Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пользуясь формулами для х(з, 1, и), х, (з, 1, и), нетрудно показать существование следов х(, (, и), х,(, 1, и) яЬ,[0, 11, непрерывно зависящих от 1~[0, Т) в метрике Аз[0, 1). Это значит, что функция (1), в которой под х(з, Т, и), х,(з, Т, и) понимаются соответствук>щие следы функций х, х~ прй т Т, определена при всех и ен Н.
Далее, пользуясь формулой (б), можно показать, что если последовательность (из) сходится к а слабо в Н, то следы х(, 1, и,)- х(, 1, и), х,(, 1, и„) — х,(, 1, и) сходятся слабо в 1.,[0, 1) при каждом 1~ [0, Т). Стсюда, учитывая, что норма в гильбертовом пространстве слабо полунепрерывна снизу, получаем слабую полунепрерывность снизу функций (!) в Н. Согласно теореме 3.6 тогда функция (1) достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом ограниченном множестве У из Н, т.
е. ц, чь Сб. В силу линейности краевой задачи (2) †(4) имеем равенство х (з, 1, а и + (1 — а) о) = ох(з ( и) +(! — ц) х(з, 1, о), (з () еи() (Т) справедливое при всех и, о ен Н и всех действительных а. Отсюда следует выпуклость функции (1) на Н. Покажем, что функция (1) дифференцируема на Н, Возьмем произвольные и, и+й~Н и соответствующие им решения х(з, 1, и), х(з, 1, и+А) краевой задачи (2) — (4). Обозначим Лх(з, 1)=х(з, 1, и+й) — х(з, 1, и). Из (2) — (4) следует, что Лх (з, 1) является решением краевой задачи Лха=а'Лх„+Л~(з, 1), (з, () еи9, Лх,),,=Лр(1), Лх,),,, О, 0(1<Т, (8) ЛхЬ ~=0 Лх.Ь з-О.
здесь й=(Лр(1), Л7(з, ()) ен Н. Тогда приращение функции (1) запишется в виде Ы = У (и + Ь) — У (и) = с = $ 2Р, (х (з, Т, и) — у, (з)) Лх (з, Т) с(з+ о 1 + $ 2Р, (х~ (з, Т, и) — у~ (з)) Лхс (з, Т) ~й+ Н, (9) а 13$ где А' = 2~, ~ ! Ьх (я, Т) (о СЬ + 2~, ~ ! Лх (я, Т) (о СЬ. о о Пользуясь формулой (6), можно написать явные выра- жения для Лх, Лхс, из которых будет следовать оценка Ст ~о~~о(!тоныч~;!!~чо. ~с'и.о)- с~аз, о С, = сопя1 ~ О. (10) Для дальнейшях преобразований формулы прираще- ния (9) введем функцию чс=ф(я, Т, и) как решение сле- дующей краевой задачи: фи = а~ф~~, (5, С) е= Я, )ч~,,=О, ф,~,,=О, 0(С<Т, (11) ф! т=2рт(хс(я, Т, и) — у,(я)), 0(я(1, орс ~ ~х т = — 2ро (х (я, Т, и) — уо (я)), 0 ~ я = С. Под решением краевой задачи (!1) будем понимать функ- цию ф ф (я, С) ен Ео (СС), имеющую следы Чс (я, ° ) ~ енЕо[0, Т) ср(, С) енЕо[0, 1) при всех зев [О, С), с~ он[0, Т1, и удовлетворяющую интегральному тождеству ~ ') (Фсс — аоФ,с) ф сЬ сСС = е ~2ро(х(я, Т, и) — уо(я)) Ф(я, Т) СЬ+ +~2~,(хс(я, Т, и) — у,(я))Фс(я, Т)с(я, о справедливому при всех Ф (я, С) еи Но (с1) со следами Ф~с о* Фс!с о=Ф ~.
о —— Ф,!с с — — О. Решение задачи (11) может быть представлено с помощью формулы Далам- бера, откуда, кстати, и следует его существование. С помощью решения Чс(я, С, и) краевой задачи (11) приращение (9) можно преобразовать к виду т Ы(и) = ~ аоф(0, С) сор (С) с(С+ о + $ $ ср (я, С) Л~ (я, С) с(я с(С+ Я. (12) !37 В самом деле, с учетом условий (8), (11) имеем ! Ы(и) =~ ( — фо(з, Т) Лх(з, Т)+ о +ф(з, Т) Лх~(з, Т)) т(з+Н= о т -(((,';< — оь ~-ол*й а)н-~о= о 1о = $ ~ ( — фа Лх+ ф Лхи) сЬ Ж+ Я = = ~ ~ [ао ( — ф„. Лх+ ф Лх„) + ф Лд оЬ Ж+ я е = ~~ '~-( — ФЛх+фйх,)г(оЖ+ +11 ФЬ| (з ((+Н=11фЛ( (з (!+ е е т р=1 + а' ~ ( — ф, Лх + ф Ьх,) ~ т(! + Я = о я=о т =~ аоф(00ь 1)Лр(!) Ж+~)ф(з, !)Л((з, !)г(зт((+Н. о е Разумеется, приведшие к формуле (12) преобразования нельзя признать строгими; относительно строгого доказательства формулы (12) можно высказать то же замечание, которое было сделано в 5 7 в аналогичном случае.
