Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Через хг х(э, 1) обозначим температуру стержня в точке з в момент 1. Пусть к(з, 0) ср(з), О~з(! — распределение температуры в стержне в начальный момент времени 1=0. Требуется, управляя температурой внешней среды и плотностью источников тепла в стержне, к заданному моменту Т ) 0 распределение температуры в стержне сделать как можно ближе к заданному распределению у(з), 0(з( 6 Математическая формулировка этой задачи: требуется минимизировать функцию ' прк условии, что х=х(в> 7, и) является решением крае- вой задачи х,=а'х„+~(в, г), (в, 1) ~9=[0(в х,(, в=О, 0((~Т, х, ), с = т [р (1) — х (1, 1)), х!с,=ср(в), 0(в=.(, (Е, 0(1(Т), (2) (з) 0(Ф~Т, (4) (5) где а', 1, т, Т вЂ” заданные положительные величины; р (1)— температура внешней среды, 7(в, 1) — плотность источников тепла; предполагается, что и=(р (1), ) (в, 1)) — управление — принадлежит множеству У, состоящему из пар (р(Г), 7" (в, 1)) таких, что р = р (1) е= (,, [О, Т1 р ьв„( р (1) ( (р,„почти всюду на [О, Т1 1=Ив 1) -=7- (Я) 11 У(в, 1)Гг(вд( — й о (6) (7) Где Рны (Ртах Р ) 0 — заданные числа1 ф (в), Д (в) и е= 5,[0, 11.
Лля краткости обозначим Н = Е, [О, Т1 х Ь, [Я вЂ” гильбертово пространство пар и=(р((), 7(в, 1)) со скалярным произведением т (и, и )н=~ р (1) ре(1)г(1+Г))7" (', 1)[ (в, ()двй( о е и с нормой [и[ =((и, и)н)и'=([р~' +ц[' )ие. При каждом фиксированном управлении и=(р, [) ен Н из краевой задачи (2) — (5) однозначно определяется соответствующее решение х(в, () =х(в, 1, и). Так как управление и=(р(1), 1(в, 1)) ~Н может иметь бесконечно много разрывов, то классического решения задачи (2)— (5) может не существовать.
Поэтому решение этой краевой задачи будем понимать в обоб|ценном смысле. Обобщенным решением краевой задачи (2) — (5), соответствующим управлению и=(р((), 7(в, 1)) еи Н, называется функция х (в, 1) =х (в, 1, и) ен Н" (Я), имеющая следы х(в, ) ~Е,[0, Т) непрерывные в метрике Ее[0, Т) при всех в ен [О, $ следы х(, 1) ен Е,[0, $ непрерывные в метрике Е, [О, 1] при всех 1ен [О, Т~, и удовлетворяющая 117 интегральному тождеству о о (х(я, Т)ф(я, Т)!Ь вЂ” (!о(я)!р(я, 0)!Ь— о о — ~ ~ (х!~, — похе~,) гЬ Ж вЂ” ~ ') )!р г(я Д1- е е т — аз о ~ (р (1) — х (1, 1)) !Р (1, 1) !11 = 0 о при всех ф=ф(я, 1) ен Н'(! !), и, кроме того, след х(, 1) при 1=0 совпадает с функцией ср(я) почти всюду на [О, 1). Можно доказать, что при каждом и ~ Н краевая задача (2) — (5) имеет, и притом единственное, решение— по этим вопросам отсылаем читателя к работам [139, !57, 213).
Можно также доказать, что если последовательность (ио) енН слабо в Н сходится к и, то я (и,)- У(и), т. е. функция (1) слабо непрерывна на Н. Отсюда и из теоремы 3.2 следует, что в задаче (1) — (7) множество О, оптимальных управлений непусто. Покажем, что функпия (1) дифференцируема в Н. 1(ля этого возьмем произвольные управления и =(р, 1), и+й= =(р+Лр, 1+Л1) енН. Пусть х(я, 1, и), х(я, 1, и+й)— соответствующие этим управлениям решения краевой задачи (2) — (5). Обозначим Лх(я, 1) =х(я, 1, и+й) — х(я, 1).
