Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Перейдем к более строгим формулировкам. Определение !. Задача (1) называется корректно поставленной в метрике р или, короче, р-корректной, если 1) У =-1п! /(и)) — оэ и множество У„=(иыУ: и l(и) = l,[ непусто; 2) любая минимизирующая последовательность (и») в этой задаче р-сходится ко множеству У„, Если нарушено хотя бы одно из условий 1) или 2) определения 1, то задачи (1) называют некорректной в широком смысле слова В дальнейшем нас будут интересовать методы решения задачи !1, в которой условие 1) предполагается всегда выполненным, и поэтому некорректность задач минимизации всюду ниже будем понимать в следующем более узком смысле. Определение 2. Задача (1) называется некорректно постпвленной в метрике р, если 1) /,< — со, У»~3! 6* !63 2) существует минимизирующая последовательность (и„), не сходящаяся к У, в метрике р.
В смысле этих определений задача из примера 1 является некорректной в евклидовой метрике; задача из примера 2 некорректна в метрике пространств 1.,~0, 1) и ) !О, 1); задача из примера 3 некорректна в метрике С !0, 1], но в то же время она корректна в метрике Е,[0, 11. Классы корректных задач минимизации в различных метриках выделяют теоремы 1.3.1, 1.3.8, 1.3.9, 1.3.11 о существовании оптимальной точки. Однако имеются широкие классы практически важных задач минимизации, являющиеся некорректно поставленными в нужных для приложений метриках. Многие задачи минимизапии функций конечного числа переменных на неограниченных множествах некорректны в евклидовой метрике.
Большинство задач оптимального управления, исследованные в главе 1 некорректно поставлены в метрике тех банаховых пространств, которые чаще всего используются в прикладных задачах. Другие классы некорректных экстремальных задач, возникающих в самых различных областях физики, техники, экономики и т. д., см. в 117!. Корректно поставленные задачи минимизации хороши тем, что в них в качестве решения задачи (3) можно взять один из членов произвольной минимизирующей последовательности (4) с достаточно большим номером. Для некорректных задач аналогичные действия могут привести к ошибочным результатам, так как в этом случае нет никаких гарантий того, что полученная тем или иным методом минимизирующая последовательность (и,) непременно будет р-сходиться к множеству С'„.
Иначе говоря, если в качестве входных даниьж, по которым будет определяться р-приближение к (l„использовать значения минимизируемой функции, то можно потерпеть неудачу, ибо из малости погрешности .' (и,) — l„не всегда следует близость и„к (/, в требуемой метрике р. Это значит, что для приближенного решения некорректных задач требуются специальные методы, позволяющие с гарантией строить минимизирующие последовательности, р-сходящиеся к множеству оптимальных точек. Такие методы существуют и их принято называть мешодами регуляразациа 1!7, 105, 163, 212!. Ниже будут описаны три метода регуляризации. 164 У и р а ж н е н и я. 1.
Пусть (1=(и: и я Е', 0 (и <-[-оо]. Рассмотреть задачи минимизации на множестве С» функций l (и)=и', »'(и)=(!+и) т, ч' (и) = 1, »'(и) =и (1-~-из) В»' (и) =и (1+их) '+ии, а сопя! ) О. Выяснить, какие нз зтнх задач корректны н какие некорректны в естественной метрике р (и, о) = и — о . 2 Будет ли корректной задача минимизации функции а'(и) =- ! = ~ из (1) Щ на множестве (»р Ез [О, 1] в метрике 1, [О, 1!' С [О, 1]й о 3. Рассмотрим задачу мнннмнзации функции тз(1, и) прн усчовиях; х= — и (О, О~! 1; х(0) =О, и = — и (О ~м (/=(и(1): и(0 я сн (з [О, 1], и(01( 1 почти всюду на [О, 1]1 Будет ли эта задача корректно поставленной в л'етрнке С [О, 1)З Ез [О, 1]) У к а з а н и е: рассмотреть последовательность и» (О= а(п Ь1, 0 -1.-1, Гг=1, 2, ... 4 Вынсннть, будет ли корректной в метрике Е,[а, Ь] задача »[Ь минимизации функции / (и) = [ 5 К (1, з) и (з) йз Щ на множестве а а (уй Ез [а, Ь], где К (1, з) — заданная функция нз 1.,(йн О=ВО з): и 1(Ь, а~а Ь] У к а за н не: рассмотреть последовательность иа(б=ап М, а==(~ Ь, й= — 1, 2, ..
5 Выяснить, будет лн задача минимизации функции а'(и) = ь 3 [ и (з) из — [(1) щ на множестве (»Р Ез [а, Ь) корректной в мета а рике С[а, Ь] илн Ее[а, Ь], если здесь [(1) — заданная дифференцируемая функция, причем производная [(1) ы Ез [а, Ь], [(0) =0 (задача численного ди]»ференцирования). У к а з а н ив: рассмотреть последовательност~ и» (з) =[ 00+соя вч а (з.= Ь, А =1, 2, ... $ 2. Стабилизатор В не~одах регулярнзацин некорректных экстремальных задач важную роль играет понятие стабилизирующей функции нли, короче, стабилизатора, О и р е де л е и н е !. Функция ь) (и), определенная на непустом множестве (Уо ы (/, называется стабилизатором задачи (!.!) в метрике р нлн, короче, р-стабилизатором, если: !) () (и) )0 пРн всех и ~(хп[ 2) множес!но ь)с=[и: ия(/ц, ьа(и](С] является ркомпактным прн любом С=сонь[)0, т.
