Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(15) Так как в (15) Н,(з, 1), Н,(з, 1), Н (з, 1) представляют собой частные производные Нр, Н„Й„функции (10), вычисленные в точке (х (з, 1), х, (з, 1), хз (з, 1), и (з, 1), з, 1, ф(з, 1)), причем Н(х, р, д, и, з, 1, ф) линейно зависит от переменной ф, то (15) является линейным интегральным уравнением относительно ф (з, 1). Уравнение (15) аналогично уравнению (5), н сушествование и единственность его решения ф(з, 1) =ф(з, 1, и) прн сделанных выше предположениях доказывается аналогично тому, как доказывалась теорема 6.(.1 в [4).
С учетом условия (15) из ((4) имеем Ы (и) = ~ ~ (Н, (з, 1), й (з, 1)) з(з й+ Р. (16) о 157 Отсюда и из условия (13) следует, что функция (1) дифференцируема и ее градиент равен Г (и) = На (з, !) = Н„(х (з, (, и), х, (з, 1, и), х, (з, (, и), и (з, !), и, (, тр (з, (, и)). (17) Подчеркнем, что при выводе формулы (16) исходные функции !о, ( предполагались такими, что Н„(з, () е-:(,'(О). Предлагаем читателю самостоятельно выписать, пользуясь формулой (17), необходимые условия оптимальности в задаче (1) — (4) для выпуклого множества (У, сформулировать условия существования оптимального решения, условия выпуклости и сильной выпуклости функции (1), дать описание градиентного метода, методов проекции градиента и условного градиента. У п р а ж н е н и я.
1. Получить формулу (17) для градиента, сведя задачу (1) — (4) к задаче вида (9.1) — (9.6) и пользуясь результатами й 9. 2, ! олучить формулу градиента в задаче (1) — (3), считая, что и (з, () ни (з) ш 1„' 10, 11 или и (з, Г]сии (() я Ез [О, Т), или и(з, ()си яш е Е 3. Применить метод штра~нмх функций к задаче (1) — (4) при ограничениях х(з, () ~ (1 или 'хг (з, 1) !(1, г=!, л, или ) ~ , 'х(з, (),з г(з г(г(1 найти градиент штра(ной 4ункции. е 4 Гформулировать и доказать прннцип максимума для задачи (1) — (4), считаи, что ьГ=(и(з, () шьз'(()): и(з, () Я У почти всюдУ на ф где У вЂ” заданное множество из Ег 1921. ГЛАВА 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ При численном решении прикладных задач важное значение имеет тот факт, будет ли решение рассматриваемой задачи непрерывно зависеть от исходных данных или, иначе говоря, будет ли искомое решение устойчивым по отношению к возмущениям входных данных.
Если решение устойчиво по входным данным, то можно быть уверенным в том, что достаточно малые погрешности в задании входных данных приведут к малым погрешностям в определении решения. Иное дело решать неустойчивую или, как говорят, некорректную задачу, решение которой не является непрерывно зависящим от входных данных: в этом случае приближенное решение задачи, отвечающее неточным входным данным, может как угодно сильно отличаться от искомого точного решения. Между тем некорректные задачи возникают в самых различных областях физики, техники, экономики и т. д.
!17~, и возникает важная проблема: как численно решать такие задачи? Основы теории и методов решения некорректных задач заложены в работах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева и др. К настоящему времени создана достаточно полная общая теория некорректных задач, созданы приближенные методы решения таких задач, с помощью которых успешно решены и решаются многие прикладные задачи. По поводу общей теории некорректных задач и ее приложений, а также библиографии по этим вопросам отсылаем читателя к !17, 105).
Здесь мы рассмотрим методы решения некорректных экстремальных задач; по этим вопросам см. обзорную статью !212~ н библиографию к ней, а также !1О, 21, 43, 44, 55, 57, 58, 61, 64 — 68, 80, 90, 105, 109, 117, 118, 143, 160, 161, 163— 165, 206, 211, 218]. 169. й 1.
