Ее> ° ° ° > Еы )> [Ф)г=[Ф! ..., Ф „).
Через Ео [О, У] обозначим гильбертово пространство вектор-функций дискретной переменной [и!] =(и„им ..., их !) Л вЂ” ! со скалярным произведением ([и;], [о!])>,= У, '(иь о!), >'= о '!о — ! >,!го и с нормой !~ [и!] 1 ~х ~ и> ~~а~) Пусть У множество !г=о всех дискретных управлений [и!]=(ио, ..., их !), удовлетворяющих условию (3); очевидно, У ~Е,'[О, У]. Заметим, что (1) представляет собой функцию Ж' переменных и„и„..., их !. Если функции Р! (х, и) непрерывны, а Р1, Ф полунепрерывны снизу по совокупности переменных (х, и) енЕ" х$'!, множества 1~! замкнуты и ограничены в Е', !=О, У вЂ” 1, то функция 1([и!]) полу- непрерывна снизу н существование оптимального управ!от где х,. = [х,',, хо), и! =(и!, ..., и[), функции Р! = [Е! Е,".) Е>о Ф пРедполагаютса известными, заданное множество из Е', натуральное число У)1 и начальная точка а заданы.
Задача (1) — (3) уже изучалась нами выше: в 5 7.1 [4] с помощью динамического программирования исследовалась проблема синтеза для этой задачи. В настоящем параграфе сформулируем достаточные условия дифференцируемости, выпуклости функции (1) при условиях (2), (3), а также выведем необходимые условия оптимальности.
Будем пользоваться следующими обозначениями: ления [и; ], на котором функция (1) достигает своей нижней грани при условиях (2), (3), следует из теооемы и1. для приближенного решения задачи (1) — (3) могут быть использованы методы гл. 5 из [4]. Из-за большого числа переменных задачу (!) — (3), по-виднмому, удобнее рассматривать в пространстве 1.[[0, йг], считая функцию (1) завксящей от Ьг векторных переменных игь и„..., ин г. Выведем формулу градиента функции (1) при условиях (2), (3) в пространстве Я[0, Ж]. Теорема 1. Пусть функции гг, Рг, Ф непрерывны по совокупноспш своих аргументов вместе со своими частными производными по гггргмгнным х, и при хе:-Е", ив= 1'ь г=О, йг' — 1. Кроме того, пусть /Рг(х+Ьх, и+)г) — сг(х, и)/.,(Е.[/Ьх~г,+/й/г) (4) при всех х, х+Ьх и всех и, и+5 ен Уг, 1=0, Ьг — 1.
Тогда функция (1) при условиях (2), (3) непрерывна и диффергнциругма в норме 1,.г '[О, Ьг], причем гг градиент П ([иг]) в пачке [иг]е= Н представим в види П ([иг]) = [Ны (хь фг, иг), г'= О, Л/ — 1[ ~ Е, '[О, й(], (5) гдг Н; (х, гр, и) = Р";(х, и) + (ф Рг (х, и)), Ны =[Нг„ь ..., На, (6) [х;] = (хы ..., хь) — дискретная траектория задачи (2), соотвгтствуюгцая выбранному управлению [иг] ~ Н, а вектор-функция [г)гг] = (г[г г, гры ..., фь г) опргдглягтся из условий грг г = Н;„ (хг, грг, гц), г = О, М вЂ” 1, грн г = Ф,(хн). (7) Доказательство. Пусть [иг], [иг]+[)гг] ен Н и пусть [хг] и [х;]+[Ьх,] — соответствующие этим управлениям дискретные траектории задачи (2), а ! ([иг]) и 1([и;]+ [)гг]) = = Т ([иг]) + ЬУ вЂ” соответствующие значения функции (!). Из (2) следует, что приращение [Ьхг] удовлетворяет условиям Ьхн,=р;(х;+Ьхь и;+йг) — Рг(хг, иг), 1=0, Ьà — 1, Ьхо=О (8) Так как Ф(х+Ьх) — Ф(х)=(Ф (х+6 Ьх), Ьх), 0(6:а 1.