е. нз любой последовательности (и»] ен ь)с можно выбрать подпоследовательность [и» ~, р-сходящуюся к некоторой точке и ен ьзс] 3) множество (»о»=()о П(у, непусто, Ниже будет показано, что методы регуляризацни позволяют получить для задачи (!.!) минимизирующие последовательности [иа], принадлежащие множеству ь)с при некотором достаточно большом значении константы С. 1б5 Свойство 2) стабилизатора тогда будет гарантировать ркомпактность (и,), а из сво;"ства 3) и свойств непрерывности минимизируемой функции /(и) будет следовать рсходимость (ил) к У,. Заметим, что свойство 3) требует выбора такого стабилизатора, согласованного с задачей (1.1), чтобы область определения стабилизатора была достаточно широкой и содержала хотя бы одну точку минимума. Впрочем, втех случаях, когда У, Ф ф, Уо =†(/, свойство 3) есегда выполняется, так как тогда Уй —= У„.
Наряду с понятием р-стабилизатора задачи (1.1) ниже нам понадобится понятие слабого стабилизатора. Определение 2. Функция 11(и), определенная иа непустом множестве Уо: — У, принадлежащем банахову пространству В, называется слабым стабилизатором задачи (1.1), если: 1) й(и) )0 при всех и ~ Ус', 2) множсство г)с = (сл и с= Уп, й (и) -- С) слабо компактно при любом С)0, т. е. из любой последовательности (и„) ен 1)с можно выбрать подпоследовательность (и, ~, слабо в В сходящук:ся к некоторой точке о ~ 1)с; 3) множество Уй = 1/и () У„непусто. Приведем примеры функций 11 (и), которые могут служизь стабилизаторами в некорректных задачах минимизации (1.!) в основных часто встречающихся в приложениях пространствах. Пр и м е р 1.
Начнем с евклидова пространства Е Пусть требуется минимизировать функцию /(и) на замкнутом множестве (/ ~ Е, пусть множество точек минимума (/„непусто. В качестве стабилизатора этой задачи можно взять функцию т и (и) = ~ и ' = ~ч ', ! и' " Эта функция определена и неотрицательна на Е"'. Положим Уп =У. Множество ()с = (щ и ~ Уц, 1' (и) « С) замкнуто, ограничено и, следовательно, компактно в метрике Е при любом С)0. Наконец, У$=У () Уп = =и. р ф.
Стабилизатором здесь могут служить также функции й(и) =',и ~, 11 (и) = ~ и — й ~' или, в более общем виде, П1 () (и) = (и — и, Р (и — и)) = ~ч~ р;, (и' — и') (иг — и/), ч /'=~ 1вб где й=(й'...,, й'") — заданная точка из Е", Р=(р„)— заданная положительно определенная матрица. П р и м е р 2. Пусть рассматривается задача минимизации функции l(и) на выпуклом замкнутом множестве У из гильбертова пространства Н; пусть У, ч~ ф.
В качестве слабого стабилизатора этой задачи можно взять функцию й(и)=)и — йР, где й — заданная точка из Н. В самом деле, й(и))0 при и я Уп = У. Далее, множество йс = (и: и й/, й (и) ( С) выпукло, замкнуто, ограничено, и следовательно, слабо компактно в Н (см. теорему 1.3.4).
Наконец, Уй =У„~ ф по предположению. Отсюда следует, что в пространстве Е,"(1„, Т) слабым стабилизатором могут служить функции й (и) = г т = ~ / и(1) 1'Ж или й(и) =~1и(() — и(1)~'й, где и(1)— ь заданная функция из Е '(1,, Т)'. П р н м е р 3. Рассмотрим примеры стабилизаторов в метрике пространства С,(а, Ь). Заметим, что банахово пространство С,(а, Ь] г-мерных непрерывных вектор- функций и(()=(и'(1), ...„и'(1)), а(1(Ь, с нормой ~ и )с = )пах ~ и (1) ~ не является рефлексивным. а<1<э Пусть У вЂ” множество из С,(а, Ь), замкнутое в метрике этого пространства, пусть множество У„точек минимума функпии э'(и) на У непусто. Предположим, что Уэ содержит хотя бы одну точку и,(1) ~Н,'(а, Ь) (обозначения см, в э' 1.1).
Рассмотрим функцию й ( и) = ,', и (,', = ~ (( и (1) ~'+ ! и (() ~') й О на множестве Уп = УП Н,'1а, Ь]. По Условию множество У„()Н)га, Ь) непусто. Следовательно, непусты множества Уп и Ур = У . ДУо. Кроме того, й (и) )0 на Уи. Покажем, что множество йс=(и: ие-=Уп й(и) <С) компактно в метрике С,(а, Ь) при любом С)0. В самом деле, из неравенства й (и) = С следует существование хотя бы одной точки 1, ен(а, Ь) такой, что ~ и(11)1((С(Ь вЂ” а)-')'". 167 ! Тогда ~и(1) ~ = [и(т) ь(т+и(1!) ~(С(Ь вЂ” а)-')'"+(Ь вЂ” п)"гм !, х (~1и(т) гат)'!' ((С(Ь вЂ” а)-!)'!'+(С(Ь вЂ” а))' '=сопз1 для любой функции из 11. Далее, имеем [и (1) — и(т); = (ь ~ !!г ~ и (з1 г(э --- ( 1 — т,"г ', ~ ( и (а) 1г г(з) ( (С (1 — т !) ' 'г 1! ~а для всех и (1) я Рс. Таким образом, множество функций 1)с равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь1.
Из теоремы Арцела ([11), стр. 110) тогда следует, что из любой последовательности [иь(1)) ен Пс можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции и(Г) равномерно на отрезке [а, Ь[. Убедимся в том, что и(1) ~ Пс. Прежде всего, так как иь(1) ~(/, й=!, 2, ..., а () замкнуто в метрике С,[а, Ь1, то и(1) ен ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