Постановка задачи Рассмотрим задачу ,1(и)-+ 1п1; и ~ У, (1) где У вЂ” заданное множество, функция у(и) определена на У. Следуя [!7), будем различать два типа задач минимизации. К задачам первого типа отнесем те задачи (1), в которых ищут величину /, !п12(и), не интересуясь тем, достигается ли нижняя грань функции у(и) на множестве У в каких-либо точках или не достигается. В задачах второго типа наряду с (, ищется также точка и„ в которой у (и) достигает своей нижней грани на множестве У, т. е. и,„еиУ„(и: иенУ,,!(и)=1„,).
Для краткости задачу йервого типа ниже будем именовать задачей 1, а задачу второго типа — зайтчей 1!. В задаче 1 естественно предполагать, что )".э сс, а в задаче 1!, кроме того, У,*~ ф, Получить точное решение этих задач возможно лишь в редких случаях. Учитывая это обстоятельство, полезно дать другую более удобную в приложениях формулировку задач !, П. Задача !. По заданной точности а~О найти число ,(, ~акое, что (,(,—.(„(~е. (2) На практике в качестве ), часто берут значение функции 1(и) в каких-либо подходящим образом выбранной точке и, ен У, т. е.
у(и,) (,. Приближенное решение задачи 1! предполагает, что вместо точки и, можно ограничиться нахождением точки и енУ, которая близка ко множеству У„и для которой !.Г (и,) — У, ~ ~ е. Здесь, однако, возникает вопрос, в каком смысла следует понимать близость точки и, ко множеству У,? Мы будем предполагать, что на множестве У введена некоторая метрика р, и близость точки ко множеству У, будем оценивать в этой метрике. Точнее, пусть У вЂ” метрическое пространство с расстоянием р (и, о) между точками и, о е У, и пусть р (и, У,) 1п1 р (и, о)— сии, расстояние от точки и до множества У,.
Задача !!. По заданным точностям е)0, б>0 найти точку икь нв У такую, что (((иеь)-У / ~е, р(и,э У,)мб. (3) Заметим, что в одной и той же задаче минимизации на множестве ~l могут быть введены, вообще говоря, различные метрики. Тем не менее, выбор подходящей метрики на (/ не совсем произволен и определяется ососенностями конкретной задачи, характером проводимых исследований, требованиями практики. В конечномерных задачах минимизации, когда и=(и', ..., и'"), чаще все!о выбирают евклндову метрику р (и, о) = ~ ! и! — о',' возможны случаи, когда удобнее пользоваться метриками иа ',!у р(и, о)= и!ах !и! — о',' или р(и, о)=! ~~ !и' — и!''!и! !<!<ус '2=!' 1 ~ р < !г т, и др. В задачах оптимального управления, где и=и(!)=(иа(!), ..., и" (!)), (в<((Т, многие исследования удобно проводить в метрике Ц((в, Т1, когда (г ! !у2 р(и, о)=(~ ~', ~ис(!) — пс(!)!" Ж) .
В вопросах приближез,е=-! ния функций, минимизации функционалов, связаннь|х с интегральными или дифференциальными уравнениями математической физики, возможно использование более сложных метрик, гарантирующих близость в среднем или равномерную близость не только самих функций, но и их производных до определенного порядка. Некоторые конкретные примеры метрик, используемых в экстремальных задачах, были приведены в ~ 1.1; см. также Ц 2, 5. Для приближенного решения задачи ! достаточно с помощью какого-либо метода построить любую минимизирующую последовательность ',ил)! ил~У, 1=1, 2, ...; )пп /(ил)=)„(4) и в качестве искомой величины /„удовлетворя!он!ей условию (2), взять значение функции l (ив) с достаточно большим номером й.
Можно попробовать воспользоваться последовательностью (4) и прн рен:енин задачи 11 и, как зто иногда делают на практике, попытаться взять в качестве искомой точки и, м удовлетворяющей условиям (3), точку ил с достаточно большим номером й. Однако здесь сразу возникает вопрос: будет ли такая точка и; близка ко множеству (/„в требуемой метрнкеу Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Пусть у (и) =- ив (1-ь иа)- ! при и =-. О, /(и)=-О прп и<0; (2'=Еа=( — со<и<со), Очевидно, 6 Ф и Васильев !6! здесь /„ = О, (/,„ = [ьн и = О). Последовательность иь = й, А = 1, 2,, является минимизирующей: !'пп l (й) = 6.
