Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ф(я, 1, и)=ф(я, 1) ~Сои), удовлетворяющая интегральному тождеству с ~ ~ (Фи+ а'Ф„„) ф с(я с(1 = 2 ~ (х (я, Т) — у, (я)) Ф (я, Т) с(я+ о о с + 2 ~ (х, (я, Т) — у, (я)) Ф, (я, Т) с(я о для всех функций Ф=Ф(я, 1) е=Н4 оЯ), обладающих обобщенными производными Ф„, Ф,, ен 1.,(Д) н таких, что Ф~, о=Ф,~ о=Ф„~, с=Ф„,!, с=О при О(1(Т и Ф!с о=Фс)с о=О при О =я(1. С помощью решения ф(я, 1, и) краевой задачи (32) приращение функции (19) можно представить в виде Л1 (и) = $ $ ф (я, 1, и) )с (я, 1) с(я с(1 + )7. (ЗЗ) В самом деле, из (28) с учетом условий (25) — (27), (32) имеем Ы(и) )( — срс(я, Т)бх(я, Т)+ф(я, Т) Лхс(я, Т))с(я+)с= о с т — ( — ср Л.
+сйсях) с(сс(я+я Г д о о = ~ ~ ( — 4Р,Ах+ фЛхсс) асз с(1+ Я ° = ~ ~ а' (ф„„бх — србх„„) с(я с(1+ ~ ~ ср(с с(я с(1+ йс т ао ~ (ф,„бх — 'сР„Ьх, + сР,Лх„— фбх„,) ~*,-' с(1+ о +~ ~ фас(яс(1+)я= ~ ~ф(я, 1, и))с(я, 1) с)яс(1+Рс. а е Формула (ЗЗ) получена. Из (ЗЗ) и оценки (29) следует, что функция (19) дифференцируема на Ео (Я) и ее градиент равен .7'(и) ф(я, 1, и), (я, 1) вне. (34) Конечно, как и в задаче (1) — (5), приведенный выше вывод формулы (33) и оценки (29) нельзя признать стро- 144 гим; относительно строгого доказательства формулы (34) см. замечание, высказанное в 2 7 в аналогичном случае.
Можно показать, что функция (19) принадлежит С' ' ((.э). Далее, поскольку решение задачи (20) — (23) также удовлетворяет равенству (7), то функция (19) выпукла. Отсюда и из теоремы 3.6 следует, что задача (19) — (24) имеет хотя бы одно решение. Согласно теореме 2,5 для оптимальности управления иэ = и„(з, г) ен (7 необходимо и достаточно, чтобы ~) тр(з, 1, ив)(и(з, () — и (з, !)) г(зс(1)0 при всех и=и (з, () ен(7. Предлагаем читателю самостоятельно написать итерации методов проекции градиента и условного градиента и для (й+!)-го приближения получить формулы, аналогичные формулам (15) — (18).
У яр а ж нен и я. 1. Показать, что функция э'г(и)=э'(и)+ т +()~ рэ (г) о(+ 5) $ )э (з, г) пэ ог, 5 сопз1) О, где э (и) взята иэ (1), е прн условиях (2) — (4) сильно выпукла на )т'=(э !О, 11Хьэ((1). Описать метод скорейшего спуска для задачи минимизации эт (и) на всем пространстве Н. 2. Показать, что функция Хг(и) э'(и)+5)) иэ(з, 1)с(зо(, 5)0, о где э'(и) определяется формулой (19), при условиях (20) — (23) сильно выпукла на Еэ(0), Описать метод скорейшего спуска для мнннмнза. ции у,(и) на ц(0).
3. Найти градиент функций (1) и (19) по начальным условиям ррэ чг). 4. Используя описанный в $ 7 эвристический прием, получить сопряженные краевые задачи (11) и (32). 5. Пусть в задаче (1) — (5) или (19) — (24) имеются дополнительные огРаничениЯ /х (э, б и) , '<тэ, /хс (з, Г, и) (~т„(з, Г) а Я. Учесть эти ограничения с помощью штрафных функигий, вывести формулу градиента для штрафной функции; описать метод штрафных функций в сочетании с методом проекции градиента или условного гра. диента. г 6. Пусть требуется минимизировать функцию э'(и) ~ р'(1) Ф+ + ) ~)з(з, 1) пзЛ при условиях (2) — (5), (14) или функцию э'(и) = е ~) иэ(э, Г)пэп( при условиях (20) — (24) и дополнительных ограо иичениях х(в, Т, и) О, хг(э, Т, и) О, 0(ам=1, где Т)0-заданное время.
