Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

ос=о+! При сделанных выше предположениях относительно исходных функций !р!, д', )! можно показать, что для остаточного члена формулы (13) справедлива оценка 1Р~ ~Со!)о7н=Со Мой.,+ ~1!А„+()!ой,), (14) С, = сопз1 ) О, которая вытекает из оценки 11511 о! / т 'Я~ ацр ()Лх!(а, 1)~оШ+~~)Ьх!(а, 1)~ой!(1~-)- ю-! о~ ~!о е о ( + У ~ 5нр ~ ( Лх'(я, 1) ~ й+) ~ ~ с!х'($! 1) (ойй) +! о<!~то е а С1 1)! (й, С, = сопз1 ~ О. 151 Из формулы (13) и оценки (14) следует, что функция (1) дифференцируема иа Н и ее градиент равен ,('(и) =(Н„(х(з, 1, и), и,(з, 1), з, 1, ф(з, 1, и)); гр„',(х'(1, 1, и), ..., х'"(1, 1, и), ит(1), 1)+ т + ~ ([!!(О, 1, и) ср! (и, (1), 1); ! ! я„", (х "(з, Т, и), ..., х" (з, Т, и), из (з), з)+ л + ~ ![У'(и, О, и)д!. (из(з),з)).

(15) ! т-ь! Заметим, что при въ!воде формулы приращения (13) и оценки (14) предполагалось, что все встретившиеся в преобразованиях интегралы имеют смысл и, в частности, подразумевалось, что Г (и) ен Н. Предполагаем читателю самостоятельно выписать, пользуясь формулой ([5), необходимые условия оптимальности в задаче (1) — (6) для выпуклого множества [т', сформулировать условия существования оптимального решения, условия выпуклости илн сильной выпуклости функции ([), условия принадлежности функции (1) классу С" ([т), дать описание градиентного метода, методов проекции градиента и условного градиента. У п р а ж н е н и я.

1. Получить формулу градиента в задаче (1)-(й), считая, что иа(з, !) и (з) еиЕео[О, ![ илн п,(з, Г)=и,(О!и !вы'[О, Т[, или ие(з, Г) ывюе еи Е", или ит(!) же! ш Е", или и, (з) еи мз ш Е". 2. Пряменить метод штрафных функций к задаче (!) — (6) при ограничениях ~к(з, б[(1 или /х!(з, 1) !и,1, 1 1, п. Найти градиент штрафной функции. 3. Сформулировать и доказать принцип максимума для задачи (П вЂ” (О), считая, и=и,!си,хи,, и,=(п,(з, г) е„"(О)! па(з, 1) !н Уа почти всюдУ на ф (! =(и (Г) !и Е" [О, Т[: и (О еа У! почти всюду на [(м Т[), (! [из(з) еиЬ" [О, 11: и (з) ш 1' почти всюду на [О. 111, где и! на Е ', (=О, 1, 2,— заданные множества [511.

$10. Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса — Дарбу При исследовании процессов сорбции, сушки и др. возникает следующая задача оптимального управления [б2 123, 52, 92, 180, 185 †1, 2131:минимизировать функцию .) (и) =$~)'(х(я, 1), х,(я, 1), х~(я, 1), и(я, 1), я, 1) с(яй+ е +Ф(х(1, Т)) (1) при условиях х„(я, 1) =)(х(я, 1), х,(я, 1), х~(я, 1), и(я, 1), я, 1), (я, 1) вне, (2) х(0, 1) =а(1), 0~1:аТ; х(я,О) =()(я), О~я=1, (3) и=и(я, 1) ы 11ыЬ,'(Я), (4) где х=(хз хп) 1 (7 1л) и=(ия и') а= =(а', ..., а"), р=(~', ..., р ), с1=((я, 1): О~я~(, 0 ~1( Т); 1, Т вЂ” заданные положительные числа, Т(х, р, Е, и, я, 1), 1=0, и, Ф(х), а'(1), р'(я), 1=1, и,— заданные функции, У вЂ” заданное множество.

