Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Остается показать, что и(1) ен Н,'[а, Ь) и Р(и) (С. С этой целью заметим, что из ьь (иь) ( С, й = 1, 2, ..., следует, что 11иьП,, ( С, т. е. !иь(1)) слабо компактно в С',[а, Ь[. Поэтому, выбирая при необходимости последовательность и произведя пере- нумерацию ее членов, можем считать, что сама последовательность '!иь(1)[ сходится к и(1) в метрике С,[а, Ь[, а ее производная [иь(1)) сходится к некоторой функции п(1) ~Ц[а, Ь) слабо в Ь„'[а, Ь1.
Нетрудно видеть, что п(1) =и(1). В самом деле, иь(1) удовлетворяют интегральь ь ному тождеству: ~',и„(1), 2(1))Ж= — ) (и„(1), г(1))г(1, а а й = 1, 2, ..., для любой бесконечно дифференцируемой функции а(1), обращающейся в нуль на концах отрезка [а, Ь[ вместе со всеми своими производными. При й-~со ь ь отсюда имеем тождества ~ (и (1), а (1)) г(1 = — $ (и (1), ь а а(1)) !11, которое о-пачает, что и(1) существует и и(1) = =о(1) ~-Е,„'[а, Ь). Тогда !иь(1)!-ь-и(1), и(1) ен Н)[а, Ь[, и в метрике С,[а, Ь1, (йь(Г)) -ьй(1) слабо в 1!г[а, Ь]. Это значит, что (и„— и, Дн — — ~ ((и„— ц, ))+(ия — и, г)) Ж вЂ” « а -«О при й- со для любой функции 1'(1) е- =Н)(а, Ь), т. е.
(и„(1)) сходится к и(г) слабо в Н,'(а, Ь). Но в гильбертовом пространстве Н,'(а, Ь) шар (11(и)=ЦиЦ,', «=С) слабо замкнут, поэтому из 1) (ие) =аС, й=!, 2, ..., следует, что 11(и) ( С. Этим завершается доказательство компактности множества 1)с в метрике С,(п, Ь) при любом С- О. Таким образом, функция 11 (и) = ~1иЦц~ удовлетворяет всем требованиям определения 1 и может служить стабилизатором задачи минимизации в метрике С,(а, Ь). Заметим также, что нз приведенных рассуждений следует, что из слабой сходимости некоторой последовательности (и,(Г)) к и(1) в Н,'(а, Ь] следует ее сходимость к и(1) в норме С,(а, Ь|.
В самом деле, если последовательность (иь(Г)) с= Н)(а, Ь) и слабо в Н,'(а, Ь) сходится к некоторой функции и(1)., то она ограничена по норме Н,'Га, Ь), т. е. зцр()(и~)-=.С при некотором С)0. Это А>! значит, что (ия(1)) ен Ос. Остается повторить рассуждения, аналогичные вышеприведенным, и убедиться, что (и„(1)) сходится к и(1) в метрике С,(а, Ь). Примерами более обших стабилизаторов в метрике С,(а, Ь) являются функции ь Ц) (и) = Ц и — й 11';, = ~ (,' и (1) — и (1) ~'+ ~ и (1) — Й (1),") й, а а 11 (и) = $ (А (1) ' и (1) — й (1),"+ д (1),~ и Д) — й (1) ) г(1, а где и (1) — заданная функция из Н,'(а, Ь); й (1), ) (1)— положительные непрерывные функции на (а, Ь).
Пример 4. Рассмотрим другой класс стабилизаторов в метрике С,(а, Ь). Обозначим через С~(а, Ь) банахово пространство непрерывных вектор-функций и И) (и'(1),... ..., и'(1)) с конечной нормой циЦ = гпах 1и(1) + знр с~ а 1(ь с тм(а,м где у= сопз1, 0(у( 1, Пусть У -множество из С,(а, Ь), замкнутое в метрике этого просгранства; пусть множество У точек минимума 169 функции й(и) на У непусто и содержит хотя бы одну точку и„(() ен С) [а, Ь].
Рассмотрим функцию й (и) = 1(и(1 на множестве Уи=У()Ст[а, Ь]. По условию множество У, () Ст [а, Ь] непусто. Следовательно, непусты множества Уа и Уп = У„ПУп. Кроме того, й(и) )О на Уя. Покажем, что множество йс= [и: и~Уч, й (и) (С[ компактно в метрике С,[а, Ь] при любом С ) О. В самом деле, из неравенства й (и) ( С следует, что гпах ( и (() ; '= 1(и((с -=.
