Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поскольку в рассматриваемой задаче функция Т»(и) сильно выпукла и дифференцируема, то для определения точки и» вместо (12) можно воспользоваться условием Т» (и») = 2(А»А»и»вЂ” — А„"'Ь„-1-а»(и» вЂ” и)) =О, т. е. (А»А»+а»Е) и»= А»Ь»+а»ц, й= 1, 2, ... (13) Таким образом, метод стабилизации в этой задаче свелся к решению линейной алгебраической системы (13). Поскольку равенство (13) в силу теоремы 1.2.5 эквивалентно равенству Т,(и») = !п1Т,(и), то точка и» из (13) удовлеяа творяет условию (12) при е» вЂ” О. Тогда, как следует из теоремы 2, при !пп а» = 1!гп о»а»' = 0 последовательность (и») из (13) сходится в метрике Е" к 11-нормальному решению. П р и м е р 2.
Рассмотрим задачу минимизации функции полунепрерывна снизу в Еь[а, Ь!. В качестве стабилнзаь тора возьмем О(и)=~)и(()!»й=!и!г.,— зта функция пес отрицательна, сильно выпукла на 7»[а, Ь! и непрерывна в метрике Е,(а, Ь). Таким образом, функции з (и), !1(и) и множество 0=7.»[а, Ь1 удовлетворяют условиям леммы 4.2. ,1(алее, из теоремы 1.3.8 следует существование и единственность Й-нормального решения и, = и (Г) задачи минимизации функции (14) на 7.»[а, Ь). Будем предполагать, что вместо функций А(а, !), Ь(з) известны лишь их приближения А„(з, !) ен1.»(ф, Ь„(з)= =7.»[с, г(), /г=1, 2, ..., такие, что [А» — А[с,~ом !Ь» — Ь[ь,(о», о»)О, 7»=1, 2, ...; Игп о»=0.
(! 6) Тогда вместо точной функции 7(и) нам придется иметь агь дело с ее приближением 3»(и)=$[) А»(з, !) и (1) г(!в !Я с а — Ь»(з)/ дз. С помощью тех же выкладок, какие были использованы в примере 1, нетрудно показать, что /а'»(и) — У(и)!(4о»(!А!с,,+[Ь!ь,+о»)(!+[и(/а). (17) Это значит, что неравенство (4) имеет место при 6» = = 4о»(! А [ь,+[Ь [»а+ о»). агь Составим функцию Тихонова Т,(и) = $ [$ А„(з, ()и(!) ьс с а ь хй — с »Г) с»а! 'Ф)сс с а ° с а метода минимизации при каждом )г=1, 2, ... определим функцию и,=и»(Г) ~ Ь»(а, Ь1 из условия Т»(и»)( !и! Т,(и)+е», Ь=-1, 2, ...
г., [а, М Если (в»), (а»), (о») стремятся к нулю, причем 1!гп (е»+ » со .+о»)а,' = О, то согласно теореме 2 получаемая последовательность [и»(Г)) будет сходиться в метрике 1,»(а, Ь) ь к Й-норьгальному решению и, (г), т. е. 1!ш ~ (и»(г)— "' а — и (с) )аг(!=0. 7" 195 Поскольку в рассматриваемой задаче функция Т, ьз) сильно выпукла и дифферепцируема, то функция и,=п,,~!) может быль определена из условия Т[(и) =О. Это условие с учетом формулы из примера 1.2.4 можно переписать в виде ~(~ Аь(з, Ь) А„(з, !)Аз~и(!)г(!+а„и ©= а (с =~Аь(з, $)Ьь(з)бэ. (18) с Таким образом, метод стабилизации в этой задаче привел к интегральному уравнению Фредгольма второго родаКак следует из теоремы 2, при 1!ши„=!пи оьа,' =О пос. а со ь и ледовательность [иь(()], определяемая из уравнения (18), в метрике ?.,[а, Ь] сходится к зз-нормальному рсшени.о.