Эту задачу будем рассматривать при выполнении следующих условий: 1) функции 1'(х Р Е, и, Я, 1), 1=0, п, и их частные производные 1,', 1о, )', 7„' непрерывны по совокупности аРгУментов (х р Е, и я 1)енЕ"'хЕпуЕпуЕ.><10 1)> Х10, Т) и удовлетворяют условию Липшица по (х, р, Е, и); 2) функция Ф(х) обладает непрерывными частными производными Ф,(х) прн всех хек Е"; 3) а(1) енН„[0, Т), ()(я) енН„10, 1); а(0) =Р(0). Под решением задачи (2), (3), соответствующим управлению и= и(я, 1) ен1.; ф), будем понимать вектор-функцию х(я, 1) =х(я, 1, и) а=Е,"(Я), имеющую обобщенные производные х,(я, 1), х,(я, 1), хм(я, 1) ~ 1.,"Я) и удовлетворяющую уравнению (2) почти всюду в (), а условиям (3) — в смысле равенства соответствующих следов х(0, ), х(, 0).

При сделанных выше предположениях задача (2), (3) при любом и= и (я, 1) ен Ц(Я) имеет, ипритом единственное, решение. Важно заметить, что любая вектор-функция х(я, 1) ен Е,"(11), обладающая обобщенными производными х,(я, 1), х,(я, 1), х„(я, 1) ~Е,"(Я), непрерывна в замкнутом прямоугольнике Я (точнее, х(я, 1) эквивалентна непрерывной на Я функции). Это значит, что решение х(я, 1, и) задачи (2), (3) можем считать непрерывной функцией на Я, и тогда имеет смысл говорить о значении х(1, Т, и), И3 и величине Ф(х(1, Т, и)). Таким образом, при сделанных выше предположениях функция (1) определена при всех и = и (я, г) ен Ц Я). Можно показать, что непрерывная на Я вектор-функция х(я, 1) является решением краевой задачи (2), (3) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению х(я, 1) =а(я)+р (1) — а(0)+ +~))(х($, т), х,($, т), х~($, т), и($, т), $,т)дво(т.

(5) оо Опираясь на это интегральное уравнение, существование и единственность решения задачи (2), (3) могут быть до- казаны с помощью рассуждений, аналогичных рассужде- ниям нз доказательства теоремы 6.1.1 в 141. Полезно заметить, что если ввести переменные г=х„ д'=х, уо=х„то задачу (2), (3) можно переписать в виде задачи (9.2) †(9.5): г,=г(у', уо, г, и, я, 1), у)=г, у)=1(у', уо, г, и, я, 1), (я, 1) енЯ, г (О, 1) = а' (1), 0 (1( Т, у' (я, О) = р (я), уо (я, О) = р' (я), 0 ( я ( 1.

С другой стороны, если в задаче (9.2) — (9.5) положить г' (я, 1) = ) х' (я, т) о(т, 1 = 1, ио', о г'(я, 1)=~х'($, 1)о$, (=ля+1, п, о то для г=(г', ..., г"), как нетрудно проверить, получим задачу вида (2), (3). Указанная связь между задачами (2), (3) и (9.2) — (9.5) позволяет свести задачу оптимального управления (1) — (4) к задаче (9.!) — (9.6). Однако, желая получше оттенить специфику задачи (1) — (4), а также желая продемонстрировать несколько отличный от вышеизложенного подход к получению сопряженной задачи и к выводу формулы градиента в задачах оптимального управления, мы здесь проведем самостоятельное исследо- 154- Приращение функции (1) равно М (и) = ) (и + й) ) (и) = ~ ~ Л)ос(я Й+ сзФ е (9) где ЛФ = Ф (х (1, Т, и +й)) — Ф (х (1, Т, и)).

Умножим уравнение (б) на некоторую функцию ф = = ор(г, 1) он 7! (Я) и проинтегрируем полученное равенство по прямоугольнику Я. Будем иметь 0 = ~ ~ ((ф, — сох„) + (ф сз7)) с(я с(1. Сложим это равенство почлеино с (9) и получим Л,) (и) = ~ ~ (Л!'о+(Ц, ф) — (с)с, Ахи)) с(я!(с+ с1Ф. Если ввести функцисо Гамильтона — Понтрягина Н(х, р, сй и„я, 1, ф) = =)о(х, Р, с)с и, з, ()+Ц(х, Р, с), и, з, ()> сР7о (10) 155 ванне задачи (1) — (4), не опирающееся на результаты предыдущего параграфа. Покажем, что при некоторых дополнительных пред- положениях функция (1) дифференцируема на 7.о'Щ).

