Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Л., о»- » »- со» о» со Тогда последовательность (и»), определяемая условггями (3), (4), минимизирует г' (и) на У, р-регулярна и р-сходится к множеству Уй = У„П У . Если, кроме того, Й (и) р-полун прерывна снизу на (/а, то шгследовательность 1и») из (3), (4) р.сгггдгггггся к множсспгвп Й-нормальньп реигений задачи минимизации на У, и 1нп Й(ил)=Й =-ш(Й(и). » со 204 Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что последовательность и„из (3), (4) удовлетворяет условиям (4.1), (4.2) лемм 4.1, 4.2.
По определению 1?е при каждом /г найдется точка о».-= У',", такая, что 1? (о ) «(?» + й-', и = 1, 2, ... Кроме того, из 1!ш6»)(„'=О следует, что 6»(2+1?е) «Х» при всех й.=-.)го. Поэтому с учетом условия (5.4) имеем У» (о») = ( (о») + 6» (1+ (? (в»)) «У» + 6» (1+ (? + й-') ==.(»+6г (2+ 1?»)«?, +)(», lг)йо. Это значит, что г»ев ! го т. е.
множества )г» непусты при всех й =-..?го. По определению нижней грани 1?»(п).=О на непустом множестве !'» точка иы удовлетворяющая условиям (4), существует при всех /г "-= lга. Перепишем условие (5.5) в виде (1 — т») Й (и) — т» «1?» (и) «(1+т») 1? (и)+ты иенца, lг=!, 2,... (5) Так как 1!гп о»=О, то можем считать, что зцр ч»«+со. »- ос »)». П учетом определения точки о» ен (г», неравенств (4), (5) тогда имеем ь? (и») «(ь? (и,) -1- ч ) (1 — т»)-т =.
«(ь?»+)с»+ у») (1 у») т (ь? (о ) + р + т ) (! т )-1 «(Р. (о») (1 + т») + 2ч» + р») (1 — т»)-т «= «((ь?»+й-')(1+е»)+2ч»+)с»)(1 — т») ' й==>о (6) Иначе говоря, получена оценка (4.2) 1? (и,) «(?„-(- у, й -.-й„где у„=(2ч»1?,+)г-т(1-!-ч»)-!-2ч»+)»») (1 й т а )г„()т у» = О. » со Наконец, из условий (5.4), и»~)г» и уже доказанной оценки (4.2) следует, что У„«,) (гг»! «У» (и») + + 6» (1 + »? (и»)) -== У, +2»+ст» (1+»У»+У»), А)йа.
Зто значит, что последовательность (и») удовлетворяет неравенству,У, «2 ) (и») «,(»+ Р», )ггм)га, где р»= Х»+ +6»(1+1?»+у») (г'= йо, причем 1пп !т»=О. 1!еравеиство » сс (4.1) также получено. Имея неравенства (4,1), (4.2), из основных лемм 4.1 или 4.2 о регуляризации получим все утверждения теоремы 2. Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть возможность применения метода невязки к задачам из примеров 5.1 — 5.5. р и р» ~к н е н н в г Пране ннтв метод невязка к задачам нз упражненна 3.2 — ЗА, последов ть сходнность. 20о 2 Мох но лн применить метод ненязкн к задачам нз упрамненнн ! 3 — 1 5, взяв стабилизатором й>ункцшо Я (и) = и ! ? 3. В задачах цз примеров !.2 — 1 4 взять стабилизатор О (и) = =, и ч)г, н выяснять возможно:ть применения метода нсвязкн лля построения минимизирующей последовательности, регулярной в метриках С (О, 1! н Н'!О, 1!.
4 Показать, что прн выполнения условн.! 1), 2) леммы 4.1 р-регулярность последовательности (и>,), построенной методом невязкн, н соотношение 1пп р (и>о Учи) =0 мо>нно получить прн замене услоа со вня 1!ш р„=о втеореме1н условий!(гп ча — — )нп р„= (пп блх,, =0 а о» а со Ф со а со в теореме 2 более слабым условием зцр ил<+со в теореме 1 н а>! знр на <+со, ьнр та<1, ба(2+()„)<Ха, !г=!, 2, ..., в теореме 2.