С, и<~«Ь (и(() — и(т) ~ (С(1 — т,т, С тая [а, Ь] для любой функции и(() ен йс. Это значит, что множество функций йс равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь]. В силу теоремы Арцела тогда из любой последовательности [и„(()] ен йс можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции и(1) равномерно на [а, Ь]. Убедимся в том, что и(1) ен йс. Прежде всего, из замкнутости У в метрике С,[а, Ь] и условия ии(() яУ, й=!, 2, ... следует, что и(() ен У. Далее, в неравенстве й (и„) (С можно совершить предельный переход по соответствующей подпоследовательности и получить, что и(() енСт[а, Ь] и й(и)-=С. Это значит, что и (() ен йс, Тем самым компактность множества йс в метрике С,[а, Ь] доказана.
Следовательно, функция й (и) = 1(и(1 удовлетворяет всем требованиям определения 1 и может служить стабилизатором задач минимизации в метрике С,[а, Ь]. Аналогично показывается, что в качестве стабилизатора здесь можно взять функцию й(и) = ~1 и — й~(ст, где й=и(() — известная функция из С~[а, Ь]. Пример 5. Остановимся на примерах стабилизаторов для задач минимизации /(и) на множестве У: — С„[а, Ь].
Здесь С,"[а, Ь] — банахово пространство гп раз непрерывно дифференцируемых г-мерных вектор-функций с ко(йи(О печной нормой ~(и((с =~ гпах ~ — „,,—.)~,.Сходимостьпоии<! <и ~ ~=0 следовательности [и,(()) к и(() в метрике С',"[а, Ь] означает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательностей ниии ((]1 иии (О ] к — „, при каждом (=О, 1, ..., и. Пусть У 170 замкнуто в метрике С,"[а, Ь), а (7 непусто и содержит хотя быодну точку и изН,+'[а, Ь'1 (см.
обозначения в З !.1). Рассуждая по аналогии с примером 3, можно показать, что стабилизатором здесь можно взять функцию Другим стабилизатором в задачах минимизации в С, [а, Ь) может служить функция где у сопз1, 0:-у(1. Эта функция определена на банаховом пространстве С, ' т[а, Ь) т раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций и (1) = (и' (1), ..., и'(1)) с нормой 11и11 ., т = ь) (и).
Если множество (7 замкнуто в метрике С, [а, Ь1 и хотя бы одна точка минимума 7(и) на (7 принадлежит пространству С,' т[а, Ь), то по аналогии с примером 4 нетрудно показать, что ь)(и) а самом деле является стабилизатором такой задачи в метрике С, [а, Ь1. Пример б. Пусть рассматривается задача минимизации функции l(и) на множестве с/~Ц[а, Ь1, где 1( (р(оо.
Пусть сг' замкнуто в метрике Е'[а, Ь"1 и хотя бы одна точка минимума принадлежит пространству Н,та [а, Ь', или С, ' т[а, Ь) при каком-либо целом пг)0. Тогда и качестве стабилизаторов в метрике 7.' [а, Ь] можно взять гз(и) — — 11и11з„. ~ или ь) (и) =11и11с'" т соответственно. Это следует из того, что равномерная сходимость функции на [а, Ь; 'влечет за собой сходимость по норме пространс ва Ел [а, Ь).
П р и м е р 7. Наконец, приведем пример стабилизатора в метрике пространства 7.г (а, Ь) Пусть сГ множество из Ь,'(а, Ь), замкнутое в метрике этого пространства, пусть множество сг, точек минимума Г ункцни уги) нз Г непусто. Предположим, что сГ„содержит коти и одну точку и (Г) гя У" (а, Ь1. Здесь под У'(а, Ь) понимается 171 банахово пространство вектор-функций и (1) = (иг (1), ..., иг (1)) с огра- ниченным изменением; нормой в этом пространстве является величина ! и [у — и (а) '+ !'„(и), где У (и) — полное изменение функции и (1) на отрезке [а, Ь]. Напомним, что функция и (П имеет ограниченное « изменение на [а, Ь], если верхняя грань суммы ~р ~и(1;) — и (1;,), г= ! по всевозможным разбиениям [1/) = (а=1.
< 1, «... 1„= Ь) отрезка [а, Ь] ограничена равномерно по л -.1, а величина !/ (и) = анр ьцр У, и(1!) — и(1;,), «~! 1/,.1; называетсн полным изменением и (1) на [а, Ь) ([11], гл. У! 4 2). Про- странство У'[а, Ь] является яодпространством Е![а, Ь]. Рассмотрим функцию О (и) = ' и ', = и (а),'+ УЬ (и) на множестве Е/и =-(/[) У' [а, Ь[. По условию множество Е/«П У' [а, Ь) непусто. Следовательно, ненусзы множества (/ц и (/«~ — — (/ П (/ Кроме того, й (и) ==-0 на Юа.