Но она не сходится к (/„в метрике Е' и, более того, р (иь, (/ ) = /г -~ со. П р и м е р 2. Пусть требуется минимизировать функ- 1 цию /(и) =~х'(/)й, где х(/) является решением задачи о Коши: х(/) = и(/), 0»/» 1, х(0) =О, а управление и = = и(/), 0»/» 1, принадлежит множеству (/ ограничен- ных измеримых функций, удовлетворяющих неравенству ,'и(/)!»1 почти всюду на 0»/»1. Метрика на мно- жестве (/ пусть задана нормой !!и! пространства /.,[О, Ц или /. [О, Ц. Очевидно, в этой задаче 1 =О, причем нижняя грань / достигается на управлениях и„ (/), почти всюду на О » / » ! равных нулю, и только на них. Последовательность и~ (/) = з)п (2пй/), О» /-=.
1, /г = 1, 2, ..., является минимизирующей для этой задачи. В самом деле, хь(/) =х(/, и,) = (2пл) '[1 — сов (2па/)], А= 1, 2, ..., так что 0»,/(и~)=(З/8)п-Чг-" '— 0 при А- со. Однако (иь(/)) не сходится к и„(/)=О нн в норме /,[О, Ц, ибо 1 [и» вЂ” и„!с,=~а!и'(2пй/)Й=1/2, ни тем более в норме /. [О, Ц. П р и м е р 3.
Рассмотрим задачу минимизации функции ! ./(и) =~ и'(/) с// на множестве (/=С[0, Ц. Здесь /,„=О о и (/„состоит из единственной точки и, = и (!) =О. Возь- мем произвольную минимизирующую последовательность: 1 ]и,(/)] ен С [0, Ц, 1!т ~ и[(/) г//=О. Имеем: ! иа — и, [Е = ' о 1 = ~ и,". (/) Ш-~ 0 прн л- оо. Это означает, что любая а минимизирующая последовательность в рассматриваемой задаче будет сходиться к оптимальной точке по норме /.,[О, Ц. В то же время существуют минимизирующие последовательности, которые не сходятся к и, (/) по норме С[0, 1,'. Примером такой последовательностй может слу- жить '; 1 —,:2й/ — 1, 0 =-/(1/й, оа(/) =-' [ О, 1//г » ! » 1, й = 1, 2, ... !62 В самом деле, ! о„— и» (7, = 1!(Зя)-ь О при я — ~ со, а ! о» вЂ” и, ~ с = 1 тг О.
Пример 4. Пусть l(и)= гпах ~и(г)), У С[О, 1]. о<~<~' Тогда l, =О, У„= [и, (Г) =О). Здесь любая минимизируюшая последовательность, очевидно, сходится к и„ (() по норме С[О, 1!. Однако, если мы захотим построить последовательность [и,(Г)), сходящуюся к и, (!), скажем, равномерно на [О, 1) вместе со своей производной, то должны проявить осторожность при выборе минимизируюших последовательностей, ибо не все из них будут сходиться к и„(Г) в указанной метрике, Например, и»(Г) = = з!и (И)!Й, )г= 1, 2, ..., сходится в этой метрике к и„(!), а у минимизирующей последовательности с»(!) = =.
з!п)г(!Ац"-, й=!, 2, ..., производная (о»(!)) не сходится к и„(г) по норме С[О, 1). Эти простые примеры показывают, что в одних задачах минимизации любая минимизирующая последовательность будет сходиться к оптимальной точке в требуемой метрике, в других задачах могут существовать минимизирующие последовательности, не обладающие таким свойством. Кроме того, одна и та же задача может обладать указанным свойством в одной метрике и не обладать им при выборе другой метрики на множестве У. Таким образом, в зависимости от выбора метрики задача (!) может быть отнесена к одному из двух классов задач, которые принято называть корректно поставленными и соответственно некорректно поставленными задачами минимизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
