Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Предлагаем читателю, пользуясь этими правилами, самостоятельно вывести сопряженную краевую задачу для задачи (33), (2) — (5), а также для рассматриваемых ниже задач оптимального управления. Подчеркнем, что приведенные в этом пункте рассуждения, ко- нечно, не могут считаться строгими и являются лишь полезными наводящими соображениями при получении сопряженной краевой задачи, выводе формулы градиента, необходимых условий оптималь- ности.
Лля полной строгости нужно еще выполнить большую и труд- ную работу и определить, что понимается под решением исходной и сопряженной краевых задач, исследовзть вопросы существования и единственности решения этих задач, дать строгин вывод формулы приращения с оценкой остаточного члена и т, п. б. Выше были подробно рассмогрены задачи оптимального управ- ления для простейшего уравнения теплопроводности с одной прост- ранственной переменной. Из этих рассмотрений видно, что хотя окончательные расчетные формулы, реализующие методы проекции градиента и условного градиента для ограничений вида (6), (7], достаточно просты н удобны для использования на ЭВМ, однако вывод этих формул связан с довольно громоздкими оценками, н строгое исследование таких задач является весьма тонким и хлопот- ным делом.
Еще более трудным и громоздким становится исследова- ние задач оптимального управления системами, описываемыми более общими параболическими уравнениями при более сложных фуннцио- налах, граничных условиях, ограничениях на управления н на решения. Здесь мы ограничимся лишь приведением формул градиента для следующей задачи.
Пусть Я вЂ” заданная область в евклидовом пространстве Е" пере- менных з= (з„ ..., з„) с кусочно гладкой границей Г; пусть Гг н Г,— кусочно гладкие части границы Г, не имеющие общих точек, причем Г, Ц Гз = Г (в частности, одно из этих множеств Г, или Г, может быть пустым). Пусть 1а, Т вЂ” заданные моменты времени. Обозначим Я= ((з, Гн з а й, (з(1( Т). Пусть в Я имеется конеч- ное число кусочно гладких поверхностей, разбивающих Я на конеч- ное число подобластен 0н 1= 1, 2, .„, р (случай р= 1, О, = 0 не исключается). Г!оверхно ть, которая служит границей для подобла- стей Ог н Оэ, обозначим через Гьь Будем считать, что физические характеристики рассматриваемой области () (плотность, теплопровод- ность, удельная теплоемкосгь и т.
и.) непрерывны внутри каждой подобласти 01 и мОГут терпеть разрывы типа скачка лишь на поверх- ностях Гзг, 130 Рассмотрим задачу минимизации функции (функционала) т о'(и) = ~ ~ Фв(5, у, х (з, у, и), ио(з, !)) Из с(у+ г +) 1 Ф,(5, с, ' ', и,(5, !))с(Гзду-]- дх(5, с, и) с,г, т +~ ~ Фв (5, с, х(в, с, и), ив (5, !)) дгв а!+ с,г, ~ Фв (5, х (з, Т, и), ив (5)) с(з (41) при условиях х, = ~~ аи(з, !)х, -1- ~ Ь;(5, !)хв,+с(з, !)х— Фо(5 с, ио (5, !)), (5, !) ш (С] Гдх(5, !) 1 (х(з, Б)г =0, =0, (5, у] =Г б ы ~ дЬУ «(5 !) ~ шГ, — Фг(в. ! ис(5 у])(ошГ, !о~у~7 ( дйс ' ) ~~ в» в ° оо дх (з, !) + у (з, !) х (з, !) ср, (з, у, и, (з, !)) )о ш г„ У )возро ! (у<т; х(з, !) )с с — — Фв(5, ив (5)), зон (], (42) (43) (44) (46) (46) 131 дх (з, !) у - т дх (з, !) где ' ,~~ асс (з, !) сов (л, з;у ' — производная функции х по конормали к границе подобласти ()в в точке (з, !); л = = л (5, !) — внешнЯЯ Дли с!в ноРмаль в той же точке (з, с] с напРавляющими косинусами соз(л,вс), !=1, 2, ...л; (г(з, !)]г — разы ность предельных значений функции г (3, т) при стремлении точки (3, т) к (з, с] ~Гас изнутри подобласти Яз и срс соответственно; асс(5, !), ь;(з, !), сР; (з, с, и), с(з, !), У(5, !), Фс(з, с, г, и) — задано и пые фуннции своих аргументов, ~ асу(5, !)3сйу~и ~,'рос, агу й у=! с=г ниаУЬ пРи всех Рн !) сн с3, К = (ес, ..., $,); со = соло( > 0; а;у(з, !), Ь, (з, !) непрерывны внутри подобластей с2с и могут терпеть разрывы тйпа скачка лишь иа поверхностях Гш] функции и (ио(з, !), и, (з, !), и, (з, !), ив (5)) являются управлениями, подлежащими определению иа условия минимума функции (41).