~1итатель, конечно, заметил, что задачи из примеров 1, 2 являются честным случаем задачи минимизации функции ,?(и) =[Аи — Ь!', где А — линейный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое. Общее исследование таких задач минимизации и связанных с ними уравнений Аи=Ь проведено в [!?, 105, 163] и др. Пр имер 3. Предположим, что хотя бы одна функция и„= о„(1), а-=. ! ( Ь, доставляющая минимум функции (14) на (., [а, Ь], имеет обобщенную производную о„(1) ы (.,[а, 6]. Иначе говоря, пусть У„[) Н'[а, Ь] ~ (3.
Тогда можно построить минимизирующую последовательность, схо ящу~сся к Н, равномерно или даже в метрике Н'[а, Ь]. ь Для этого нужно взять стабилизатор й(и)=](~и(()~'+ а + ~ и ((),") г(( = ! и~:„', определенный на множестве Уя = = Н'[а, Ь] ~ 1.,[а, Ь]=(). Так как Н'[а, Ь] — гильбертово пространство, то 0 (и) будет слабым стабилизатором в этом пространстве (см. пример 2.2) и стабилизатором в метрике С[а, Ь] (см.
пример 2.3). Далее, из непрерывности функции /(и) в метрике ).,[а, Ь] следует ее непрерывность в более сильной метрике Н'„'а, Ь]. Отсюда и из выпуклости У(и) следует выпуклость и замкнутость в метрике Н'[а, Ь] множества Уо = У, () Н'[а, Ь]. 11оскольку !з (и) = ! и)'гт — сильно выпукла и непрерывна в метрике Н'[а, Ь], то по тсореьи !.3.3 !1-но)каальпое решение и,=и„. (!) существует и 196 единственно. Таким образом, с (и), ьс (и) удовлетворяют условиям леммы 4.2 на множестве (с'=-Н'[а, Ь)=В. Предположим, что погрешности в задании функций Л (з, !), Ь (з) по-прежнему удовлетворяют условиям (16). Тогда с учетом неравенства ! и )ь,.- )сс!н из оценки (17) имеем ' Ль (и) — с (и) ! = 4о„( !! Л [ь, + ! Ь !ь, + с>с) (1+ ! и! сп), т.
е. погрешность в задании функци>с согласована со стабилизатором в смысле неравенства (4). Функция Тихонова для рассматриваемой задачи имеет вид: а ь ,2 Т, (и) = ~(~ Л,(з, !)и(!)с(! — Ь,(з)~с(э+ с ~а ь + аь ') ( ( и (!) ь + ! и (!) !') с(! и (!) с=. Н с [а Ь), а При согласованном изменении параметров (оь[, (а„), (е,), как это требуется в теореме 2, последовательность (иь(!)), определяемая из условия Т,(л„)=:-!п! Ть(и)+е>ь /с=1, н'!а, М 2, ..., сходится к и„(!) в метрике Н' [а, Ь), т. е.
ь !!ш ~(,' иь (!) — и„(!) )ь+,'иь(!) — и, (!) ь) с(с=О. КакбылопоЬ оса казана в примере 2.3, тогда ',иь(!)[ сходится к иа (!) равномерно на [а, Ь). П р и м е р 4. Пусть требуется минимизировать функцию сс,)-1(1А с., с, . свисс с~) с. с а на множестве (>'=С[а, Ь1, где А(з, (, и) — непрерывная функция по совокупности аргументов прн (з, 1, и) ед ~[с, с()х[а, Ь!хЕс.
Эта задача тесно связана с интегральным уравнением ~ А(з, 1, и(!))И=О, с~а.-.-с(, и, а вообще говоря, некорректна в метрике С [а, Ь1. Рассмотрим возможность построения минимизирующей последовательности (иь(!)), сходящейся ко множеству точек минимума Н, в метрике С[а, Ь!. Естественно, предполагаем, что l „= !п! у (и) ) — со, (/а ч~ ф. Пусть, кроме того, с!а, ь> (/й=-сС,()Нс[а, !>)~9.