Йз (12) и (10) следует, что функция (1) при условиях (2) — (4) дифференцируема во всех точках иенН, причем ее градиент в точке и имеет вид Г(и)=(аоф(0, (, и); ф(з, 1, и)) енН., (13) Таким образом, для получения градиента в заданной точке и ен Н нужно последовательно решить две краевые задачи — задачу (2) †(4) и задачу (11), а затем воспользоваться формулой (13).
Можно показать, что У(и) ~ ен Сь т(Н). Так как функция (1) выпукла на Н, то согласно теореме 2.5 эта функция на выпуклом множестве (/ы Н 1зз будет достигать своей нижней грани в точке и = (р, ((), )х (з, 1)) ен(с' тогда и только тогда, когда (с" (и ), и — их)и= т =~ аддр(0, 1, их) (р(1) — р„(1)) ас(+ о +~ ~дР(з, 1, и,) Д(з, () — Г,(з, ())гЬсИ) 0 о' при всех и= (р(1), ) (з, ()) ~ У. Для решения задачи (1) — (5) могут быть использованы описанные выше методы минимизации, Кратко остановимся на методах проекции градиента и условного градиента, предполагая, что множество (,с состоит из управлений и=(р((), Г'(з, ()) ен Н, удовлетворяющих условиям т ~ Р (Ос()~баю ~)1'(з Ос(ос(1 -Ж, (14) о Я где )хо, )тс — заданные положительные числа. Метод проекции градиента для задачи (!) — (5), (14) с учетом формулы (13) сведется к построению последовательноети (ид=(Р,(1), гд(з, 1))) по пРавилам ! рд(1) — ададдР(О, 1, и„) т при ~ ! Рд (() — ададхр (О, 1, ид) )и Ш ( )1о', йх(рдй) — адидс)(0, с, и„)] Рд+д (1) = т ) ~ рд (С) — ададс)с(0, С, ид),дЛ)~с~ ~о т при ~ ! р, (1) — ададдр (О, 1, ид) ~о с(1 ) )тх', и с'д(з () аддр(з с ид) прн ~);)д(з, () — аддр(з, (, ид))дс(зс((~я, е дс()д(в с) — адс)с(и с, ид)) (, ~ ~ с) (в С) — а ср(я, С, и ) со с)ос)С)сСо при ~ ~,')д(з, 1) — аддр(з, (, ид),"с(зссс))т(, (15) сд о(з с) ) где параметр ад) 0 выбирается одним из способов, описанных в $ 4, п, 2, )зэ Одна итерация метода условного градиента для задачи (1) — (6), (14) будет выглядеть так: < Ри (г) = Ря (()+из (ри (г) — ря(г)) (16) ~„ы(я, г) 7я(з, ()+аз(Ця(я, () — (я(з, ()), где йоФ(о, б и„) т ) „со,, ..>,.н)'.' Щ~(я,пи ) ( ~ ~ ~ $ (я, б и,) Р Яя Л()~~' е (17) рт ая =~~ а'ф(0, (, ии)(р (г) — Ря(())г(г+ 1 о + $ $ зр (з, (, ия) (7„ (я, () — ( я (я, ()) йз й( х х ~ ~(2$)я (х(я, Т, и,) — х(я, Т, й„) /'+ ~о +2(ч(х~(я, Т, ии) — хс(з, Т, йя)1') я(з~ (1я) причем если выражение в первой илн во второй квадратной скобке обращается в нуль, то и„=(ри((), 1я(з, ())— оптимальное управление в рассматриваемой задаче (1) †(5), (14).
2. Пусть дан однородный упругий стержень, один конец которого жестко закреплен, другой конец свободен. Требуется, упоавляя внешней поперечной нагрузкой, привести стержень к заданному моменту времени как можно ближе к заданному состоянию. Эту задачу мате- 140 а величина ам О~аз--.!, может быть выбрана одним из указанных в з 4, п. 3 способов. В частности, нз равенства (7) следует, что функция ~, (а) = Х(из+а (йи — и„)) переменной я представляет собой квадратный трехчлен.