Из (2) — (5) следует, что Лх(я, 1) является обобщенным решением краевой задачи Лх,=аоЛх„+Л[, (я, 1) ~1;1, (8) Лх;1, о — — О, Лх,(, я=ч[Лр(1) — Лх(1, 1)), 0~1(Т, (9) Лх!,,=О, 0(я~1. (10) Тогда приращение функции (1) можно записать в виде Л.( (и) = 1 (и + й) — 1 (и) = =~(!х(я, Т, и)+Лх(я, Т) — у(я)(о— о -)х(я, Т, и) — у(я)(о)о(я=) 2(х(я, Т, и)— о -У(я))Лх(Я, Т)!1Я+$~Лх(я Т)!огЬ. (11) о !!8 Покажем, что с ~ 2(х(з, Т, и) — у(з)) Лх(з, Т) с(з= о т =~ а'ота(1, 1, и) Лр(1) й+ о +$$ф(з, !, и)Л)(з, ()сЬй, (!2) где 1)~(з, 1, и) =19(з, с) — обобщенное решение следующей вспомогательной краевой задачи: оь,= — аот)~„, (з, с') ~1~ Ф„', о=о, ~):,~~= — оз9(1, 1), 0~1<Т, т(т) т — — 2(х(я, Т, и) — у(я)), О=я(1. С учетом условий (8) — (1О) и (13) — (15) имеем ~ 2 (х (з, Т, и) — у (з) ) Лх (з, Т) сЬ = о т — ) Фо, т~ь о, ~~~.
1(1 ~солом)о= о о 1о = ~ ~ (т)ос Лх+ ~й Лхс) сЬ й = = ~ о) ( — атой„бх+ '$а' Лх„+ та Л1) сЬ й = = а' ~ ') —, ( — т)~, Лх+ 1)> Лх,) сЬ й + ~ ~ ~й Лс сЬ й = т = а' ~ ( — ф Лх+ т9 Лх,) ~,' й+ ~ ~ т)о Л1 сЬ й о о = аоо~ ов(1, 1, и) Лр(1) й+~ ~~(з, (, и) Л1(я, 1) осзй. о Равенство (12) получено.
Подставляя (12) в (11), будем иметь т Л( (и) =- ( азота (1, 1, и) Лр (1) сИ + о с + 5 ~ та (з, 1, и) Л/' (з, 1) с(з й+ $ ~ Лх (з, Т) 1о сЬ. ()б) ч о 119 Покажем, что ~)Лх(о, Т) "о(э~ о т ( С, l~ ) Лр (1)," о(1-(- ( ~ ( Л) (з, 1) ~о о(з о(11 = С~ 18 )ц, ((7) ,о где С,)0 — постоянная, не зависящая от выбора й= =(Лр, Л1) енН и и=(р, 1) он И. Для получения этой оценки умножим уравнение (8) на Лх(з, 1) и проинтегрируем его по прямоугольнику Я.
С учетом условий (9), (10) будем иметь 0 = ~ ~ (Лх,— а'Лх„— Л() Лхйзо(1= е о т = ~ — (Лх(з, 1))'~, о(з — ~ а'Лх Лх, о(1+ о о +а'~ ~ ~ Лх, ~то(зт(1 — ~ ~ Л1 Лхо(от(1 = ! т = 2 ~ ~ Лх (е, Т) р (е+ а' ~ ~ Лх (1, 1) ~' о(1— о о — ато~ Лх(1, 1) Лр(1) о(1+аз~ ~ , 'Лх, ~ооЬЖ— о е — ) ) Л) Лх о(з о(1, нли -- ~ ~ Лх(з, 1) ~ооЬ+аоо ~ ~Лх(1, 1) ~оо(1+аз ~ ~ ~Лх,)оо(зо(1= о о т = аоо ~ Лх (1, 1) Лр (1) Й + ~ ~ Л1 Лх оЬ о(1 е-. о т т ( 2 атое1 ') ~ Лх (1, 1) ~' о(1+ ~ ~ Лр (1) ~' 01+ о 2е, „1 о + — е, ~ ~ 1Лх (е, 1),' оЬ Й+ — ~ ~! Л) (з 1) ' ~(з о(1 е о ет) О, ео) 0; (18) 320 здесь мы воспользовались неравенством аЬ ( еа'/2 + 1-Ьо/(2е), справедливым при любых действительных а, Ь е) О. Так как ~2 1Лх(з, /),о=(~ Ьх,($, /)о($ — Лх(1, 1)~ ~ ~5 ! о (2() Лх,($, 1) й$) +2~ Ах(1, 1) 1о( м ( 21 ~ ) Лх, (а, 1) )о оЬ+ 2 ) бх (1, 1) (о, о то ) ) 1бх (з, 1) 1о ~Ь Й < е т -= 2/о ~ ') 1бх, (о дз о(1+ 2/ ~ 1Лх (1, 1) ~1о о(/.