Учесть дополнительные ограничения с помощью штрафных фуницнй; найти градиент штрафной функции. !45 5 9. Оптимальное управление процессами, описываемыми системой первого порядка с частными производными При исследовании ряда химико-технологических процессов возникает следующая задача оптимального управления 1'149, 151, 179, 213]: минимизировать функцию от ,((и)=~~1'о(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1)т(зт(1+ оо т +~ тро(х'(1, 1), ..., х"'(1, 1), и,(1), 1) Й+ о ! + ~ до (х"" (з, Т), ..., х" (з, Т), ио (з), з) ~(з (1) о при условиях х', (з, 1) = То (х (з, 1), ио (з, 1), з, 1), (з, 1) ен Я, 1= 1, ти, (2) х~(з, 1) =('(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1), (з, 1) енЯ, 1=т+1, и, (3) х'(О, 1)=ор'(и,(1), 1), 0(1 я Т, 1=1, т, (4) х'(з, 0)=д'(ио(з), з), О~а~(, 1=ти+1, и, (5) и = (ио (з, 1), ит (1), ио (з)) ~ Еl ы Н = = Ьо" М) Х ) о' 10, Т) Х й (О, 11, (6) где Я=((з, 1): 0(з(1, 0~1(Т); 1, Т вЂ” заданные положительные числа, х= (х', ..., х") — фазовые переменные, 1 = (1',, 1"), ~р = (грт...,, ор'"), д = (д"" ',, д") — заданные функции, ио=1и~,..., и,') — управляющие параметры, 1=-0, 1, 2.
Под решением задачи (2) — (5), соответствующим управлению и = (и, (з, 1), и, (1), ио (з)) ~ Н, будем понимать вектор-функцию х (з, 1) = х (з, 1, и) ° (х" (з, 1),, х" (з, 1)) ~ енто" (Я), имеющую обобщенные производные х,'(з, 1) еа ~1.о(1е), 1=1, т; х',(з, 1) — -5о(С), 1-т+1, и, удовлетворяющую уравнениям (2), (3) почти всюду в (1, а усло- 146 виям (4), (5) — в смысле равенства соответствующих следов функций х' (з, (). Будем предполагать, что выполнены следующие условия: 1) функции )'(х, и,, з, г), (=О, п вместе с частными производными Г"„', ~' непрерывны по совокупности переменных (х, и,, з, г) ен Е" хЕо к[0, 1[х[0, Т1 и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х, и); 2) функции Ч>о (х>,, хт и> () гр> (и () 1 1 и о г вместе с частными производными гр„, гр„„(=0, >и, непре.
рывны по совокупности переменных (х', ..., х"', им Г) = еиЕ кЕ' х[0, Т1 и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х', ..., х'", и,); 3) функции д (х~~, ..., х", им 3), я' (им я), > = гл+ 1, «, вместе с частными производными д', д~, д'"-~', ..., д непрерывны по совокупности переменных (х"", ..., х", и„з) енЕ"-"хЕ" к[0, 1[ и удовлетворяют условию Липшица по переменным (х ", ..., х", и,). Тогда ~['(х, им з, ~) ~ (~Р>(х, и„з, () — ['(О, О, з, () ~+ +)('(О, О, з, Г)/~Е.(!х!+,'ио/)+зцр/)>(О, О, з, ()) при всех (х, и„з, () ен Е" х Е" х [О, ([ х [О, Т'), откуда следует, что р>(х(з, 1), и,(з, (), з, () я Е.,Я) при любых х(з, г) ен ~И(~>), ич(з, () ~Ц'(С)).
