Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для формулировки этих лемм нам понадобится понятие р-регулярной последовательности. О п р е де л е н и е 1. Минимизирующая последовательность ',и,', задачи (1.1) называется регулярной в метрике р или, короче, р-регулярно!1, если: 1) последовательность (и„) р-компактна, т. е. из нее можно выбрать хотя бы одну подпоследовательность, р-сходящуюся к некоторой точке из (/; 2) (и») сходится ко множеству (/, в метрике р. Л е м м а 1. Пусть 1) (/ — множес?пво с заданной на нел! метрикой р; функция /(и) определена и р-полунепрерьтвна снизу на (/, /„=1п1/(и) ) — со, многкество гl (/, = (и е= (/: / (и) = /„) непусто; 2) функция й(и) определена на мнозкеслше (/: — (/ и является р-гтабилизап?ором задачи минимизации У (и) на (/; 3) последовательность !и») такова, щпо и» е= (/а, /(и„) «=.,/„+()», /с= 1, 2, ..., (1) й(и»)(й,+у», я=!, 2 (2) где й = (п( й (и), ()» ) О, й = 1, 2, ..., !'пп ()» = О, оа » сч нир, у»; (+ ° .. »-~ 173 Тогда последовательность (и») минимизирует функцию /(и) на (/, р-регулярна и !пп р(и», (/а) =О, (/а=(/а П(/,.
(3) » со Если, кроме того, й(и) р-полунгпрерывна снизу на (/а и 1! гп у» = О, то 1!п1 й(и„)=й„, 11гп р(и„, (/о,)=-0, (4) » со » со где (/оооо(и: и ~(/а, й(и) = й„) — множество й-нормальных решений. Доказательство, С учетом того, что У(и»)зь/о из неравенства (1) сразу получаем !пп l(и») =/о, т. е. (и,) — минимизирующая последовательность. Далее, из (2) следует, что й(и») «й, +зцр !у»' ,=С<со, у=1, 2, ..., »~! т. е. (и»,' я йс= (и: и я(/а, й(и) «С). По определению р-стабилизатора множество йс р-компактно. Поэтому последовательность (и,) р-компактна.
Пусть о„— произвольная точка, являющаяся р-пределом какой-либо подпоследовательности (и„„',. Покажем, что оо еп(/й. Пользуясь тем, что /(и) р-полунепрерывна снизу и о„е- =йс ~ =(/, из неравенства (1) прн й=н„- оо получим /„« к.=. / (о») «! пп / (и»о) « l,. Это значит, что,/ (о„) = У», т.
е. о с о,„~ !/„. В то же время о, в== йс с йп. Следовательно, о. г=(/а=(/и П(/,. Тем самым доказано, что любая точна, являющаяся р-пределом какой-либо подпоследовательностн 1си»1 принадлежит (/от. Отсюда уже нетрудно получить соотношение (3). В самом деле, из пеотрицательности расстояния следует 1пп р (и», (/ас) --: О. Пусть ! пп р(и», (/1с) =11гп р (и», (/по). ».
со » со о со В силу р-компактности множества йс и включения (и»„! еи йс можем считать, что (и„) р-сходится к некоторой точке о . Тогда нз р-непрерывности функции р(и, (/3) (см. 4 1,3) имеем )пп р(и», 1/а) =р(о„(/(с). Но по о со доказанному оо вп Уа, так что ! пп р (ию (/а) = р (о„ » со (/сс) =О. Это значит, что !пп р(ию (/а) существует и равен нулю. Тем самым, р-регулярность (и») н равенство (3) доказаны.
179 Пусть теперь !пп у,=О и функция й(и) р-полунепрерывна снизу на уа. Заметим, что тогда множество сг, » непусто †э следует из теоремы 3.1. Покажем справедливость соотношений (4). Пользуясь тем, что о, ~ Уа, из неравенства (2) при и = я„-+.;. получим й,„ ( й (о„) ( ( 11п1 Й (ил ) = 1пп й (и, ) ( й„ + 11ш уь = й„.
Зто знасо А о» чит, что !! п1 й (и, ) = й (о„) = й„, т. е. о„~ У„„. Таким с о» образом, любая точка, являющаяся р-пределом какой-либо подпоследовательности (иь), принадлежиг множеству У„„. Рассуждая так же, как при доказательстве равенства (3), отсюда имеем !пп р(и„У„») =О. Наконец, покажем, что 1пп й(и,) = й,, Из (2) следует Ь со !(гп й (и,) ( йо. Пусть !пп й (и,) = 1)ш й (ил„), В силу Ь со ь: 'с о» р-компактности Йс и включения (ило) ~ йс можем считать, что (и„,' р-сходится к некоторой точке о„. Но тогда, как было показано выше, ! пп й (и„,) = й, = о о» = Й(о,). Итак, !!гп Й(и„) = 1!ш й (и,) =й„что равно- Ч со сильно соотношению 1пп Й(и,) = Й,.