Возь- мем произвольные и, и+й ~ Ьо'(Д) и соответствующие им решения х(з, с, и), х(з, с, и+й) задачи (2), (3). Обо- значим сях(з, 1) =х(я, 1, и+й) — х(я, 1, и), сз)с=)с(х(з, с, и+й), х,(з, 1, и+й), хс(з, 1, и+й), и(з, 1)+й(я, 1), з, ()— — (с(х(з, 1), х,(я, (), х,(я, (), и(з, (), я, (), !'=О, и. Из (2), (3) следует, что Лх„=Л). (и, () ~а (6) ссх(0, 1)=0, 0(1(Т, Лх(я, 0)=0, 0(я(й (7) Можно доказать, что ! гпах ~ ссх (з, 1) ~ + езя яир ~ ~ сох, (я, 1) с,' с(з+ о<с~то т -('еяяяцр $ ~ Лхс(я, () ~'с(1(Со~) й'(я, () с(яс(т, о(сок! о С, = сопз1 ) О.

(8) то прирасцение Л/(сс) можно переписать в виде Л,) (и) = ~ с)(ЛН вЂ” (ф Лх„)) с(зс(1+ ЛФ, (11) где ЛН = ЛН (з, 1) = Н (х+ Лх, х, + Лх„х, + Лхь и+ й, з, С, ф) — Н(х, х„х„сс, з, 1, Ф); аргументы (з, 1) функций х, Лх и их производных, и, й, ф для краткости здесь опущены. Учитывая ограничения, наложенные выше на функции )с, с=О, п, Ф(х), а(1), () (1), с помощью формулы конечных приращений Лагранжа и оценки (8) из (1!) имеем Л,/(и) = ~ ~((Н„, Лх)+(Н, Лх,)+(Н„Лхс)+ е +(Н„, й) — (ср, Лх,с)) сЬс11+ +(Ф„(х(й 7')), Лх(1, Т))+)т, (12) где остаточный член Й удовлетворяет условию (Рый Я вЂ” с.О при 1й'ы — с-0; (13) частные производные Н„Нр, Не, Н„в (12) вычислены в точке (х(ь, 1), х,(з, 1), х,(з, 1), и (з, 1), з, 1, ф(з, 1)). Преобразуем первые три слагаемых в (12) интегрированием по частям с учетом условий (7).

С помощью теоремы Фубини 111, 157) получим ) ) (Н„Лх) с(з с(1 = е с с с --((((„;('сс ссс с*см, ~с)~.)~,- 1о =$~($Н„Д, 1)с(в, Л,(з, 1~)~)с( с(1= е гс =~~(~ ~Н„Я, т)($ (т, Лх„(з, 1)) (з (1: т (Н Лх ) с(з Й с( с( ~~ Нр (з т) с(т Лх с (з 1)) ~Ь с(1 е $ $(Н„Л,) ( и=$$($Н,Д, 1) (Ь, Лх„(з, 1)) Ь (1. 166 Кроме того, в силу условий (7) имеем ! гг Лх(1, Т) =~ Лх,(а, Т) д$=~ ~ ЛхмД, т) <ЦНт= о оо =~~Ах„бзй, поэтому (Ф„(х(1, Т)), Лх(1, Т)) =~(Ф„(х(1, Т)), Лх„(з, 1)) йй. Подставим полученные равенства в формулу (12). Будем иметь т Л,7(и) = ~ ~( — ф(з, 1)+Ф,(х(1, Т)) +~ Нр(з, т) дт+ е т~ + ~ Нз($, 1) ~15+~ ) Н ($, т) й$дт, Лх„(з, 1)) сЬс(1+ +~)(Н,(з, 1), й(з, 1))дзй+й. (14) е До сих пор ф=ф(з, 1) была произвольной функцией нэ (.,"Я). Теперь выберем эту функцию так, чтобы т 3 ф(з, 1) =Ф„(х (1, Т))+ ~ Нз(з, т) дт+ ~ Нз(3, 1) д" + Ф т~ +~ ) Н„($, т)икот, (з, 1) вы~.

Характеристики

Список файлов книги