Можно также показать, что Ч>о (х> (1), ..., х~ (>), и (Г), (), Ч>> (и (>), Г)... грм (и ((), () ен яЕ,[0, Т) для любых х'(Г) яЕ,[0, Т1 1=1, т, и,(() ен ~ Е," [О, Т>, д~ (х"'"' (з),..., х" (з), и, (з), з), д~" (и, (з), з), ... ..., д" (и,(з), з) ен),[0, 1) для любых х'(з) яЕ>[0, 11, (=«>+1, «, и,(з) ~Ц'[О, ([. Аналогичные утверждения справедливы для производных ),', 1'„, ~р,', ч>'„, д„', д,' . Проводя рассуждения по той же схеме, которая использовалась при доказательстве теоремы 6.1.1 из [4), можно показать, что при выполнении перечисленных условий решение задачи (2) — (5) при каждом и ~ Н существует, единственно,151) и, следовательно, функция (1) определена на Н.
Покажем, что при некоторых дополнительных предполо>кениях, которые будут сформулированы ниже, функция (1) дифференцируема на Н. Возьмем произвольные и=(и„«,, «,,), и+5==(иои йм и,+Ьо и>+йз) а=Н и соответствующие пм решения х(з, 1, и), х(з, Г, и+)>) 14У задачи (2) — (5). Обозначим Ьх(з, 1)=х(з, 1, и+И) — х(з, 1, и), Ь|с=сс(х(з, 1, и+И), ио(з 1)+Ио(з 1) в 1)— -сс(х(з, 1, и), иа(з, 1), в, 1), 1=0, и, Ьсро=сро(х'(1, 1, и+И), ..., х'"(1, 1, и+И), и,(1)+ +И, (1), 1)-ср'(хс(1, 1, и), ..., х"'(1, 1, и), и,(1), 1), Ьсрс=срс(и,(1)+Ис(1), 1) — ср'(и,(1), 1), с=1, т, Ьуо=до(х'"+с(з, Т, и+И), ..., х" (з, Т, и+И), и,(з)+ +И,(з), з) — ео(х'"+с(з, Т, и), ..., х" (в, Т, и), и,(з), в), Ьо(с=ис(иа(з)+Иа(в), з) — дс(иа(з), з), 1=т+1, и.
Тогда из (2) — (5) имеем Ьх,с=Ь)", 1=1, т; Ьхс=Ь1', 1=т+1, п; (з, 1)ен(1, (7) Ьх'), о=Ьср', 0(1(Т; 1=1, т; Ьхс!с-а=Ь8с, 0(з(1, 1=т+1, и. (8) Приращение функции (1) запишется в виде Ь,( (и) = 1 (и+ И) — У (и) = т ~ ~ Ьса~(зс(1+~ Ь,ра (1+ ~ Ь о 1 'е о о г и ~~Ь)ос(вс(1+~ 'У, 'ср',с(х'(1, 1), ..., х"'(1, 1), ис(1), 1)Х е ос с т Х Ьхс (1, 1) й+ ~ (ср„', (хс(1, 1), ..., х (1, 1), и (1), 1), И (1)) с(1+ о с а + ~ ~ч~, 'Ис„'с (х~+с (в, Т),..., х" (в, Т), и, (в), з) Ьхс(з, Т) йз+ ос- +с с +$ (Иа,(х'"+с(з, Т), ..., х'"(з, Т), и,(з), ), Ио(з),'с(в-)- о + йс+ йо (9) где т Яс ~ ~' (ср„'с(хс(1, 1)+ОЛхс(1, 1), ..., ис(1)+Ой>(1), 1)— ос ! — ср„';(х'(1, 1), ..., и,(1), 1))сзх'(1, 1)с(1+ т +~ (К,(хс(1, 1)+Обух!(1, 1), ..., и,(1)+Ой!(1), 1)— о — ср,'„(х'(1, 1), ..., и,(1), 1), >сс(1)) с(1, с л (й",с(х'!с+с(в, Т)+ Ойх "'(в, Т), ..., и (я)+ о с=т+! +Ой,(я), я) — у,'с(х "(я, Т), ..., и,(я), я)!сзхс(я, Т) й+ +~(ий,(х эс(в, Т)+ 8 бахо!"~(я, Т), ..., ио(я)+8>> (я), я)— о — д"„,(х™(я, Т), ..., и,(в), в), Ьо(в)) с!в, 0<8<1.