Лемма 1 доказана. Следующая лемма показывает, как с помощью слабого стабилизатора можно получить минимизирующие последовательности, регулярные в метрике банахова пространства. Л е м м а 2. !1усть вьтолнены следугощие условия: 1) () — вьтуклое замкнутое множество из рефлексивного банакова пространства В; метрика р на У задается равенством р(и, о) =;:и — о)в! Функция )(и) определена, ограничена снизу и слабо в В полунепрерывна снизу на У; множество У„=(и: и ~Н, .) (и) = 2, =1п12(о)) непусто; и 2) функция Й (и) определена, строго равномерно выпукла, неотрицателвна и р-полунепрерывна снизу на Уа= = У (например, В = Н вЂ” ги гьбертово пространство, й(и) =) и — и)н — сильно выпуклая функция на К где и— фиксированная точка из Н); 3) последовательносгпь (иь) удовлетворяепг условиям (1), (2) с !! гп уь = О. Тогда (илсс лшнимизирует Функцию .1(и) на (I, р-регулярна, и, кроме того, справедливы соогпношения (4). 1вв До к а з а т е л ь ство.
Из строго равномерной выпуклости й(и) и теоремы 1.3/9 следует ограниченнссть множества йс =(и: и ев(/, й(и) =С) в метрике В при любом С~О. Выпуклость множества (/ и функции й(и) обеспечивают выпуклость множества йс, а из замкнутости (/ и полунепрерывности снизу й(и) вьпекает замкнутость йс в метрике В, Тогда по теореме 1.3.4 множество йс слабо компактно в В. Следовательно, й (и) — слабый стабилизатор задачи минимизации /(и) на (/. Далее, в силу теоремы 1.3.5 й (и) слабо в В полунепрерывна снизу на (/. Из теоремы 3.2 тогда следует, что множество (/,„й-нормальных решений задачи минимизации /(и) нз (/ непусто.
Рассуждая так же, как при доказательстве леммы 1, из неравенств (1), (2) получим, что любая точка о„, являющаяся слабым пределом некоторой подпоследовательности последовательности (и,), принадлежит множеству (/,ь и 1!гп й (ие) = й, =й (о,). ь ш Покажем, что последовательность (и,', компактна в метрике В. Возьмем любую подпоследовательность (и„). Учитывая, что (и,„) принадлежит слабо компактному множеству йс при С=й„+знр,'у,!, можем считать, что (иь 1 ь 1 ьп) слаоо сходится к некоторой точке г„. Поскольку фушсция й(и) строго равномерно выпукла на (/, то й (аи -1- (1 — а) о) =: ай (и) + (1 — а) й (о)— — а(1 — а) 6('~и — ой при всех и, вен(/, аен(0, 1), где 6(/))О прн />!!, 6(0)=-0 н 6(()- 0 тогда и только тогда, когда (-э+О. Положим здесь а= 1/2, и=и„, о-о„.
Получим 6(!иь — о,)) 2!й(иь)+й(о,)) — 4й((и„+о )/2), /г=1, 2, ... Очевидно, нз слабой сходимости (и„ ) к о следует слабая сходимость последовательности ~(и~ + о„)/2) к той жс точке о„. Поскольку й (и) слабо полунепрерывна снизу, то 1!гп й((иь +о,)/2)==-.й(о,)=й,. Поэтому из !в! соотношения 1!пт ь)(иа )=(з, и из (5) при /гол/а„— моо л. получим 0-=!!пт 6((и,„— ол1) (1!гп 6(1иал — ра !) ( л о л со =2('1!ш ь)(иа„)+ь),') — 4!пп 11((иа„+ел)!2)~О. Следова- 11 со л о тельно, 1!гп 6(1~ и„— ол !!) существует и равняется нул с лю, что возможно только при 1!гп!!мал — ьа!! = О. Это л оо' значит, что оа является р-пределом подпоследователь- ности (иа„~ в метрике В.
Тем самым компактность (иа) в метрике В доказана. Остается показать, что 1пп р (и„, (/л а) = О. Пусть а со 1)ш о (и„, е/лл) =11гп р(и,, (/аа). Можем считать, что (иа ) а ш л слабо в В сходится к точке о . По доказанному о, ~ (/ла и (и, ) сходится к о, в метрике В. Следовательно, 0=- ~ 1пп р (иа, (/,,) =!пп р(им (/л,) = 1!т р(иал, (/лл) а со а со л- с = р (о, (/„) = О, что равносильно соотношению ! пп р (иго (/ел) = О. Лемма 2 доказана. Леммы 1, 2 указывают пути получения р-регулярных минимизирующих последовательностей в некорректных задачах минимизации: для этого нужно научиться строить последовательности, удовлетворяющие условия.л (1), (2). Перейдем к описанию методов построения таких последо- вательностей — методов регуляризации.