а>! а>! 5. Пусть /(й) — выпуклая полунепрерывная снизу функция на выпуклом замкнутом множестве (! нз гильбертова пространства Н, пусть я (и) =-! и 'зч, Выяснить возмонсность применения метода невязкн для поиска й-нормального решения задачи минимизации У(и) на У. й 7. Метод квазирешеиий 1. Перейдем к изложению третьего метода решения некорректных задач минимизации — метода квазнрешеннй. Сначала для простоты предположим, что значения минимизируемой функции ((и) и стабилизатора й (и) известны точно. Обозначим сов = !п( й (и), й, = 1п( й (и). Так как ип ии (>сй! =-(>'. П У„о (>'г>, то о>е =-йа.
В методе квазнрешеннй последовательность !ил) определяется условиями йа=(п! ((и) ((иа) =(лч+$а, ра ивен йго й=! 2, ", (1) где й,=(и: иенУО, й(и) =.й„+т)а), (2) параметры метода (са), (т)а) таковы, что $а) О, юа — й„( (т)а, м=1, 2 ..., 1!гп $аоо 1!т т)а=О. В частности, если а со а со ч)а)О прн всех 2=1, 2, ..., то условие шв — й„(О» тривиально выполняется. Если же о>а(й„, то условие оз„— йа ( т)а допускает возможность т)а ( О прн некоторых нли даже прн всех й=1, 2, „. Нетрудно видеть, что неравенство шв ( й, + т;, гарантирует непустоту множества йа. Кроме того, нз й,:= Ь' имеем, что га -.,7»'„— ос при всех й=1, 2, Позтому существование точки ил, удовлетворяющей условиям (1), 206 (2), следует непосредственно из определения нижней грани l(и) на непустом множестве й„.
Заметим, что по определению стабилизатора множество йь р-компактно при всех я=1, 2, ... Это значит, что в методе квазирешений исходная функция з'(и) минимизируется на р-компактном подмножестве множества У. Название метода квазирешений также связано с уравнением Аи =1, где А — оператор, действующий из некоторого метрического пространства У в метрическое пространство $'.
Пусть /(и) = р(Аи, 1), где р (о, 1) — расстояние между точками о и 1 в пространстве 1'. Квазирешением уравнения Аи =1 называют точку и„ен У, для которой l (ич) = !п1 l(и) = у,„. Если,1(и,) =0= у„, то и квазирешение и превращается в обычное решение уравнения Аи =1. Однако квазирешение может существовать и тогда, когда уравнение Аи =1 не имеет решения. Описанный выше метод (1), (2) был предложен и исследован В.
К. Ивановым для отыскания квазирешений уравнений Аи=1, что нашло отражение в названии метода. В описании (2) множества й„присутствует неизвестная величина й„, и поэтому на первый взгляд метод квази- решений (1), (2) выглядит неконструктивным и трудным для реализации. Тем не менее существуют достаточно простые способы численной реализации этого метода, один из которых будет описан ниже. Пока мы отвлечемся от вопросов реализации метода квазирешений и, опираясь лишь на существование последовательности (и„) из (1), (2), дадим обоснование этого метода. Теорема 1. Пусть функции г'(и), й(и) и множество () удовлетворяют условиям 1), 2) леммы 4.1 или леммы 4.2, а последовательности Яь), (т)ь) таковы, что 5ь)0, ць) — й +ы„, й= 1, 2, ..., 1!гп Ь,= Вш т!ь — — О, причем ь- лесли последовательность (т!ь) неположительна или существует ее неположительная подпоследовательность (ч)ь„), то дополнительно еи!е потребуем выполнения следующего соотношения: !пп l „(й, — а) = У„„ ч +в где ),(С) =!п11(и), йс=(и: иенца, й(и)-=С).
ис Тогда последовательность (иь), определяемая условиями (1), (2), минимизирует ./(и) на У, р-регулярна и р-схо- 207 дится к множесп/ву (/"а, Если в/се, кроме того, й(и) р-полу- непрерывна снизу на (lа, то последовательность (ии) из (1), (2) р-сходится к мноясеству й-нормальньж ре/пений задачи минимизации 1(и) ни (1, и !пп й(//и) == й„. и с Локазательство. Сначала покажем, что !пп 1ь= 1,. /с .о Для этого из последовательности (т(,) выберем подпоследовательность (т1„,) всех ее положительных членов.