Для преобразования правой части формулы прираще. ния (9) введем функцию Гамильтона — Понтрягина Н(х, и„в, 1, ф) =>о(х, и„я> 1)+,Я 1>(х, и„я, 1) фс, с-! а также выпишем сопряженную задачу для ф=ф(я, 1)= = (ф' (в, 1), ..., ср" (я, 1)) ф — Н„.~ ~„ , сь ~ „>, с 1, ис, (10) фс = — Н„с!, , сь с, „>, с = нс + 1, а, (я, 1) ен (1, сс и~>с, с> >(1с(1, 1) =ср,'с(х1(1, 1), ..., хт(1, 1), ис(1), 1), (! 1) 0(1 =Т, 1=1, т, ))>с(в, Т)-й„'с(хт~'(я, Т), ..., хл(в, Т), и,(я), я), ('1 2) 0 ( я ~ 1, 1= ис+ 1, и. Задача (10) — (!2) линейна относительно ф=ф(я, 1, и) и является задачей того же типа, как и исходная задача (2) — (5), поэтому определение решения задачи (10) — (12), а также условия существования и единственности решения ь(огут быть сформулированы так же, как для задачи (2) — (б) ИО С учетом условий (7), (8) и (1О) — (12) имеем ~ ~', ор',/(х1(1, 1), ..., х'"(1, 1), и,(1), 1) Лх'(1, 1)/11+ О 1= ~ л +~,Я а,'/(х "(Я, Т),..., хл(з, Т), и,(з), Я)Лх/(Я, Т)т(злл ОК- +1 л1 т л С = 'У, '$ ф'(1, 1) Лх'(1, 1)/(1+ 'Я $Ор/(я,Т) Ьх/(я, Т) с(я/-ьо / па+1 О е т!/ л срт = 1'(ДтМл'~л)о~4.
/„' )((л~Фл/~а)о*-'; / /о й /=т+ьо о / т л + ~ , '~ ф/ (О, 1) Л/р/ Й+ ~ ', ~ ор/ (я, О) Лд//(я =* /=!о с о+~о =$ $(Ф Л))/(ЯЙ вЂ” $ $(Н,(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1, 'ф(Я, 1)), е т Лх(я, 1)) /(зо(1+~ ~', ор/(О, 1) Л1р//11+ о с-~ +~ 'У, 'оР/(я, 0) Лйоо(я. О/= +1 Пользуясь этим равенством, формулу приращения (9) можно переписать в виде Л,((и)=~)т[Н(х(я, 1)+Лх(я, 1), ио(я, 1)+ е +)оо(я, 1), я, 1, ф(з, 1)) — Н (х.(я, 1), ио(я, 1), я, 1, ф(я, 1))— — (Н„(х(з, 1), ио(з, 1), з, 1, ф(я, 1)), Ьх(я, 1))]/(яо(1+ т +1 ((/р',,(х'(1, 1), ..., х" (1, 1), и1(1), 1), (11(1))+ о ш + Х Ф (О.
1) Д/р') о(1+ 1 1 + ~ ((д„",(х"' '(я, Т), ..., хл(я, Т), и,(я), я), йо(я))-)- о л + К Ф'(я, 0)ЛЬ')д 1)р1+Яо. 1 /л+1 16() Отсюда следует, что И(и)=~~(Н,(х(з, 1), ио(а, 1), а, 1, ор(о, 1)), )!о(а, 1))й!11+ е т + ~ ( ! р ( х ! ( 1 1 ) х о ( 1 1 ) ( 1 ) о + У', ф (О, 1) ц,„(и,(1), 1), Д,(1)'ж+ 1= ! ! + $ (ои, (х (3, Т), ..., х" (3, Т), ио (а), а)+ + У', !(т' (а, О) й!~ (ио (з) а) )!о (а)( й+ Я, (13) 1=-!о-!- ! где Й= т' ,К, величины Й„т(о определены выше, 1 ! Ко = ~ ~ (Н„(х+ 6 Лх, и, + ол„а, 1, ф)— е — Н,(х, ио, а, 1, ор), Лх) й!11, )то=~(Но(х+оЛх, ио+0)!о а 1 ор)— е — Но(х, ио а 1, ф), )!о) й!11, о! Р =~ ~Х, '!Р!(О, 1) (<Р'„(и,+бйи 1) — !Р'„(и,, 1), )!,) !(1, о г=! ! о Ро=~ У, !р! (а, 0) (д', (но+8)о„а) — д„' (и„а), )!о) !Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