Будут описаны и исследованы три метода регуляризации: метод Тихонова, метод невязки и метод квазирешений.! У п р а ж н е н и я. 1 Показать, что в лемме ! р-полунепрерыв- ность снизу функции / (ы) достаточно было потребовать лишь на множестве 1/о н в леммах 1, 2 р-полуиепрерывность снизу функ- ции И (и) нужна лишь на 1/гз. 2. Провести доказательство леммы 2 для случая, когда В = Нв гильбертово пространство, а П (и) =', и — ы !Нт, не ссылаясь на тео- ремы !.3.8, 1.3.9.
3. Применима ли лемма 2 к задаче из примера 1.2, если принять ! и !ы)-1; и р) вшр Ь Ф Можно ли в лемме 2 вместо строго равномерно выпуклой функции й (ы) взять равномерно выпуклую функцию? У а а з а н и е: в задаче из примера 1.2 взять Я (ы) а(1ы (а (о !!), где з(0 О прн О ~ 1 ( ! и Ц (1) =- (1 — 1)я при 1 ~ 1, 182 5 5. Метод Тихонова Итак, пусть задача минимизации функции 7 (и) на множестве У некорректна в метрике р. ТреГО ется построить минимизирующую последовательность, которая заведомо была бы р-регулярной, т.
е. была бы р-компактной и р-сходилась ко множеству точек минимума У(и) на У. 1. Одним из эффективных средств решения некорректных задач является метод регуляризации, разработанный А. И. Тихоновым (17). При пользовании этим методом нужно выбрать какой-либо стабилизатор рассматриваемой задачи. Пусть таким стабилизатором является функция 12 (и), определенная на множестве 1/о ~ (/. Далее берется какая-либо положительная последовательность (а~), сходящаяся к нулю, и при каждом /с=1, 2, ... на множестве Уя определяется функция Т, (и) = У (и)+аэР (и), и я 0и, (1) которую принято называть функцией Тихонова.
После этого рассматривается задача минимизации функции Т, (и) на Ьп как задача первого типа. А именно, при каждом й = 1, 2,, определяется точка им удовлетворяющая условиям Ть =.1п1 Т„(и) =. Т,(и,) ( Т; + еь, и, ен (уо, (2) ип где величина г, характеризует точность решения задачи минимизации Т, (и) на ()о, еь) О при й = 1, 2, ..., и 1пп еь — — О. Такая точка и~ существует по определению ь со нижней грани, так как еь — положительная величина, а функция Т, (и) ограничена снизу на (7и.
Ограниченность Т, (и) на (7и доказывают неравенства Т„(и) =- у (и)» ) У" ) — со, и ен Уо, вытекающие из неотрицательности стабилизатора 12(и), величины а„и условия !п1/(и) = и = у, ) — со, предполагаемого самой постановкой задачи. В том случае, когда нижняя грань Т„(и) на Уо достигается хотя бы в одной точке и~ ен (7п, в (2) можно допустить еь = О.
Для определения точки и, из условий (2) могут быть использованы любые подходящие для этой цели методы решения задач минимизации первого типа (см. задачу (1.2)). г83 Поскольку дальнейшее изложение не зависит от способа нахождения точки и», то мы можем здесь ограничиться предположением, что при каждом lг=1, 2, ... имеется хотя бы один метод, позволяющий достаточно эффективно вести поиск точки и» в соответствии с условием (2) при любом е») О. Для пояснения основной сути метода Тихонова сразу же заметим, что задача минимизации функции Т, (и) на множестве Уп при каждом фиксированном й= 1, 2, ..., как правило, оказывается более «устойчивой» по сравнению с исходной задачей (1.1) и даже может быть корректно поставленной.
Например, если в задаче из примера 1.1 взять стабилизатор () (и) = и«, то для функции Т, (и) = = и'(1+и«)-'+а»п» из-за наличия слагаемого а»и'будем иметь !(гп Т,(и).=-~- оо. В силу теоремы 1.3.7 это соотг« э ношение гарантирует корректность постановки задачи минимизации Т» (и) на У = Е'.
Для задачи из примера 1.2, некорректной в метрике Е»10, 11, тихоновская функция 1 Т,(а) = У(и)+и» ~ и» (!) г(! является сильно выпуклой при о каждом й=1, 2, ..., и следовательно, задача минимизации Т,(и) на (I будет корректной в метрике Е»(0, 1!. Как показывают эти примеры, добавление к исходной функции l(п) слагаемого а»!)(и) делает задачу минимизации более «устойчивой».
Имея в виду это обсзоятельство, метод Тихонова иногда будем называть методом стабилизации. Однако тот факт, что задача минимизации функции Т»(и) на Уп обладает ббльшим «запасом устойчивости», чем исходная задача, сам по себееще не гарантирует того, что последовательность (и»), определяемая условиями (2), будет минимизирующей н р-регуляриой. Это связано с тем, что чем меныне значение параметра а», тем меньше слагаемое а„!)(и), входящее в выражение (!), н следовательно, тем меньше «запас устойчивости» в задаче минимизации Т„(и) на Уо. Оказывается, для получения последовательности (и») с требуемыми свойствами уменьшение «запаса устойчивости» следует компенсировать согласованным изменением величин а», е„, являющихся парзметрами метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