Тогда функция О(и)=)и)ан = ь = ) (, сс (!) с'+ (и (!) !а) с!! является стабилизатором в метрике а 197 С[а, Ь! (см. пример 2.3). Ясно, что функции /(и), »1(и) удовлетворяют условиям леммы 4.1, когда метрика р задается нормой пространства С[а, Ь1, (у'о =Н'[а, Ь(~ У. Пусть вместо точной функции А (з, (, и) нам известны приближения А„(з, 1, и), причем ( А„(з, С и) — А (з, 1, и) (( =о,(1+ (и)), о»)0, й=1, 2, ...; 1(!по„=О. Пусть, кроме того, (А(з, С и),'-=.С(1+(и(), С=сонэ!)О. Тогда для приближенного значения У» (и) = А )Ь 2 =!(!А,(, ), ()))с()су ау )() у с а (А у» ( 2» (и) — У (и) , '= ~ $ ( ~ [ А„(з, 1, и (!)) — А (э, 1, и (!)( й М с а уь Х () [А» (э, 1, и(!))+А (з, (, и(1)) й)((е «=. а А,Ь ь -!(!22()А-( ())()А( !( А-УС)().)- ())СС))С с,а а с (2 = о), (о» + 2С) (с( — с), ~ (1 + и (1) ) ) й~ ( ь Су» (,А-ус(С вЂ” )() — ) Ь вЂ” -)-() ((-,'- !) ()) РА)) а ~ о„(о»+ 2С) ((( — с) (Ь вЂ” а+ 1)' (1 +( и 12)уу), т.
е. погрешность согласована со стабилизатором в смысле неравенства (4). Функция Тихонова А уЬ ,2 Т„(и) = ~ ~~ А„(ь, (, и(1)) й~ ь(з+ с ь + а» ~ (! и (!) )2+ ' и (() (2) й а определена на множестве ()',, = Н'[а, Ь). Пусть с помошью какого-либо метода минимизации при каждом й=!, 2, ... найдены функции и»(!) ен Н'(а, Ь( из условия Т,(и»)( (п1 Т, (и)+е„. Если при этом параметры (оь), (а»), (е»[ н (а, ь! согласованы так, как это требуется я теореме 2, полученная последовательность (и»(()) сходится ко множеству (/и !за в метрике С[а, (г]. В частности, если (/о состоит из единственной функции ио ((), то (ио(!)) сходится к и, (!) равномерно на [а, Ь).
Если в РассматРиваемой задаче По П Стс [а, б,' ~ с1), 0<. у=-1, то стабилизатором в метрике С[а, (г; можно взять !с(и) = ,'и(стс (см. пример 2.4). П р и м е р 5. Рассмотрим задачу минимизации функции 1(и) =!х(Т, и) — у!' (19) при условиях х (() = А (г) х (!) + В (!) и (г) + [ (!), (о <--. Г ~ Т; х (!о) = хо', и = и (() я (,с: — Б [(„Т~, (20) (21) 199 рассмотренную в Я !.2 — 1.4. Здесь всегда 1„ ~ О. Будем предполагать, что У„ ~ ф. Заметим, что в 9 !.3 было показано, что функция 1(и) слабо непрерывна на Ц[(„ Т! и на выпуклом замкнутом и ограниченном множестве (1 из )'о[(„ Т) достигает своей нижней грани — см.
теорему !.3.10. т Возьмем функцию !с(и)= и,'с,, =~ ~и(()~ос(С которая с, определена, неотрицательна, сильно выпукла на (1 н является слабым стабилизатором для рассматриваемой задачи (см. пример 2.2). Таким образом, функции 1(и), !с(и) и множество У удовлетворяют условиям леммы 4.2 при В = 1,,'[с„ Т). Поскольку (1, выпукло и замкнуто, а !с(и)— сильно выпукла, то по теореме 1.3.8 существует и притом единственное ос-норосальное решение сс„= — и„(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