Будем считать, что ио(5 !) сы ьо(0) ис(5, !) адьо(Гс) (с = 1, 2), ио(5) шов(()) й удовлетворяют ограничениям типа (6] или (7). Нетрудно видеть, что рассмотренные выше задачи оптимального управления для уравнения теплопроводности (2) являются простым частным случаем задачи (41) — (46). Заметим, что неноторые из управлений ис (1=0, 1, 2, 3) могут отсутствовать в задаче (41) — (46),— в этом случае функции Ф;, ср; не зависят от и. 6" Управление и=(из(з, 1), и,(з, 1), и,(з, 1), из(з)) в задаче (41)-(46) удобно считать элементом гильбертова пространства Н= = Сз (с]) Хсз (Г,] Х(з [Гз]муз ((]), в котором скалярное произведение двух любых элементов и! = (и„(з, 1), и,с(з, 1), и,с(з, 0 из!(з)) (1 ~ 1, 2] определяются посредством формулы (и,, из]„=г)] ил,(з, 1) и„(з, 1) ссз с]с+ О т +~ ] им(з, 1) и„(з, 1) сСГтдс+ ]л !', т +~ ~ и„(з, 1)им(з, 1)дздс+]г из,(з)изз(з)дз, и Г л л С, и) ср„-]-Ф д — ~~ ~ (ассф)з соз(л, зс)+ с=! С=! ьс сов(л, з) Фсз фсл+Фсл]зшг,! (ффзл+Фзл)]зшгл! ф(з.
Сл, и) фзл+Фзл ,С' (и) = — ф (3 +~ с=! где частные производные ф;л вычислены для аргументов (з, ис(з, 1)), 1= О, 1, 2, 3, а Фсл и Ԅ— для тех же аргументов, с которыми функция Ф; входит в (4Ц, с =О, 1, 2, 3; ф= ф(з, С, и) — решение сопряженной краевой задачи л л фс = — ~ (ассф]з з +~ ', (Ьсф)з — сф- с, 1=! дФл (з, 1, х(з, С, и), и,(з, 1)) г си с л л (ассф)з соз'хл, зс) — ~ Ь; соз(л, зс)ф+ сс ! с=! +фсоз(л, 1) ) О, (з, 1)евГьд дзс дФт(з, 1, дН', и,(з~ 1]) дх(з, С, и) ф(з, 1) ~ —, 1„<С<ТС зшрз дг зшрс 132 а норма — формулол ']и]Н ((и„из)Н) .
При некоторых требава! сэ ниях к функциим аи, Ьь с, у, фи Фс и к области СС можно Доказать, что при каждом и ш Н обобщенное решение х(з, С, и) краево! задачи (42) — (46) сушествует и единственно ]139, 167, 2!3], а функция (41) при условиях (42) — (46) дифференцируема в Н и ее градиент имеес вид а а (п1/ф)а)сов(п, зг)+у(з, 1) ф — ~ Ь;соз(л, з;) зр 6 1=1 ! ~ нет~ дФз (з, 1, х (з, 1, и ), и, (з, 1)) 1 1зшта ф (з, Т) в.— Ђ дФ(з, х(з, Т, и), из(з)) дз з е ьз. Имея формулу градиента и опираясь на общую схему методов проекции градиента и условного градиента иэ 4 4, пп.