Поэтому, рассуждая так же, как прн выводе формулы (4.25), нз условия ~„(ия)= пнп (я(а) можно определить О<а(Ь я„=ш(п(1, аЦ, где матически можно сформулировать в виде следующей за- дачи минимизации: У(и) =~(~х(я, Т, и) — у,(з) ~о+ о +/хс(я, Т, и) — у,(я)!о)с(в-о (п(, (19) хсс+ах„„=и(я, 1), (я, 1)яЯ=(0<я<1, 0<1(Т), (20) х1, о — — х,1, о — — О, 0<1(Т, (21) хосе с=хссс/с с=О, 0<((Т, (22) х!с-о= сро(я), хс ~с-о= срс(я) 0(в (1, (23) и=и(з, 1) ~Е/= =(и(я, с) ен1.,Я): $$и'(я, !)с(яШ<яо), (24) где а', 1, Т, Я вЂ” заданные положительные числа, 'срс(в), ус ( ° ), с = 1, 2, — заданные функции', ср,(я) ен Н'(О, 1], сро(0) ='Ро(0) =01 срс(я) уо(з) ус (з) ен то(0 1. Под решением краевой задачи (20) — (23), соответствующим управлению и=и(я, 1) енто Я), будем понимать функцию х(в, 1)=х(з, с, и)яНо с(Я), имеющую следы х(, (), хс(, 1) ~Ео(0, 1] при всех (ен(0, Т], х(з, ), х,(я, ) ~1,о(0, 1] при всех я ~10, 1] и удовлетворяющую условиям (21), (23) в смысле равенства соответствующих следов и интегральному тождеству ~ ~ ( — х,фс+ аох„ф„— иф) с(з с((в с ! — ~ср,(в)ф(я, О)с(з+)хс(з, Т)ф(я, Т)с(в=О при всех ф=ф(з, 1)~сНо ' (Я), ф), о=ф,), о — — О, О~з(Т.
Можно показать, что при каждом и= и(я, т) решение задачи (20) — (23) существует и единственно. Покажем, что функция (19) дифференцируема на Ео(4г) и найдем ее градиент 1108]. Возьмем произвольные и, и+А ен1.о(Ц) и соответствующие им решения х(я, 1, и), х(я, Г, и+6) краевой задачи (20) — (23). Обозначим сох (з, с) = х (я, 1, и+ Ь) — х (в, (, и). Из 120) — (23) следует, что сох (з, 1) является решением 141 краевой задачи Лхсс+аоЛх„„=й(з, 1), (э, 1) енС',с, (25) Лх! о=Лх,), о=О, Лх„(, с=Лх„,(, с=О, 0 =((Т, (26) Лх (с о = Лхс ~~с о — — О, О (27) Тогда приращение функции (19) запишется в виде с Ло (и) = У (и + )с) — 1 (и) = ) 12 (х (а, Т, и) — уо (з)) Лх (з, Т) + о +2(х,(а, Т, и) — у,(э))Лх,(з, Т)1сЬ+)г, (28) где ! )7= $(! Лх(а, Т) /о+сЛхс(з, Т) !о) сЬ. о Справедлива оценка (Я(~Сс)ссК,=С!~~))с(э, 1)(ос!ой, Сс=сопз1)0.
(29) Наметим схему доказательства этой оценки. Умножим уравнение (25) на Лх,(э, 1), проинтегрируем по прямоугольнику !с!=((з, т): 0(э =.1, 0«т~() и получившееся равенство преобразуем с учетом условий (26), (27); будем иметь ~ ~ссЛхсс(э с(т= ~ ~ (Лхсс+а'Лх„„) Лхсс(зс(т= Фс с!с с = -2-~ (Лх!)о ~с, сЬ+ ~ а'Лх„,Лх, ~с,, с(т— ! Г о о ! — 11 'с „, о*„! ж=-,'- ~, ь, с, о ~ !.— сс! — ~ ао Лх„Лхсс ~! о Ж+ ~ ~ аоЛх„Лх„с!(о с((= с = -; ~ ~ Лх (з, ~) ~'с(а+ —,— ~ (Лх-)' ~', о (э = о о / =-,' ~,~;(', ~):Л 1-', ~ Л.„(., (), (.
о о при всех 1, 0<1~Т. Отсюда с помощью неравенства ( аЬ ~ =- (а'+ Ьо),'2 получим ~ ~ Лх,(з, () )ой~ о с(с тс (~Лхс(з, т) ~ос(з)с(т )-~ ~ Ь'(з, т)с(зс(т, 0(( =.Т. оо с' оо Тогда из леммы 2.2 при ср (1) = ~ ( Лхс(з, ()/ой, Ь = о ~) Ьо(з, 1) с(зс(1, а=1 следует, что с ~~Лхс(з, 1)~ос(э(етт))тЬо(з, 1)с(ее(1, 0<1 =.Т. (30) о о В частности, при с=Т имеем ~ ~ Лх, (з, Т ) ~о с(з -=.
ет ~ т) Ьо (з, 1) с(з сУ. о о Далее, из равенства т Лх(з, Т)=Лх(з, 0)+~ Лх,(з, 1)е(1 о с учетом первого условия (27) и оценки (30) получим (31) сст '~ о ~ ~ Лх (з, Т),я й = ~ ~ ~ Лх, (з, 1) с(1 ~ асз ( т;с «Т (З ( ') ~ Лх, (з, 1) ~о с(з~ с(( =-. Т ет ~ ~ Ьо (е, 1) й й. о Под решением задачи (32) здесь понимается функция 143 Сложив эту оценку с (3!), придем к оценке (29). Для преобразования правой части формулы приращения (28) введем сопряженную краевую задачу чссс+ аоЧс„„= О, (з, 1) еп ф "Р!х-о=ф.~ю-о=О, К~,-с=К,~, с=О, 0((==-Т, (32) ф~с-т = 2 (хс (з, Т) — ус (з)) фс (с-т = — 2 (х (е, Т) — уо (е)), О-.=е =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