По определению й„тогда для каждого /1„„) 0 найдется точка о„~ У' такая, что й(ои„) == йи+Ч,„Это значит, что 1(оь,) —. 1„с и ол„ен й,„п =1, 2, ... Следовательно, 1ь'„«1(ои )=1„п=!, 2, ... С другой стороны, из йи„~(/а имеем 1 - — 1л„, п=1, 2, ... Сравнивая полученные неравенства, заключаем, что 1л = 1, при всех и= 1, 2, ..., так что 1пп 1й„= 1,„. п со Пусть теперь (/1,„) — подпоследовательность всех неположительных членов последовательности (т(,). По условию 1пп т)и=О, поэтому 11ш Ч,„=О. Это значит, что для /с со и со любого и)0 найдется номер У такой, что — сх(т(,„«0 или й,— сс(й„+ть,(й, для всех в„~/Ч. Отсюда следует, что йа,— а ы йп, я(1а при в„)Ш.
Тогда 1„-= =.1; «1„(й — а) для всех в„)Л/. Перейдем в этих неравенствах к пределу сначала при в„-/-оо, затем при сг-++О. С учетом соотношения (3) получим !пп1,"„=1э. и оо Тем самым доказано, что последовательность (1Д имеет единственную предельную точку, равную 1„т. е. 1(гп1$=1,„. Перепишем условие (1) в виде 1, «1(ио) « Ь со « 1л + $„ = 1, + ()ы )г = 1, 2, „ ., где рь — — 1ь — 1, + $„.
С учетом условия !(ш$,=0 и уже доказанного равенства А со 1пп Л=-1„имеем 1пп ()э=О. Неравенство (4.1) получено. Ь со /с со Наконец, из условия иь ен йь следует й (иь) й, + т!ы /с=1, 2, ... Положив уь ' т)ь, отсюда придем к неравенству (4,2). Имея неравенства (4,1), (4.2), из леммы 4.! или леммы 4.2 получим все утверждения теоремы 1. Напомним, что условие (3) обсуждалось в ь 5.13 из 14], там же были приьедены достаточные условия, гарантирующие выполнение 13). 20ф 2. Теперь опишем метод квазирешений для случая, когда вместо точных значений 7(и), й(и) известны их приближения г»(и), й»(и)= О, /г=1, 2, ... Будем пред- полагать, что погрешности в задании этих функций удов- летворяют условиям (5.4), (5.5).
Тогда последователь- ность (и») определяется условиями ,7»'= !п(,)»(и) ( У»(и») = 7»+ ч», а» (4) и» ен й», й = — 1, 2, ..., где й»=- (и; иенца, й»(и)(й»+и»), й». = )п! й» (и), (5) о,, а описание параметров метода Д»), (г)») дается в следую- гдей теореме. Теорема 2. Пусть функции У(и), й(и) и множе- ство (/ удовлетвортот условиям 1), 2) лемл.ьс 4.1 или леммы 4.2, а последовательности (6»), (т»), Д»), (ц») из (5.4), (5.5), (4), (5) таковы, что 6»--0, т, — О, Е»)0, т!» >ьч," — й», гь»»=(п1й»(и), к=!, 2,..., !!гп 6„== !1п1', =- ии =!пп Е»=1!гп и»= !!ш т»э!»'=О, причел1 если псслдова»- » ю тельнссть (Ч») неположительна или суьцсстеует ее неполо- жительная подпсследовательность (»!» ) то справедливо равенство (3).
Тогда последовательность (и»), определяемая условиями (4), (5), минимизирует ) (и) на У, р-регулярна и р-схо- дится к лшохсеству Уа. Если же, кроме того, й (и) и-полу- непрерывна снизу на Уа, то последовательность (и») из (4), (5) р-сходится к множеству й-нормальньсх решений задачи лшнимизации ) (и) на (/, 1пп й(и») = й = !п(й (и). иа Ло к а з а т е л ь с т в о. Так как Уо: — Уо, то о» ~ й;, и неравенство <ьт — й$(г)» гарантирует непустоту мно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