Покажем, что множество И = [и: и щ Е/ц, й (и) < С] компактно в метрике Ц [а, Ь] при любом Стеб. В самом деле, из неравеяства О (и) С следует 1 и (1) - ' и (а) + и (1) — и (а) -.:- ' и (а) + !'ь (и) < С нри всех 1щ [а, Ь] для любой функции и(1) из (!С. Далее, считая для определенности и(1) ими (Ь) при 1)Ь, будем иметь Ь ([„(1 ! ) и(1)]л1 (Уь~т(и) «1 ~ ~У~-,т(и) У~ („)]«/, а а а а-гт «-1-т ~ У„(и) П вЂ” ~ У~~ (и) Л .= 2Ст ь а при всех т) 0 н всех и (1) щ !!с. Следовательно, множество функ- ции й . равномерно ограничено и ранностепенно непрерывно по норме Е![а, Ь].
Это значит ([204], стр. !14; [87], стр. 324 †3), что нз любой последовательности (и« (1)) щ йг можно выбрать под- последовательность, сходящуюся в метрике Ее[а, Ь] к некоторой функции и (1) сн Е', [а, Ь]. Убедимся в том, что и (1) щ 1) . ! !режде всего, тан как и«(1)щ(/, й=1, 2, ..., а С замкнуто в метрике Е! [а, Ь], то и (1) еи (/. Остается показать, что и(1) щ У']а, Ь] н О(и). С. В силу теорем Хе«ли (]11], стр. 366 — 369) нз [и«(1)] можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [а, Ь] к некоторой функции и (1) са Уг [а, Ь].
Не умаляя общности, можем считать, что сама последовательность (и; (1)] гходится к о (1) при всех 1 щ [а, Ь] и и и (1) в метрике Е; [а, Ь[. Но нз сходимости (и«(1)) к и (1) в Е', [а, Ь] следует существование подцоследовательности, сходящейся к и (1) 172 почти всюду на [а, Ь] Ц! [], стр. 388). Поэтому, изменив функцию и (1) на множестве меры нуль, можем считать, что и (1) с о (1) гн рг [а, Ь]. ч Наконец, из соотношений, и(а) + ~ ! и(1;) — и (гг,),=!цп ([и„(а) + е аь а + ~' [не(1г) — ьь(1; г) ) <С, справедливых для любого конечного г=! разбиения [1г) отрезка [а, Ь], следует, что (га (и) <С.
Компактность Ь множества () в м.трике Ц [а, Ь] доказана Таким образом, функция () (и) = [ и 'к обладает ссойствами стабилизатора в метрике 1.', [а, Ь[. Как видно из приведенных примеров, при построении стабилизаторов весьма полезны знания критериев компактности множеств в используемых метрических пространствах, георем вполне непрерывного вложения одного функционального пространства в другое. С помощью теорем вложения [35, (57, [89, 204] аналогично могут быть построены стабилизатооы лля задач минимизапин в пространгтвах Ср (6), С~ (6) и других, где 6 — некоторая заданная область из и-мерного евклидова пространства У п р а ж и е н и я.
! Можно ли взять функцию () (и) = г = ) (, 'и (П,з+ и (1) !з) Ж в качестве стабилизатора а метрике С [О, !] а ! и задаче минимизации функции 1 (и) =~ ' и (1) зг(1 на множестве С= =А~[0, )Р 2. Пусть функция 1(и)= гпах и(1),+ гпах,'и(1), мннимнзиа<г<!' о<!<! руется на множестве () =Сз [О, )].
При каких т, р функция () (и)= 1 т [' 'кч ~ очи (1) 'л у — о1 может служить стабилизатором этой задачи в а г=! метрике С' [О, )]у ! 3. Какие из функций () (и)=~ ! и (1) лг(1, () (и) = шах,! и(1) '„ е а<!<! 1 () (и) =~ ([ и (1) + 'и (1) ) г(1 и в каких метриках могут служить стаби! лизатором в задаче минимизации 1 (и) = ] ! и (1) ' Л на множестве (Г= о — !.,[о, (р 4. Для задачи минимизации функций иа выпуклом замкнутом множестве из 1.р [а, Ь[, ! (р <+со привести примеры слабых стабилизаторов 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