106 то из (1) получим Я вЂ” ! ЛУ =,У, ~ Р1 (х, + Лхь и! + Ь!) — Р) (хь и )1+ !=0 +(Ф,(хл), Лхм>+Ям где (9) Й! = (!рл (хм+ 6 Лхл) — Ф (хх), Лхл>, (10) С учетом соотношений (7), (8) имеем (ОР (хл), Лхл> = (!)!ч т, Лхх> = М вЂ” ! = Х [<!рь Лх!+~> - (ф!- Лх!>! = кг а М вЂ” 1 (ф!, Р!(х!+Лхь и!+Й!) — Р!(х„и!)>— с=о М вЂ” 1 — 'У', (Н!„(хп !р!, и!), Лх,). г=о Подставляя полученное выражение в (9) и используя функци!о Н;(х, ф и), получим следующее представление для приращения функции: Ф вЂ” ! Л) = ~ ', (Н! (х; + Лх!, ф!, и! + Ь!) — Н! (хо !Р!, и!)— с=о — (Н!„(хь ф!, и,), Лх!>]+Ям Из формулы конечных приращений следует Н!(х;+Лх!, !рь и!+)!!) = = Н!(хр, фь и!)+(Н!„(х!+8~ Лхс, !Р!, и!+81!!), Лх;)+ +(Н„(х;+8Лх! ф!, и!+6)!!), 1!!>, 0(8!(1, 1=О, У вЂ” 1.
Подставим это равенство в предыдущее представление для И; будем иметь л — ! Л) =,У, (Ны(хь!р!, и!), 1!!>+Я, В =%!+Йа+Йз (11) !=0 М вЂ” 1 )с, = ~ (Н,„(х!+ О; Лхь !Р!, и!+ ОА)— гг а — Н;„(хь !р!, и!), Лх;), (12) М вЂ” 1 Йз= У, '(Нс„(х!+О!Лхь чр!, и!+ОА)— а=о — Н!. (х! ф!, и!), й!>.
(13) !08 Для оценки остаточного члена Р формулы (11) нам понадобится одна лемма, представляющая собой дискретный аналог леммы 2.2. Лемма 1. Если некоторые величины фь !=0, )Ч, удовлетворяют неравенством О=-.ф,=аа, О~ф;+,=а+Ь Я гр„, !'=О, )у — 1, (14) т=в то справедлива оценка 0(ф!(а(1+Ь)!, 1 О, У, если вхе и — 1 0 =- <р;, ( а+ Ь ~ч , '!р, О,Ф вЂ” 1; О~фи! =а г= (16) пю верна оценка О~ф!~а(1+Ь!»н — ' — ', г=О, А! — 1.
(17) Доказательство можно провести по индукции. При й-0 по условию Ок фа~а. Если неравенство 0(ф (а(1+Ь)'" верно при всех т О, г, то из (14) следу! ет 0(ф!!!~а+Ь,У, а(1+Ь)'"=а(1+Ь)+'. Аналогично са можно убедиться, что из (16) вытекает оценка (17). Продолжим доказательство теоремы 1. Из соотношений (8) для 1Лх!1 с учетом условия (4) имеем ~Ахи!~= 'Я (Ьх е,— Ах ) ( 1 св ,У', (АР„(х, и„) — Ах ) ~ )л!=О и — ! ((1+Е) Я !Ах !+Е ~ ,'Ь !. и=О т=.О и — ! Полагая в (14), (15) а=-Е ~ч~~ ~Ь!), Ь=(1+Е), !р;=1!!х!(, !са получим оценку и — ! )Ах!1~аС! ~', 18!~, Сд=Е(2+Цн, !'=О, М. (18) !.
о НО Из условий теоремы следует непрерывность функций Ф„ Н;„, Нг„по совокупности своих аргументов. Тогда с учетом опенки (18) из выражений (10), (12), (13) заключаем, что остаточный член )с в формуле (!1) имеет порядок о() [Йг] '). Таким образом, в формуле (11) прирашеиия функции первое слагаемое является линейной ограниченной функцией иа );[О, йГ] относительно [аг], а второе слагаемое имеет порядок о(1[йг]~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