(19) о В правую часть неравенства (18) подставим оценку (19); после приведения подобных членов получим т -2 ~ ~бх(з, Т) 1'гЬ+(а'ю — 2 поте, — /е~) ~ !Лх(1, 1) ('о(1* о о + (а' — /оео) ~ ~ ( Лх, 1о оЬ о(/ ( т ,— ~ ~ 1р(~Н'ж+,— ~ ~ ~~Гам. (20) о е' Пользуясь произволом в выборе чисел е,)0, е,)0, положим во=а'е, н 0<о,< ппп(1//о; 2т/(ъ+ 21)), Тогда из' (20) получим оценку (17) с константой С„= щах (аоо/е,; 1/(аое,)). Из формулы (1б) для приращения функции (1) и оценки (1?) следует, что функция (1) дифференцируема в Н и ее градиент имеет вид ,/'(и) =(аооф(1, 1, и); ф(з, /, и)) ен Н, (21) причем первая компонента пары (21) является «частной» производной функции (1) по переменной р, вторая компонента — по переменной /.
121 Как видим, для получения градиента функции (1) при фиксированном и ен Н нужно решить две краевые задачи: сначала из (2) — (5) надо определить функцию х(з, г, и), затем в (15) подставить получившееся х(з, Т, и) и из (13) — (15) найти ф (з, 1, и) и, наконец, полученное ф(з, 1, и) подставить в (21). На практике для численного решения краевых задач используют разностные схемы [33, 153, 154, 190, 193 — 198, 213) и вместо формулы (21) получают ее разностный аналог.
Можно показать, что функция (1) принадлежит классу С' '(Н), т. е. ),г ' (и+ Ь) — Г (и) 'и = г ,на =~ а'т'~ ! Лф(1, 1) ~'й+~ ~ ~ Лф(з, 1) !'дзг(1) О г ,пя «7.,'~ !Лр(1)!х(1+~~~й)(з, 1)!'г(з (1~ =Е,.й(„, ~о е (22) где Лф(з, 1) =ф(з, 1, и+й) — ф(з, 1, и). Для доказатель- ства неравенства (22) нужно выписать с помощью усло- вий (13) — (15) краевую задачу для Лф(з, 1) и по анало- гии с соотношениями (18), (19) получить —,' ~ Лф(, 0)! ( + ° ~ ~Лф(1, 1)!Ч(+ о о +а'$) ! Ьф!'сЬЖ=$ ! Лх(з, Т) !'дз, $) !Лф(з, 1) /'йп(= ~ 2(г$ $ ~ йф !гг(зг(1 ! 21 ~ ! ать(1 !) и (! Отсюда и из оценки (17) сразу следует искомое неравенство (22); читателю предлагаем выписать явное выражение для константы 1. из (22). Заметим, что приведенные выше доказательства равенства (12), оценок (17), (20), (22) нельзя признать вполне строгими, так как существование некоторых встретившихся в выкладках интегралов, законность операций интегрирования по частям не всегда вытекают из определения реше- 122 ния рассматриваемых краевых задач и остались необоснованными.
Для строгого доказательства нужно было бы сначала сгладить функции и(1), ср(з), 7" (з, 1), р(з), провести указанные преобразования для классических решений соответствующих сглаженных краевых задач, а затем перейти к пределу по параметру сглаживания и прийти к требуемым соотношениям для обобщенных решений краевых задач. Полная реализация намеченной здесь схемы строгого доказательства соотношений (12), (17), (20), (22) довольно громоздка для изложения, поэтому мы здесь вынуждены ограничиться приведенными выше рассуждениями, а читателя отсылаем за подробностями к руководствам и монографиям по уравнениям с частными производными [139, !57, 2131.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