2, 3, нетрудно распксать формулы, реализующие эти методы применительно к задаче (41) — (46). У яр аж пени я. 1. Рассмотреть задачу (1) — (5), (7), заменив т условие (6) па условие Р(1) ш1.,(0, Т),~ )Р(1) — р(1),зд1()7,', где Р(1) ш1,(О, Т) и число Яе>0 заданы. Описать методы проекции градиента и условного градиента. 2. Найти градиенты функции (1) при условиях (2) — (5) по каждои иэ переменных ф =~р(х) шаг(0, 1), р(1) ш Ез (О, 1), 7(з, 1) ш ш 1., (1)) и по совокупности переменных и = (ф(х), Р (1), )(з, 1)) ш Н =- =Ез (О, 1) хЕз (О, Т] хьз(О). Описать методы проекции градиента и условного градиента, считая, что р(1), )(з, 1) удовлетворяют условиям (2) — (5), и, кроме того, фаня~ ф(з)~ф~зз почти всюду на (О, 1).
3. Рассмотреть функцию 7(и) 5е~/х(з, Т, и) — у (з) Р дз + т +~,~ ~ р(1) ~зд1+5зЦ ~1(з, 1) ~здз31 при условиях (2) — (5), счи~ая '0 ()г=сопз1)0, 1 О, 1, 2; д(з) шбз(0, 1). Доказать, что эта функ- цйя сильно выпукла нз Н; найти ее градиент; описать градиентный метод при (7 = Н и методы проекции градиента и условного гради- ента при ограничениях (6), (7). 4, Рассмотреть функцию 7 (р) ~) х(з, Т, и) — у (з) (з дз+ т +() ~ ) р(1)',з31, () сопз() О, при условиях (2) — (6), считая функ- цию /(з, 1) ш Ез(0) заданной.
Заказать, что тогда управление Р =Р,(1) минимизирует 7(Р) тогда и только тогда, когда Н(Р„(1), ф (1 1 Рд) ш1пН(Р ф(1 1 ре)), Оец((Т, где минимум берется по отйеэкУ Ряип~Р~Рюа„, Н(Р, ф) азчрф+Дрз, 1Р(з, 1, Р) —.Ре- шение задачи (13) — (15). Указание: заметить, что Н(р, ф) вы. пукла по р, Г(Р) Нр(р(1), ф(1, 1, Р)), и воспользоваться теоре- мой 2.5. 5. Рассмотреть задачу (!) — (7) при ограничениях х~х(з, 1, и) ( ~х, где х х — заданные величины; учесть этн ограничения с по- мощью штрафной функции, т 6.
Требуется минимизировать функцию а (Р) = [ р' (Г) 4Г при й условиях (2) — (6), считая ф>нкцию ) (з, Г) ~ ьа(О) заданной и дополнительном условии «(з, Т, р) =у(з), 0«з «д у(з) ~ Ее(0, 11. Указать штрафную функцию Ра (р) для дополнительного условия; найти градиент функции Фь(р) = а (р)+Ра (р); описать методы проекции градиента и условного градиента. $8. Оптимальное управление колебательными процессами Задачи оптимального управления колебательными процессами имеют многочисленные приложения — к ним, например, приводят задачи об успокоении качки судна или стрелы подъемного крапа, о работе вибротранспортеров, об организации виброзащпты, амортизации и т.
и. 46 — 48, 108, 120, 201, 213, 2141. Здесь мы рассмотрим две задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнением колебания струны и уравнением поперечных колебаний стержня. г. Пусть имеется однородная упругая гибкая струна, один конец которой свободен, на другой ее конец действует внешняя сила и, кроме того, к каждой точке струны также приложена внешняя сила. Требуется, управляя указанными внешними силами, к заданному моменту времени привести струну в состояние, как можно меньше отличающееся от некоторого заданного состояния (например, состояния покоя).
Математическая формулировка этой задачи: минимизировать функцию 7 / (и) = йе ~ ~ х (з, Т, и) — уа (з) ~Я г(з+ +рт~ ~хг(з, Т, и) — рг(з)1згЬ (1) а при условиях хм=а'х„+)(з, 1), (з, 1) и=Я=(0<а<1, 0<г<Т), (2) х,(0, 1)=р(1), х,(1, 1)=0, 0<1<Т, (8) х(з, 0) =тра(з), хг(з, 0) =чгт(ь), 0«з«1, (4) и=(р(1), )(з, 1)) я(г':- Н =Аз[0, Т) х ~,(Я), (5) где ая > О, 1 > О, Т > О, ре» О, 5, » 0 — заданные постоя нные, ра+Рз>0; грг(з),уг(з), (=1, 2, 0«а«1 — заданные 134 по з, ! соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
